SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

ĐỀ TÀI
GIẢI PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ :
1/ Thực Trạng:
Trong chương trình tốn THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
II, giải bất phương trình (BPT) và chứng minh một bất đẳng thức(BĐT) là một
trong những chun đề quan trọng. Thơng qua chứng minh bất đẳng thức ta có
thể ơn lại cho học sinh rất nhiều kiến thức về tính tốn, biến đổi, rút gọn trong
tập hợp Q.
Chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình, học sinh ngồi việc
được rèn luyện kĩ năng tính tốn, biến đổi, học sinh còn được nâng cao về mặt
tư duy lơgic, lập luận các vấn đề chặt chẽ, được rèn luyện khả năng sáng tạo. Có
thể nói phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các
phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh được một vấn đề nào đó của cấp
học, nên một số học sinh rất ngại đối với việc chứng minh một bất đẳng thức do
đó một số học sinh tỏ ra chán nản đối với phân mơn này. Qua thời gian tìm tòi
nghiên cứu ,trao đổi với các anh em đồng nghiệp trong tổ Tốn tơi lần tìm ra
một số ngun nhân dẫn đến việc khơng làm được một bài tốn chứng minh một
bất đẳng thức v gỉai BPT
2/ Ngun Nhân:
-

Các em chưa thấy rõ vai trò ,vị trí và nhiệm vụ,mục tiêu của việc học mơn
Tốn


-


1.Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất.
Bài 1: Cho phân số

a− x a
x a
a
= thì =
. Chứng minh rằng nếu có
y b
b− y b
b
Chứng minh:

Ta có :

a− x a
=
b− y b

⇒ (a – x ).b = (b – y ). a
⇒ ab – x b = ab – a y
⇒ bx = ay

hay

x a
=
y b

Bài 2: Cho ab – ac + bc – c2 = - 1 với a,b,c ∈ Z.

− =
b d
bd

(2)


Từ (1) ⇒

ad − bc
=1
ac

⇒ ad – bc = ac (3).

a c ac
ac
Thay (3) vào (2) : − =
=
(ĐPCM)
b d bd
bd

Bài 4: Cho các số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện

Chứng minh rằng :

x y z
= =
a b c


ay −bx bak −bak
=
=0
c
c

(3)

Từ (1),(2),(3) ⇒

bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c

Chứng minh bằng cách hoán vị vòng quanh:
Sử dụng phương pháp này với các bieåu thöùc chứa nhiều biến số mà chỉ hoán
vị vòng quanh các biến số đó không làm thay đổi biểu thức.
Ví dụ : Chứng minh rằng:

a− b
b− c
c− a
2
2
2
+

(a − b)(a − c)
a−b a−c
c−a
1
1
=
+
(3)
(b − c )(b − a )
a−b
b−c

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2),(3)
⇒ VT =

2
2
2
+
+
= VP
a−b b− c c− a

(ĐPCM)

Bài tập :
1)Chứng minh rằng ;

2 mn
m + n + m+n

Bài 1: Cho : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. (1)
Chứng minh rằng: a = b = c.
Chứng minh:
Nhân hai vế của biểu thức (1) với số 2 ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0
⇔ ( a2 – 2 ab + b2) + (b2 – 2bc + c2 ) + (c2 – 2ac + a2) = 0
⇔ (a – b )2 + (b – c )2 + (c – a)2 = 0

Vì (a – b )2 ≥0; (b – c )2 ≥0 ;

(1)

(c – a)2 ≥0


Nên từ (1) ⇒ a – b = b – c = c – a = 0
Hay a = b = c.
Bài 2: Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng :
a , a2 + b2 – c 2 + 2bc = 4 (p – b )(p – c )
b , p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = a2 + b2 +c2
Chứng minh:
a, Ta có : VT = a2 + b2 – c2 + 2bc = a2 – ( b2 + c2 – 2bc ) = a2 – (b – c )2
= (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = 4 (p – b )(p – c )= VP
b, Ta có: VT = p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2
= p2 + (p2 – 2ap + a2) + (p2 – 2pb + b2 ) + (p2 – 2pc + c2)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p(a + b + c)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p. 2p
= a2 + b2 + c2 = VP.
Bài 3: Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1.

Vậy a4 + b4 + c4 + 2.

