NGUYỄN BẢO VƯƠNG.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9

GIỚI HẠN HÀM SỐ
TẬ P 1
2 2 0 BÀI TẬ P TRẮ C GI ỚI HẠN HÀM S Ố CÓ LỜI
GIẢI CHI TI ẾT

https://web.facebook.com/phong.baovuong

A L B A - CHƯ SÊ -GIA LAI


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

i ^Vh g i ớ i

^^^^n h

s

ố

tạp 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
A

r

r*

0
|un - a <£, Vn > n 0 .
D ãy số (u n) có giới h ạn là số thự c gọi là dãy số có giới h ạn h ữ u hạn.
1.2. M ộ t s ố g i ớ i h ạ n đ ặ c b i ệ t

1
• lim ——= 0 vói k e N *

nk

• N ếu |q| < 1 thì lim qn = 0
n—+

CH^^^ ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

H^^N

SỐ TẠP 1

4.1. Đ ịn h nghĩa:
• lim u = +X «
n — +X

n

với m ỗi số dư ơng tuỳ ý cho trước , m oi số hang của dãy số , k ể từ m ôt số hang nào đó

trở đi, đ ều lớn hơn số dương đó .
• lim I = —X « lim (—1 ) = + X .
4.2. M ộ t số k ế t q u ả đặc b iệt
• lim nk = + X với m ọi k > 0
• lim qn = + X với m ọi q > 1 .
4.3. M ộ t vài quy tắc tìm giới h ạ n vô cựC.
Q uy tắc 1: N ếu lim un = ±

X

, lim vn = ± X thì lim ( wn .vn ) được cho n h ư sau;

lim un

cho n h ư sau;
.
D ấu của l

lim un

lim ( u n v n )

+ X

+

+ X

+ X

—

—X

—X

+

—X

—X

—


—X

—X

+

—X

—X

—

+ X

lim

u
vn

V ấn đề 1. T ìm giới h ạ n bằn g đ ịn h n g h ĩa
P h ư ơ n g pháp:
• Để’ chứng m inh lim u = 0 ta chứng m inh với m ọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại m ôt số n sao cho
|u ĩ < a Vn > nI• .

• Để’ chứng m inh lim u = l ta chứng m inh lim ( u - 1) = 0 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

2



Suy ra lim



1

n ak

< a Vn > n nên có lim
a

nk

=0 .

băng:
B.3

D. 8

C.5

Lời giải. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > —- 2 ta có si^ n

n +2

^

n +2

n +2

< a Vn > n„ nên có


1 - n2

H^^N

SỐ TẠP 1

băng

n

A. +1»

B. —»

C.0

Lời giải. Với m ọi số dư ơng M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa

D. 1

n\, —1
M >M
n

M + v M 2 +4
M

Ta có:

n2 —1

< a Vn > n ^ l i m
=0 .
n+1
a
M+ 1

Bài 7. Giá trị của lim

cos n + sin n

n +1

A. + »

C.0

D. 1

C.0

D. 1

-- 1 +1

2

băng:

B. —»

0 nhỏ tù y ý, ta chọn n =

Ta cóý.

n +1
M+ 2


0 lớn tùy ý, ta chọn nM =

C.0
M


3n3 + n

= +».
2- n

Bài 10. Giá trị của lim

bằng:

n+1
A. +1»

B.

C.0

D. 1

Lời giải. Với m ọi M > 0 lớn tùy ý , ta chọn nM > ^'—+ 3 I - 1

Ta có: n 2 = Vn +1 1+ n

> V1 + n - 3 > M Vn > nt

3

n +1

Suy ra lim 2 n= = - » .
n+1


< a Vn > n_

Vậy A = 2 .
Bài 12. Giá trị của B = lim ^ n + 3
n +1
A. + »

bằng:
C.0

B. - »

D. 1

,
„
2n +3
Lời g iải Với số thực a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n thỏa
a
-

Ta có:

1 + *ja —4a +13


-1
n +1

n +1

< a Vn > n
a

Vậy C = 1.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

6


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài 14. Giá trị của A = lim
A.

