SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT”


PHẦN I: MỞ ĐẦU
I - Lí do chọn đề tài:
- Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều học
sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em đó hầu như phát biểu
rằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm
được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặc
biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải cho
từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho
học sinh.
- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH"
rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh.
Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví
dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được. Nếu dạy hết các định nghĩa
trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ
rất lúng túng. Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):
nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao? ( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
(hoặc đến đường thẳng V ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình
học nâng cao 11 - trang 113)
- Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1
câu hình học không gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thi
này. Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng.
- Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian là
một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.

Nghiên cứu tài liệu



Thực nghiệm



Nhận xét

V- Thời gian hoàn thành
Sau năm học thí điểm, tôi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng dạy cho
những lớp khác nhau. Một năm học sau tôi đã hoàn thiện được đề tài.


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÍ CỦA ĐỀ TÀI
I - Cơ sở lí luận
SGK HHNC 11 trình bày khoảng cách rất đơn giản. Sau khi đưa ra 1 loạt các khái niệm
k/c ở các mục 1, 2, 3 rồi đưa 2 ví dụ áp dụng trong mục 4.
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đƣờng thẳng và 1 mặt phẳng:
M
M

H
H

P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là khoảng

3- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
a
I

c

J
b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao 11 - trang
115)
-khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P) chứa b và
song song với a.
II-

Cơ sở pháp lí

Vì phương pháp này hoàn toàn dùng các định lí, các tính chất, đã được học, được
chứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi.


CHƢƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Như đã trình bày ở trên, HÌNH HỌC KHÔNG GIAN là bài toán khó, đặc biệt là
bài toán khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào,
tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia....Một số học sinh khá hơn thì mày mò
tìm ra được cách giải bài toán theo kiểu thử sai, có khi được khi không. Một số học sinh
khác gần như không có “ lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp các
em từng bước giải quyết vấn đề trên.


xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường  ). Nếu tam giác MAB
vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông:


1
1
1


. Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB. Nếu tam giác
2
2
MH
MA MB 2
thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.

A

M

M

M

B

H

A


Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của h nh ch p đ u
xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho h nh ch p c các c nh ên ng nhau.Từ đó giáo
viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này.


Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuông
góc. Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuống
mặt phẳng. Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo
giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt
phẳng kia).
Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ
t
như sau:

t

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M (P))

MH.

Ví dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a, AD
khoảng cách từ B đến (ACC A ).
B

b, AA

c. Tính


nên:

1
1
1
ab


 BH 
2
2
2
BH
BA BC
a 2  b2


Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi
M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD).
Yêu c u m i học sinh làm 1 ƣ c
+ Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): ưu học sinh chọn mp (Q) chỉ
cần vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có
liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với
CD. Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay
(SNM) vuông góc với (SCD).
+ Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN
+ Trong (SMN): kẻ MH vuông góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc với
S

H

Bài tập : Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600 nhận AB làm đoạn vuông góc
chung. Trên By lấy C sao cho BC a.
a) Tính k/c từ c đến Ax
b) tính k/c từ C đến (ABD)
Bài tập : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A. BC 2a, AB
a 3.
a) Tính k/c từ A đến (A’BC)
b) Chứng minh rằng AB vuông góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’)
Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
(ABCD). SA 2a. (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P) một
khoảng là

a 2
. Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác BCFE.
2

Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 600. M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính k/c giữa AB và (CMN)
t

2s

t

v

t

t


như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)
+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q )
chứa a và song song với (Q))
+ Tìm giao tuyến (  ) của (P) và (Q).
+ Trong (Q): kẻ MH



(H   ) . Khi đó MH

 (P)

và d(a (P))

d(M (P)) = MH

Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4 nên đổi
thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ
A hay B đến (SCD).
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Tính khoảng cách giữa AB’ và
mp (A'C'D).
B

C
I

A
D

C
I

A
D
B'

C'

H

O
D'

A'



+ Tìm mặt phẳng vuông góc với (A C D): đó là mặt phẳng (BDD B ) (vì (BDD B )
A'C')
+ Giao tuyến của (A C D) và (BDD B ): là DO
+ Điểm chung của (BDD B ) và (ACB ) thuộc đường B I.
+ Trong (BDD B ), kẻ B H

 DO

thì khoảng cách phải tìm là B H.

