SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI HỌC KỲ II

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

MÔN TOÁN - KHỐI 12
Ngày thi: 20/04/2016
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y 

x2
có đồ thị (H)
2x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H)
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(2; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (H) tại 2 điểm
phân biệt.
Câu 2: (2 điểm)
1

a) Tính tích phân: I    3 x  1 e 2 x dx
0

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x 2  2 x , x  1 , x  3 và trục hoành.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa : (1  i) 2 z  3  4i  (2  3i)z
b) Cho số phức z thỏa mãn:  3  2i  z  4 1  i    2  i  z . Tính môđun của z.
Câu 4: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  4;3;1 , B 1;5; 1 và
đường thẳng.  :

(2 x  1) 2
2
1
1
Hàm số đồng biến trên (;  ) và ( ; ) (0.25đ)
2
2
lim  y   ; lim  y    Đường thẳng x  

x 

1
2

x 

1
2

1
là tiệm cận đứng
2

1
1
1
là tiệm cận ngang
; lim y   Đường thẳng y 
x 
x 

1
2



(0.25đ)

Đồ thị: (0.25đ)
b) (d ) : y  k ( x  2)  2 .

(0.25đ)
x2
1
 k ( x  2)  2  x  2  (2 x  1)(kx  2k  2)( x  )
2x 1
2

PThđgđ của (H) và (d):

 2kx 2  (5k  5) x  2k  0 (*) (0.25đ)
(H) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb khi và chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

k  0
k  0
5



 k   k  5 (0.5đ)
5


e dx   3 x  1 e
 e

0 0 2
0 4
0
2
2
4
3

b) Diện tích cần tìm: S   x 2  2 x dx
1

 x  0  [1;3]
Xét : x 2  2 x  0  
 x  2  [1;3]
2

3

 x3

 x3

2 4
 S    x  2x  dx    x  2x  dx    x 2     x 2      2
3 3
 3

Gt   3  2i  a  bi   4  4i   2  i  a  bi  (0.25đ)

 3a  2b  4   2a  3b  4  i  2a  b   a  2b  i (0.25đ)
3a  2b  4  2a  b
a  3
(0.25đ)  z  10 (0.25đ)


 4  2a  3b  a  2b
b   1

Câu 4:


 
a)  có vectơ chỉ phương u  1; 1;3 ; ( )      có vtpt n  u  1; 1;3 .(0.25đ)

Mà   qua A  4;3;1  ( ) : 1 x  4   1 y  3  3  z  1  0  ( ) : x  y  3z  4  0 (0.25đ)
Gọi M      .

Điểm M    M  4  t ;1  t ; 4  3t  . (0.25đ)

Điểm M    nên  4  t   1  t   3  4  3t   4  0  t  1  M  3; 2;1 (0.25đ)


b) Gọi H là hình chiếu của B trên   H   H (4  t;1  t;4  3t )  BH  (3  t; 4  t;5  3t )
 
(0.25đ) BH    BH .u  0  11t  22  0  t  2  H (2;3; 2) (0.25đ)
Mặt cầu (S) có tâm B 1;5; 1 , bán kính R = BH =



D

E
A

H

1
1
VS . ABC  SH .S ABC  .2 3a.2 3a 2  4a 3 .
3
3

C

B

b)Dựng hình chữ nhật ABCD  AB // CD  AB // (SCD)

 d(AB,SC)  d(AB,(SCD))  d(A,(SCD))  2d(H,(SCD)) (do AC  2HC )
Trong (ABCD), gọi E là trung điểm CD  HE  CD  CD  (SHE)
Trong (SHE), kẻ HK  SE (K SE)  HK  (SCD)  d(H,(SCD))  HK
Ta có: HE 

1
A D  3a
2

SHE vuông tại E 