CH^^^ƠNG i ^Vb

n —2yfn
2n

SỐ TẠP 1

bằng:

B. —X

n sin n - 3n2
bang:
n
B. —X

+X

Lời g iải B = —3
1

Bài 16. Giá trị của C = lim

bằng:

n2 + 2yfn + 7
A.

B. —X

+X

Lời g iải C = 0
4n +1

Bài 17. Giá trị của D = lim

bằng:

y/n2 + 3n + 2
A.

—
n

-

m

m!

n —m

I

I

—

m+1
V
y
^n

= 0 . Từ đó suy ra: lim — = 0 .
n!

Bài 19. Giá trị của lim n — với —> 0
A.

/


7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CH^^^ƠNG i ^Vb

H^^N

SỐ TẠP 1

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
P h ư ơ n g pháp:
Sử d ụ n g các địn h lí về giới hạn, biến đổi đ ư a về các giới h ạn cơ bản.
• Khi tìm lim f — ta thường chia cả tử và m ẫu cho nk, trong đó k là bâc lớn n hất của tử và m ẫu.
g (n)

• Khi tìm lim Lkệ f (n) - ỉ^g(n) J trong đó lim f (n) = lim g(n) = -+» ta thư ờ ng tách v à sử d ụ n g p hư ơ ng p h áp
n h ân lư ợng liên hơn.
Các ví d ụ

V í d ụ 1. Tìm các giới h ạn sau :
1 + 3 + 5 +... + (2n -1 )

1. A = lim

1 + 2 +... + n - n

2. B = lim


1 2 + 2 2 + ... +

Suy ra : B = lim

ề

n2 =

n (n + 1 )(2 n + Ị)

n(n +1)
- n
2
i
n(n + 1)(2n +1)

n2 1 +

+ 2n

- n

2

= lim-

2

-1
+2


+

V í d ụ 2. Tìm các giới h ạn sau :
.+

1

1

n ( n + 1)

Lời giải.
1.

1-

Ta có: 1 -

1 _ (k - 1)(k +1) .
=
nên suy ra

k

k

X lí 1 - X I... 11 - 2

3


1
1.2
1

n +1

SỐ TẠP 1

nên suy ra

k(k +1 ) —k _ k + ĩ

Vậy D —lim I 1 -

H^^N

+

1
2.3

1

+

3.4

+... +


1. C hia cả tử và m ẫu cho 5n ta có: A —lim — —-5 ( do lim
—0 ).
4Ỵ „
(
1 5J
)

+1

4 Ỵ_ 2
36
7_J___ 7_ _ _ 1 _
2. Ta có: B —lim 4 'ì"
— 49
4 ' +7
V í d ụ 4. Tìm giới h ạn sau : C —lim

,
1 ì/
1- — 1
2 2 - ‘1

(
1
..1 1 - —
32J 1
n2
1 ì

Lời giải.

CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP

2n2 + 3n +1
bằng:
3n - n + 2

Bài 1. Giá trị của A —lim A. +X

B. -X
„

2+
Lời giải. Ta có: A —lim

3

3

D. 1

1

+

n

n

n



B. —X

+X

H^^N

C.0

SỐ TẠP 1

1

D.

1 —4 3

n2 + n

1

n

Lời giải. Ta có: B = lim -

Ị+ ^ _ = ^ _

= lim

1——


Suy ra C = 16 .

n2 +1 —^ 3 n 3 + 2

Bài 4. Giá trị của D = lim

bằng:

ệ 2 n4+ n + 2 —ì
A.

B. —X

+X

C.

1 —^ 3

D. 1

^ 2 —1

n

1 + 4 —.3 3 + -

n



= lim

6n

= lim

yjn2 + 6n + n

=3
1 + 6 +1
f+6

Bài 6. Giá trị của B = lim ( 3 n3 + 9n2 —n) bằng:
A.

+X

B. —X

Lời giải. Ta có: B = lim (3 n3 + 9n2 —n)
____________9 n ____________
= lim 3 (n3 + 9 n2) + n3 n3 + 9 n2 + n2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA


CH^^^ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

bằng:

B. —»

C. —

D. 1

C .1
3

D. 1

C.2

D. 1

C.0

D. 1

C.0

D. 1

n

Lời giải. Ta có: C = lim

3.2n —3 " .


