SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN TƢ DUY, TÌM TÒI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ
HỢP"

1


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới
lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát
hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu
chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách
giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các
em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp
học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong
việc học phần đại số tổ hợp .Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy,
tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công
thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức
để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thú
trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại
bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ
đề tài “Rèn luyện tƣ duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán
chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em
giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có
tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu
khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt
nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng.
PHẦN II: NỘI DUNG

(k  n; k , n  N * )

k 2Cnk  n(n  1)Cnk22  nCnk11

(k  2; k  n; k , n  N )

(1  i) 2  2i ; (1  i) 2  2i ; (1  3i) 2  8 ; (1  3i) 2  8

II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
- Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải được
hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian .Các em thường không biết nên giải thế nào
?Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm bài tập
thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được.
- Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc
ngay,không có tính kiên trì tìm tòi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa .
- Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại học
của một số trường THPT ,và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,thi
học sinh giỏi tỉnh.
III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Phƣơng pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các công thức tổ
hợp,các tính chất của tổ hợp
Ví dụ 1:
Chứng minh:

Cn0  3Cn1  32 Cn2  33 Cn3  ...  3n Cnn  4n

(n  N * )

Giải:
Xét khai triển (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn1 x n1  Cnn x n


0
1
2
n
2n
b. C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2

(n  N * )

Giải:
a.Xét khai triển (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnk x k  ...  Cnn x n
Thay x 

(n  N * )

3 n
1 1 1 2 1 3
1 k
1 n
1
0
ta được ( )  Cn  Cn  Cn  Cn  ...  k Cn  ...  n Cn (1)
2
2
4
8
2
2
2

Ta có: C2 n1  C2 n1  C2 n1  ...  C2 n1 

1 0
(C2 n1  C21n1  C22n1  ...  C22nn11 )
2

2 n1
 C20n1  C21n1 x  C22n1 x 2  ...  C22nn11 x 2n1 (n  N * )
Xét khai triển (1  x)
0
1
2
2 n1
2 n1
Thay x  1 ta được C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2
0
1
2
n
Dođó: C2 n1  C2 n1  C2 n1  ...  C2 n1 

1 0
(C2 n1  C21n1  C22n1  ...  C22nn11 )  2 2 n
2

điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
4



(n  N * )

Thay x = 1 ta được: 2n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn1  Cnn
Do đó : 2S  n.2 n
Hay Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  (n  1)Cnn1  nCnn  n.2 n1
Cách 2:
Áp dụng công thức: kCnk  nCnk11 (k  n; k , n  N * )
Ta có: Cn1  nCn01
2Cn2  nCn11

3Cn3  nCn21

..................
5


nCnn  nCnn11

Cộng vế với vế ta được: S  n(Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11 )
Xét khai triển (1  x) n1  Cn01  Cn11 x  Cn21 x 2  ...  Cnn11 x n1 (n  N * )
Thay x = 1 ta được: 2n1  Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11
Do đó : S  n.2 n1
Hay Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  (n  1)Cnn1  nCnn  n.2 n1 điều phải chứng minh.
Cách 3:
Dùng đạo hàm chúng ta cũng giải được ví dụ này (ở phương pháp dùng đạo hàm phần
sau).
Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các bài tập
đã làm rồi.
Ví dụ 4:
Chứng minh:


(n  N * )

Giải: Áp dụng công thức: kCnk  nCnk11 (k  n; k , n  N * )
Ta có: Cn1  nCn01
2.2Cn2  2.nCn11
22.3Cn3  22.nCn21

..................
2n1.nCnn  2n1.nCnn11
0
1
2
2
n1 n1
Cộng vế với vế ta được: S  n(Cn1  2Cn1  2 Cn1  ...  2 Cn1 )
n1
0
1
2
2
n1 n1
(n  N * )
Xét khai triển (1  x)  Cn1  Cn1 x  Cn1 x  ...  Cn1 x

n1

Thay x = 2 ta được: 3

 Cn01  2Cn11  22 Cn21  ...  2n1 Cnn11

cho ví dụ 2 coi như một bài tập.