1
4

(vì a + b + c = 0

)

1
1
= 1 ⇒ a4 + b4 + c4 =
4
2

Bài 4: Chứng minh rằng:
(x +y + z)3 – [ (x+y – z )3 +(x – y + z )3 + ( – x +y + z )3 ] = 24xyz
Chứng minh:
Đặt : A = x+y – z
B= x–y +z
C = – x +y + z
⇒ A + B + C = x +y + z

Biến đổi vế trái:
VT = (A + B + C )3 – ( A3 + B3+ C3)
= (A + B + C )3 – A3 – B3 – C3
= 3(A2B + B2C + C2A + B2A + C2B + A2C + 2ABC)
= 3 [ (A2B +B2A ) +(B2C + ABC ) + (C2A + C2B) + (A2C + ABC ) ]
= 3 [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C2 (A + B) + AC(A + B) ]
= 3 (A +B )(AB + BC +C2 + AC )


Ta có:

xy
yz
xz
x2 y2 z 2
+ 2 +2
+ 2 + 2 +2
2
ab
ac
bc
a
b
c

=1

2
2
2
xy
yz
xz
x
y
z
⇔
+

b
c


Thế (2) vào (3) ta có

x2 y2 z 2
+
+
= 1 (Đpcm)
a2 b2 c2

Bài tập:
1) Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3 abc
2)Cho (a + b )2 = 2 (a2 +b2)
Chứng minh rằng : a = b

3. Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau.
Bài 1: Cho các số a, b , c , d thoả mãn điều kiện:
a b c
d
= =
=
và a + b +c +d ≠ 0
3b 3c 3d 3a

Chứng tỏ rằng: a= b = c = d
Chứng minh:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:


= ⇒ a = d (4)
3a
3

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ a = b= c = d.
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu

(Đpcm)

a c p
a c p
ma + nc + ep
= =
thì
= = = .
b d q
mb + nd + eq
b d q
Chứng minh:

Ta có :

⇒

a c p
= =
b d q

⇒


⇒ a + b = k (a – b )

c + a = k (c – a )
⇒ a( 1 – k ) = – b (1 + k)

a( 1 – k ) = – a (1 + k)
⇒

a(1 − k )
− b(1 + k )
=
− a (1 + k )
c(1 − k )

⇒

a b
=
c a

⇒

a2 = bc

(Đpcm)

b
c 
b−c c−a a−b  a
+


=3+

*

b(b − c)
a (c − a )
c (c − a ) a ( a − b ) b ( a − b )
+
+
+
+
a (c − a )
b(b − c)
b(a − b) c(b − c) c(c − a)

b(b − c)
b ( a − b)  b − c a − b  b
+

+
=
a (c − a )
c (c − a )  a
c  c−a
b(bc − c 2 + a 2 − ab)
=
ac (c − a)

=

abc
 bc ac ab 

=3+2

a 3 + b 3 + c 2 − 3abc + 3abc
abc

(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca)
=9+2
abc
=9

(Vì a + b + c = 0) = VP

4.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học (truy toán).
Lí thuyết cơ bản:
Bước 1: Thử với một số trường hợp đơn giản


Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k
Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Bài 1: Chứng minh rằng:
Sn = 1 + 3 + 5 + …. + (2n-1) = n2
Chứng minh:
Thử trực tiếp: Ta thấy S1 = 1
S2 = 1+3 = 22
S3 = 1 + 3 + 5 = 3 2
…….
Giả sử đẳng thức đúng với n = k (k ≥ 1).



4, 15 + 25 + …n5 =

1 2
.n (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
12

Song song với các giải pháp trên, tơi còn hướng dẫn các em phương pháp tự
học, tự nghiên cứu, nên tìm hiểu bài trước, tập trung trong giờ học, tham gia
đóng góp ý kiến xây dựng bài mới; giáo viên chuẩn bị bài giảng chu đáo, sử
dụng các phương pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả của tiết
dạy; đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường trang thiết bị vào giảng dạy,
sử dụng các đồ dùng dạy học để tạo thêm hứng thú, kích thích lòng say mê
học tập ở các em, từ đó các em sẽ ghi nhớ kiến thức của bài lâu hơn, các kiến
thức sẽ được liên tục và chất lượng bộ mơn sẽ tốt hơn.
KẾT QUẢ:
Việc áp dụng các giải pháp giúp học sinh biết cách chứng minh một
đẳng thức trong dạy học mơn Tốn là rất cần thiết. Nó giúp học sinh nhớ bài
học tại lớp, nhờ đó các em tiết kiệm được thời gian để học nhiều mơn khác,
đồng thời các em có thời gian để luyện tập nâng cao kỹ năng vận dụng kiến thức
lý thuyết vào bài tập và áp dụng kiến thức vào thực tiễn.
Áp dụng được các giải pháp giúp học sinh ghi nhớ cách chứng minh
một đẳng thức còn tạo điều kiện để học sinh nắm kiến thức cơ bản của bài học
và cách lập luận chặt chẽ có lôgic khi giải toán . Từ đó các em sẽ thấy tự tin
hơn, hứng thú hơn khi học Tốn. Nó còn mang lại cho các em tâm lý thoải mái,
nhẹ nhàng khi tiếp thu kiến thức tốn học. Nhờ vậy các em nhớ kiến thức lâu
hơn, chất lượng bộ mơn qua đó cũng được nâng cao.
KHẢ NĂNG VẬN DỤNG:
Các cách giúp học sinh chứng minh một đẳng thức rất dễ thực hiện, có

Trường THCS-THPT T. Xuân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI

GIẢI PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG
THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THCS

GiáoViên : HUỲNH VĂN HIỆP