—lim

n2 + 2n + n

3 (n3 + 2n2)2 + n3 n3 + 2n2 +

2

= lim

2

1
3

i( 1 + 2 )2 + f + ĩ + 1

J ĩ+ f +1

Bài 9. Giá trị của A = lim Ị3 n2 + 2n + 2 + n bằng:
A. + »

B. —»
.,2
2
1+ +
+1 = + »

Lời giải. Ta có A = lim n

2n4 + 3n +1 + n
B. —»

C hia cả tử và m ẫu cho n2 ta có được

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

11


CH^^^ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

4

C = lim

H^^N

SỐ TẠP 1

3 + 1 —1

n

n

-


* k > p . C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim

ak + „ +... + ~k |+ » if a.b > 0
n
n _ )
kp
b
b
) —» if akbp < 0
- Ị V +... + b np—
k
nk
a + ak=L +...+-%
n
nk _ aì_

9 k = p . C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim -

b
bk +... + 3
k
nk

• k < p . C hia cả tử và m ẫu cho np : D = lim -n

b,.

— = 0.

b + ... + b°p

A. + »

B. —»

C.0

D. 1

C.Đáp án khác

D. 1

Lời giải. f (0) = 1 > 0, f (2) = —47 < 0, f (10) = 7921 > 0
Bài 15. Giá trị củA. x = 0

với •

bằng:
A. + »

B. —»

Lời giải. f (x) = 0

Bài 16. Giá trị củA. y =

) f (x) khi x

ịk



D. 1

C. 3
2

D. 1

C.8

D. 1

C. 1
2

D. 1

Lời g iả i.(—2; —1), ^ 1;—1 l , ^ 1 ; 0 j , (0 ;2 ), (2;10)
Bài 17. Giá trị củA. X = x0 bằng:
A.

B. —X

+X

3 + - 1 —j r _ _ 3
n
Lời giải.T a có: E = lim ____ n
2=2
2 —1 lí 1 + 3

n+1
= lim
n2 + n +1 + n

1
12

+1
i1 + n1 + An -

B. —X

A. —-

1
2

n

C.0

1 —n
Lời giải. Ta có: M = lim ■ự(1 —n2 —8n3)2 —2n ^1 —n2 —8n3 + 4n:

D. 1
_Ị_
12

Bài 21. Giá trị củA. N = lim (v 4 n 2 +1 —^ 8 n 3 + n ) bằng:
A.

H^^N

SỐ TẠP 1

Vậy N = 0 .

Bài 22. Giá trị củA. K = lim Ị 3 n3 + n2 —1 - 3>/4n2 + n +1 + 5nj bằng:
A. + »

B. —»

C. —

5

12

D. 1

Ị
j Ịv 4n2 + n +1 —2n j
Mà: lim Ị^ n3 + n2 —1 —n j = —; lim Ịv 4n2 + n +1 —2n j = —
Lời giải. Ta có: K = lim 3 n3 + n2 —1 —n —3 lim

Do đó: K = - —3 = ——
3 4
12
Bài 23. Giá trị củA. A = lim — + 1 bằng:
1 —3n
A. + »

n +1

bằng:

n(2n + 1)2
B. —»

C.

1
4

D. 1

Lời g iải C = —
Bài 26. Giá trị củA. D = lim
A. + »

n3 —3n2 + 2
n4 + 4n3 +1

bằng:

B. —»

C.0

D. 1

C.0


B. —X

+X

H^^N

3

C.

SỐ TẠP 1

D. 1

^ 3 —1

Lời g iải F =

3
^ 3 —1

Bài 29. Giá trị củA. M = lim Ị v n2 + 6n —nj bằng:
A.

B. —X

+X

Lời g iải M = lim


B. —X

+X

C. —2
3

Lời g iải H = lim n Ị ^ 8 n 3 + n —2 n j—lim nỊV 4n2 + 3 —2nj:

D. 1

2
3

3.2n —3n
Bài 32. Giá trị củA. K = lim 2 ^+1 _|_^ n+1 bằng:
B. —X

A. —1
3

C.2

D. 1

C.2

D. 1


sin2n —1

n
1+

=2

1

n3

Bài 34. Giá trị củA. B = lim

bằng:
V « 3 + 2n

A.