Ví dụ 6:
Cho n là số tự nhiên n  1 .Chứng minh đẳng thức sau:
1
1
1
1
1
2 n1  1
C n0  C n1  C n2  C n3  ...  C nn 1 
C nn 
2
3
4
n
n 1
n 1

Giải:
Cách 1:
Ta có công thức: (k  1)Cnk11  (n  1)Cnk
Nên

(k  n; k , n  N * )

1
1
C nk 
C nk11


Cộng vế với vế ta được:
1
1
1
1
1
1
C n0  C n1  C n2  Cn3  ...  C nn1 
C nn 
(C n11  Cn21  C n31  ...  Cnn11 ) Xét khai
2
3
4
n
n 1
n 1
n1
0
1
2
2
n1 n1
(n  N * ) (1)
triển (1  x)  Cn1  Cn1 x  Cn1 x  ...  Cn1 x

Thay x = 1 ta được: (1  1) n1  Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11

8


Sử dụng công thức: k 2Cnk  n(n  1)Cnk22  nCnk11

(1)

(k  2; k  n; k , n  N )

và Cn1  nCn01 ta có:
22 Cn2  n(n 1)Cn02  nCn11
32 Cn3  n(n  1)Cn12  nCn21

...........................................
(n  1) 2 Cnn1  n(n  1)Cnn23  nCnn12
n 2Cnn  n(n  1)Cnn22  nCnn11

Cộng vế với vế ta được:
2
S  n(n 1)(Cn02  Cn12  Cn22  ...  Cnn21
)  n(Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11 )

Xét khai triển : (1  x) n2  Cn02  Cn12 x  Cn22 x 2  ...  Cnn22 x n2 (n  N * )
và (1  x) n1  Cn01  Cn11 x  Cn21 x 2  ...  Cnn11 x n1 (n  N * )
n 2
n1
n 2
Thay x = 1 ta được: S  n(n  1)2  n.2  n(n  1)2 điều phải chứng minh.

Ví dụ 8:

9


 C 12013 x  C 2013
x 2  ...  C 2013 x
Xét khai triển (1  x)
2013

0
2
(1  x) 2014  C 2014
 C 12014 x  C 2014
x 2  ...  C 2014 x

2014

0
2
(1  x) 4027  C 4027
 C 14027 x  C 4027
x 2  ...  C 4027 x

4027

2014

4027

2014
2013
 (1  x)
Và (1  x) (1  x)


đẳng

thức

ta được điều phải chứng minh.

Giáo viên:
Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn đến bài toán tổng quát, coi
như một bài tập về nhà.
Bài tâp tổng quát:
0
k
1
k 1
2
k 2
k 1
1
k
0
k
minh: Cn .Cm  Cn .Cm  Cn .Cm  ...  Cn .Cm  Cn .Cm  Cnm

Chứng

(0  k  n;0  k  m; k , n, m  N * )

Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán:
0 2
1 2

 C2013
 C2013
 ...  C2013

6.Nêu bài tập tổng quát của bài 5.
10


7. Tính tổng:
1 1 1 2 1 3
(1) n n1 (1) n1 n
S

C

C

C

...

Cn 
Cn
1.
n
n
n
2
3
4


a2 1 a3 2 a4 3
a n n1 a n1 n
Cn
4. S  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 
2
3
4
n
n 1

( a, n  N * )

1 1 1 2 1 3
(1) n n1 (1) n1 n
Cn 
Cn
5. S  C n  C n  C n  ... 
2
3
4
n 1
n 1

(n  N * )

6. S 

1 1
1


( a, n  N * )

8. Chứng minh:
1
2
3
2012
2013
12 C2013
.32012  22 C2013
.32011  32 C2013
.32010  ...  (n 1) 2 C2013
.3  n 2C2013
 2013.2014.22011 9.Tí
nh tổng:

S  12 Cn1 .2n1  22 Cn2 .2n2  32 Cn3 .2n3  ...  (n 1) 2 Cnn1.21  n 2Cnn .20 (n  N * )
*
10.Tính tổng: S  12 Cn1 .a n1  22 Cn2 .a n2  ...  (n 1) 2 Cnn1.a1  n 2Cnn .a 0 (a, n  N )

11. Chứng minh:
C n1
C n2
C n3
C nn 1
C nn
 2 1  3 2  ....  (n  1) n  2  n n 1  C n21
0
Cn

Rất nhiều bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp khi dùng phương pháp đạo hàm thì
chứng minh rất ngắn gọn và dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh. Tùy vào tùng bài toán cụ
thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v..bằng các ví dụ giáo viên dẫn dắt,
giúp học sinh lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Ví dụ1: (Đây là Ví dụ 1 phần phương pháp 1 ta sẽ dùng đạo hàm để chứng minh)
Chứng minh: Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  (n  1)Cnn1  nCnn  n.2 n1

(n  N * )

Giải:
Xét khai triển (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...  Cnn x n (n  N * ) (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n(1  x) n1  Cn1  2 xCn2  3x 2Cn3  ...  n.x n1Cnn

Thay x = 1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này
sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước.
- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a. (a  N * )
- Nếu thay x = - 1 ta dược kết quả của bài tập 1 phần 1.
Ví dụ 2:
Chứng minh: C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  ...  (2n  1)22n C22nn11  2n  1 (n  N * )
Giải:
Xét khai triển (1  x) 2n1  C20n1  C21n1 x  C22n1 x 2  C23n1 x 3  ...  C2nn1 x 2n1 (n  N * ) (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
(2n  1)(1  x) 2n  C21n1  2 xC22n1  3x 2C23n1  ...  (2n  1) x 2nC22nn11

Thay x = -2 ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
Tính tổng: S  Cn0  2Cn1  3Cn2  ...  (1) n (n  1)Cnn


Giải:
2014
0
1
2
2014 2014
 C2014
 C2014
x  C2014
x 2  ...  C2014
x
Xét khai triển (1  x)

(1)

0
1
2
2014 2014
(1  x) 2014  C2014
 C2014
x  C2014
x 2  ...  C2014
x

(2)

và


(n  N * ) (1)

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n( x  1) n1  nxn1Cn0  (n  1) x n2Cn1  (n  2) x n3Cn2  ...  Cnn1

Suy ra n( x  1) n1 x  nxnCn0  (n  1) x n1Cn1  (n  2) x n2Cn2  ...  .x Cnn1

(2)
13


Lấy đạo hàm theo x hai vế của (2) ta được:
n(n  1)( x  1) n2 .x  n( x  1) n1  n 2 x n1Cn0  (n  1) 2 x n2Cn1  ...  Cnn1

(3)

Thay
x
=
1
vào
(3)
ta
được:
n 2
2 0
2 1
2 2
2 n 2
2 n1


(n  m; n, m  N * )

Phƣơng pháp3:Dùng tích phân
Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ hay một
só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên
đưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp

14


bởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để các em căn cứ
vào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân.
Ví dụ:1
Cho n là số tự nhiên n  1 .Chứng minh đẳng thức sau:
1
1
1
1
1
2 n1  1
C n0  C n1  C n2  C n3  ...  C nn 1 
C nn 
2
3
4
n
n 1
n 1


3
4
n
n 1

1
1
1
1
1
 C n0  C n1  C n2  C n3  ...  C nn1 
C nn
2
3
4
n
n 1

(1)

Mặt khác:
(1  x) n 1
0 (1  x) dx 0 (1  x) d (1  x)  n  1
1

1

n

1

P  2.Cn0  2 2. Cn1  23. Cn2  2 4. Cn3  ...  (1) n .2 n1.
Cnn
2
3
4
n 1

Giáo viên:

15


Cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn dắt đến bài toán tổng quát thay
số 2 bởi một số tự nhiên khác.
Ví dụ 2:
Cho n là số tự nhiên n  1 .Chứng minh đẳng thức sau:
C n0 

2 2  1 1 23  1 2 2 4  1 3
2 n  1 n1 2 n1  1 n 3n1  2 n1
Cn 
Cn 
C n  ... 
Cn 
Cn 
2
3
4
n
n 1

1 n1 n 2
x Cn  x Cn  x Cn  ...  x n Cnn1 
x Cn ) 1
2
3
4
n
n 1

2 2  1 1 23  1 2 2 4  1 3
2 n  1 n1 2 n1  1 n
Cn 
Cn 
C n  ... 
Cn 
Cn
2
3
4
n
n 1

(1)

Mặt khác:
(1  x) n1
n
n
1 (1  x) dx 1 (1  x) d (1  x)  n  1
2

2n
2n  2
2n  2

(n  N * )

16


Giải:
1
(1  x 2 ) n1
2 n
2
Ta có:  x(1  x ) dx   (1  x ) d (1  x ) 
2 0
 2(n  1)
0
1

1

1



2 n

0



1
1
1
1
1
1
 ( x 2 C n0  x 4 C n1  x 6 Cn2  x 8Cn3  ...  (1) n
x 2 n 2 C nn ) 0
2
4
6
8
2n  2
1 0 1 1 1 2 1 3
(1) n1 n 1 (1) n n
 C n  C n  C n  C n  ... 
Cn 
Cn
2
4
6
8
2n
2n  2

(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:

3
(
n

1
)
3(n  1)
0
0
0
1

1

2

3 n

(1)

Xét khai triển:
(1  x 3 ) n  Cn0  Cn1 x3  Cn2 ( x3 ) 2  Cn3 ( x3 )3  ...  Cnn ( x3 ) n

Ta có x 2 (1  x 3 ) n  Cn0 x 2  Cn1 x 5  Cn2 x8  Cn3 x11  ...  Cnn x 3n2
17


Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
1


1
 C n0  C n1  C n2  C n3  ... 
C nn
3
6
9
12
3n  3

(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:
- Nếu thay tích phân từ 0 đến 1 bởi tích phân từ 1 đến 2 ta được ? Từ đó rút ra bài tập
tổng quát.
- Có những bài tập chúng ta cần kết hợp giữa đạo hàm và tích phân như ví dụ sau.
Ví dụ 5:
Chứng minh đẳng thức sau:
Cn1  3Cn2  7Cn3  ...  (2n 1)Cnn  3n  2n

(n  N * )

Giải:
Xét khai triển (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...  Cnn x n (n  N * ) (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n(1  x) n1  Cn1  2 xCn2  3x 2Cn3  ...  n.x n1Cnn

Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:
2



 3n  2 n
1

18


Do đó: Cn1  3Cn2  7Cn3  ...  (2n 1)Cnn  3n  2n

(n  N * ) điều phải chứng minh.

Giáo viên:
Yêu cầu học sinh suy nghĩ bài tập tổng quát,coi như một bài tập về nhà.
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức sau:
Cn1  5Cn2  19Cn3  ...  (3n  2n )Cnn  4n  3n

(n  N * )

2.Tính tổng:
1
1
1
1
1
1
S  C n0  C n1  C n2  Cn3  ...  Cnn1 
C nn
2
4

n
n 1
n
2C  2 Cn  2 Cn  2 Cn  ...  (1) .2
Cn 
(n  N * )
2
3
4
n 1
n 1
0
n

2

5.Chứng minh đẳng thức sau:
1 1 1 2 1 3
(1) n n
2.4...(2n)
C  C n  C n  C n  ... 
Cn 
3
5
7
2n  1
3.5...(2n  1)
0
n