+ B H là đường cao của tam giác B OD. Từ đó có hướng tính:
B ' H .OD  DD '.B ' O

chung)
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD), SA
=a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC SA và DB SA và d (trong đó d là
đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A.
S

A
D
O
B
C
d

Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB. Của
SA và BD đó là AO. Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm
thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó đoạn AH là đoạn
vuông góc chung của SA và d.
t
tổ
u v vuô

qu t
ó v

uố dự
ut ì

ợ
t


*) Khoảng cách giữa SB và AD
- Hai đường này có vuông góc không? tại sao?
- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông góc
chung của hai đường.
+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ). Từ đó suy ra có mặt phẳng
chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB).
S

H
M

A
D

N
O
B

C


+ AD cắt (SAB) tai A.
+ Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB.
+ Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB.
*) Khoảng cách giữa DB và SC.
+ Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC).
+ (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD.
+ Kẻ OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC


AC’ và BD giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)
- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không. Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì
AA’ vg với (ABCD). Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước. Kết quả k/c thứ
nhất là AO bằng

a 2
2

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O. Trong (ACC’) kẻ ON vuông
góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD. Học sinh dựa vào diện tích tam
giác AOC’ suy ra: ON.AC’ AO. CC’.
a 2
.a
a 6
2

Từ đó tính được k/c cần tìm là
6
a 3

A

D
N

B

O

C

BM. C’H BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là: a 5
5
2
Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ a, AB’ tạo với (ABC) góc 600 .
Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.
A

C
H
B

C'

A'

B'

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy. AB’ có hình chiếu trên đáy là
AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB 600.
K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vuông góc
với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH vuông
a
3 a
.

góc với (BCC’). K/c phải tìm là AH bằng
3 2 2
Ví dụ 12: (Áp dụng cho các lớp khá và giỏi) Hình chóp SABC có SA vuôg góc với
(ABC). Tam giác ABC vuông tại B. SA AB BC a. Tính k/c giữa các cạnh đối
diện của tứ diện.

S

H
D
a
K
A

C

E

(d')

B

4- ở r

t

:

- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A đến
mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính k/c
từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).
- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa
hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:
A

A

2

đoạn AH bằng
19
3a 2
2
4a 
4
S

H
N
I
A
G

C

K
M

B

Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử xem nó
có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm
của SB. Giả sử IE vuông góc với mp(SBC). Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH
2a 3
NI/ NA 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là
3 19
III- Kết quả nghiên cứu:

40

80%

Giải đúng

10

20 %

ớp 11A2- sĩ số 50

Sau khi hƣ ng dẫn các ƣ c xác định cụ thể.
ớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

5

10%

Giải đúng

45

90%



76%

Giải đúng

12

24%

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

43

86 %

Giải đúng

7

14 %

ớp 11A2- sĩ số 50

Sau khi hƣ ng dẫn các bƣ c xác định loại khoảng cách này.
ớp 11A1- sĩ số 50:
Số lượng


ớp 11A2- sĩ số 52

Như vậy ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh trước khi hướng dẫn và sau
khi hướng dẫn các em từng bước xác định các loại khoảng cách. Tất nhiên, vừa học xong
“ lí thuyết” áp dụng ngay vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu, chưa quên và do vậy


nhiều em sẽ áp dụng được hơn. Nhưng không bởi vậy mà ta phủ nhận việc giúp học sinh,
cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó. Các em học
sinh sẽ không cảm thấy sợ hình không gian như trước vì trước đây học sinh nhiều khi có
cảm giác không có lối đi cho bài toán. Nhưng với phương pháp này ta có cảm giác đã tìm
ra được lối đi cho bài toán khoảng cách.


PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I - Kết luận
Bài toán khoảng cách trong không gian là 1 bài toán khó, nó đòi hỏi sự vận dụng kiến
thức tổng hợp và người làm toán phải có trình độ tư duy khá trở lên. Vì vậy SGK kể cả
sách cơ bản và nâng cao viết về khoảng rất đơn giản với mục đích giảm tải. Do đó nó lại
càng khó cho những học sinh và kể cả giáo viên muốn tìm hiểu sâu về dạng toán này.
Dạy học nói chung và dạy học hình học không gian nói riêng cho học sinh không
được được dạy theo kiểu nhồi nhét kiến thức mà người giáo viên chỉ là người dướng dẫn
chỉ đường cho học sinh, để các em tư duy phát hiện ra kết quả
Với việc cùng xây dựng các bước xác định khoảng cách với học sinh, giúp học sinh có
hướng làm loại toán này và không cảm giác đáp án như “từ trên trời rơi xuống”. Đó là 1
điểm rất quan trọng đối với học sinh khi làm toán.

II- Kiến nghị
Qua tìm ở một số trường THPT trong tỉnh, tôi nhận thấy nhiều trường có nhiều giáo viên