B. —X

+X

Lời g iả i. Ta cỏ :

ự n!
n3 + 2n



A. +1»

C.0

2

D. 1

Lời g iải C = 1

n+1

Bài 36. Giá trị củA. D = lim

bằng:

n2(sl3n2 + 2 —V 3n2 —1)
A. + »

B. —»

D. 1
C\ l

Lời g iải D =

2yf33
3

Bài 37. Giá trị củA. E = lir l(V n2 + n + 1 —2 n ) bằng:

Bài 39. Giá trị củA. H = li i( ■ựn2 +1 —ự n 2 —1) bằng:
A. + »

B. —»

Lời giải. Xét các trư ờ ng hợp
TH1: k > p ^ H = —»
T H 2: k < p ^ H = +»
T H 3: k = p ^ H = 0 .
í ỊV n2 + 1 —n

A. + »

bằng:

B. —»

2

Lời g iải K = 1
„
1
1
1
Bài 41. Tính giới h ạn của dãy số u =
+
+... +
■
n 2 1+ 2 3 2 +2 3
(n + 1) n + n n +1


16


CH^^^ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài 42. Tính giới h ạn của dãy số u =
A.

Suy ra un =

3n + n +2

n(n + 1)2

C. 9

n(n +1)

Lời g iải Ta có: l 3 + 23 +... + n3 =

SỐ TẠP 1

(n + 1)Vl3 + 23 +... + n 3 _

B. —X

+X

3

Bài 46. Tính giới h ạn của dãy số u = q + 2q2 +... + nqn với |q| < 1
A.

B. —X

+X

C.

q
( 1 —q )2

D.

q
(1 +q)2

Lời giải. Ta có: u —qu = q + q2 + q3 +... + qn —nqn+1
^ (1—q)un = q

—nqn + 1. Suy ra lim u n =

1—q

q (1 —q)

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA


—n
n2 + 1

Lời giải. Ta có: n 2
^

í



n
nk___
T H 2: k > p , chia cả tử v à m ẫu cho nk, ta được A = lim bp + bp—
.1 + + b
nk—
p nk—
p+1 ... nk

I+X khi a.b > 0
1
kp
1I —X khi a.b
k p
33 1 + —
+ ^ —4 1 + 4 ---- 1
n
na
n
n
3
B = lim ■

1 —4

2

3

T " = 4'

2+-

C = lim Ịv 4 n 2 + n +1 —2nj

Bài 50. Tính giới h ạn của dãy số
A.

+X

Lời giải. Ta có: C = lim

B.



NGUYỄN BẢO VƯƠNG

i ^Vh g i ớ i

Bài 51. Tính giới h ạn của dãy số
A.

s

tạp 1

ố

D = lim ( v n2 + n +1 - 2
y 1 + n4 —n6 J

1 1

=1
3

f + n " n3 + 1

1 2
1
Vậy D = 1 —2 = —1 .
J
2 3
6
Bài 52 . C ho các số thự c a,b thỏa \a\ < 1;|b| < 1. Tìm giới hạn I = lim
A.

B. —X

+X

C.

1 + a + a +... + a
1 + b + b2 +... + bn

1 —b
1 —a


1 2 A. • 1
A.

B. —X

+X

C.2

D. 1

Lời giải. Từ công thức tru y hồi ta có: x +1 > x , Vn = 1,2,...
N ên dãy (x ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồ n tại lim x = x
Với x là nghiệm của p hư ơ ng trìn h : x = x2 + x « x = 0 < x vô lí
Do đó dãy (x ) không bị chặn, hay lim x = + X .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

1

M ặt khác:

1



1

Xn

+1

CH ^^^ƠNG i ^Vb

= —-

Xn+1.
— =2-

— ^ lim s = 2 - lim — = 2

Bài 54. Cho dãy (X ) được xác địn h n h ư sau: X =

1 2
k
+ + ••• +
2! 3!
(k +1)!