Xét khai triển : (1  i) 2013  C2013

0
2
4
2012
1
3
5
2013
 C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013
 (C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013
)i (1)

Mặt khác: (1  i) 2013  (1  i)(1  i) 2 

1006

 (1  i)(2i)1006  (1  i)(2)1006  21006  21006.i (2)

Từ
(1)
và
(2)

8
2008
2012
Tính tổng: S  C2013  C2013  C2013  ...  C2013  C2013

Giải:
0
1
2
3
2013 2013
 C2013
i  C2013
i 2  C2013
i 3  ...  C2013
i
Xét khai triển : (1  i) 2013  C2013

0
2
4
2012
1
3
5
2013
 C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013


1006

Xét khai triển : (1  x)

2013

0
2
4
2012
 C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013
(3)

0
1
2
3
2013 2013
 C2013
 C2013
x  C2013
x 2  C2013
x 3  ...  C2013
x

Thay x = 1 ta có:

 ...  C2013
 C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013

Do đó: 2

2012

0
2
4
2012
 C2013
 C2013
 C2013
 ...  C2013
(4)

2011
 21005
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: S  2

20


Ví dụ 3 :
0
2

 32 C2013
 ...  31006C2013
 (C2013
 3C2013
 ...  31006C2013
) 3i (1)



Mặt khác: (1  3i) 2013  (1  3i) 3



671

 (8) 671  2 2013 (2)

Từ
(1)
và
(2)
ta
có:
2013
0
2
2
4
1006 2012
1


cos

n2

2

Giải:
Xét khai triển (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...  Cnn x n (n  N * )
 x(1  x) n  Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x3  Cn3 x 4  ...  Cnn x n1

Thay x  cos  i sin  và áp dụng công thức Moa_vrơ ta được:
(cos  i sin  )(1  cos  i sin  ) n  Cn0 cos  Cn1 cos2  Cn2 cos3  ...  Cnn cos(n  1) 
 i(Cn0 sin   Cn1 sin 2  Cn2 sin 3  ...  Cnn sin( n  1) )
n
2
Mặt khác: (1  cos  i sin  )  (2 cos


2

 2i sin



(1)






2
2
Do đó:
(cos  i sin  )(1  cos  i sin  ) n  2 n cosn


2

cos

n2

n2
  i.2 n cosn sin
 (2)
2
2
2

Từ (1) và (2) ta có:
C n0 cos  C n1 cos 2  Cn2 cos3  Cn3 cos 4  ...  C nn cos(n  1)  2 n cosn


2

cos

n2
 Điều

n

 



2

2

 C n4  ...  C n1  C n3  C n5  ...  2 n

(n  N * )

4.Chứng minh

1  C

2
n

  2
2

 C n4  ... 

n

cos



S  1  Cn2  Cn4  Cn6  ...
P  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ....
1
1
1 7
M  Cn1  Cn3  Cn5 
Cn  ....
3
9
27

(n  N * )

8.Chứng minh rằng:
1
n 
1  Cn3  Cn6  ...   2 n  2 cos

3
3 

(n  N * )

IV. KIỂM NGHIỆM
Trước đây chưa sử dụng đề tài này qua quá trình kiểm tra các em tôi thấy các em không
biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? các bài kiểm tra có
nhiều em còn bị điểm kém ,điểm khá giỏi ít.Để kiểm tra hiệu quả của đề tài này, sau khi
các em được hướng dẫn cách sử dụng công thức, tính chất tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm,
tích phân, công thức triển khai nhị thức Niu Tơn, số phức để chứng minh hay tính tổng


21

52,5

12B

45

6

13,4

11

24,4

28

62,2

12K

48

1

2

14

26,8

10

24,4

20

48,8

12B

44

7

15,9

12

27,3

25

56,8

12G

49


- Các sáng kiến kinh nghiệm của các thầy cô hàng năm lưu giữ ở thư viện để giáo viên và
học sinh cùng nghiên cứu,và học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

24