Tìm lim u n với un = nh 1n +2xn + ••• + X
A. +1»

B. - »

k

/n)

f(x )= f (x ) = f í x ■ )■ -= f (I
N ên Sn =
n

-1 —
1
^ lim Sn = 1 —n
+1
n + 2 + n +1

Bài 57. Cho dãy x > 0 xác địn h n h ư sau: f(x ) =
'
A. + »

B. —»

Lời giải. Ta có un+1 —un = - n

Ta có Y — ^ == 2010(— —
u n+1

■vTTT-1
x -------- . Tìm (ũ; + » )
x

1

ux

u

M ặt khác ta chứng m inh được: lim u = + » .

u

N ên lim ( Y —^ ) = 2010.
u n+1

Bài 58. Cho dãy số x = 0 với f(0 ) = 3m + 1 . D ãy (s ) được cho bởi lim f (x) = lim (2x2 + 3m + 1 ) = 3m + 1 .
X^ 0“
X^ 0'
1
1
Tìm x = 0 « 3m +1 = « m = — .
2
6
A. + »


C.

SỐ TẠP 1

D. 1

5

, . . ,.
,
(m + 2 y-(u - 2 )
Lời giải. Ta chứng m inh được: u > 3; V h e N , do đó u 1- u = —-----"------> 0
T ừ đó thấy (u ) tăng.
Giả sử (u ) bị chặn, khi đó tồ n tại giới gạn h ữ u hạn, giả sử lim u = a và ta có:

a = -a(a + 1) 2

—8

5

Do đó lim u

■« a3 + 2a2 —4a —8 = 0 « a = +2 (loại)

= +X

u (u + 1)2 —8

Ta lại thấy rằng: u +1 = n n


Lời giải. Ta có: 1 + 3 + 5 +... + 2n —1 = n2 nên lim u =

Bài 61. Tìm lim u biết f (x) =

A.

3 x —2 + 2x —1
khi x ^ 1
x —1
3m —2
khi x = 1

B. —X

+X

C.2

D.

^6
2

Lời giải. Ta có: 1 + 2 +... + n = n í t t Ị ) và 1 + 2 ' +... + n = n ín + ạ g n +1
N ên lim u = ^ 6

2
Bài 62. Tìm lim u biết f (x) =

2
trong đó x ^ 1.
khi x < 2

x —2mx + 3m + 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

22


CH^^^ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

B. —X

A. + X

H^^N

C.



B. —X

A. + X

C.

D. 1

C.3

D. 1

Lời giái. Ta có • Suy ra f (0) > 0
Bài 65. Tìm lim Uu biết 3 \ ỊlỊ
A. + X

B. —X

Lời giái. Ta có: g (x ) = f (x ) —x g .
với X = 1

Bài 66. Tìm lim«,, biết

B. —X

A. + X

*





C.3

D. 1

n

, k = 1,2,..., n Suy ra

n2 +1

nn

+




2 là dãy số xác địn h bởi • . Tìm lim f (x ) = lim (3 2x —4 + 3 ) = 3.
X-+ 2“
I ^2
B. —X

4
C. —
3

„
D. 1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA

23


CH ^^^ƠNG i ^Vb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Lời giải. Ta có 0 < u < u2 ^ u3 = -

4

+

8


Lời g iải Ta có: u + 1= 7 (U + 3unĩũ
=

un + 3un

+ 3un + 2) +1 =yjU + 3un + 1)2

+1

Suy ra: u n+i + 1 = (u n + 1 )(u n + 2 ) ^

Suy ra:

D. 1

C. —
2

1

1

1

un+1 + 1

un + 1

un + 2


+1
ậy
n 2

Bài 72. Cho a,b e N*,(ữ,b)
]
= 1;«E
; n e jữfc + l,ữfc + 2/ ...j . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) e N* X N* sao cho

r
1
n = au + bv • Tìm lim n =
n^ x n ab
A.

B. - X

+X

Lời giải. Xét p h ư ơ ng trình

0;

n -1
n

D. ab - 1

C. —


k


24