MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3
3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu...................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 4
7. Những đóng góp của Luận án ............................................................................. 4
8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ ............................................................................... 5
9. Cấu trúc của Luận án ........................................................................................... 5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN................................................................................... 6
1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài ............... 6
1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức ....... 6
1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán....... 9
1.1.3. Một số nhận định ..................................................................................... 11
1.2. Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học ................................. 12
1.2.1. Hoạt động nhận thức ............................................................................... 12
1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học................................................................. 14
1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học ........................................ 15
1.3.1. Thủ pháp .................................................................................................. 15
1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................................ 16
1.3.3. Một số ví dụ............................................................................................. 21
1.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng
các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .................................................... 22
1.4.1. Về mục đích dạy học toán (T1) ............................................................... 22
1.4.2. Về nguyên lý học tập (T2)....................................................................... 22
1.4.3. Về các hoạt động trí tuệ (T3) .................................................................. 23
1.4.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) .... 25
1.5. Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya

2.3. Đối tượng khảo sát ......................................................................................... 47
2.4. Phương pháp khảo sát..................................................................................... 47
2.5. Kết quả khảo sát ............................................................................................ 48
2.5.1. Kết quả khảo sát đối với giáo viên .......................................................... 48
2.5.2. Kết quả khảo sát đối với HS.................................................................... 53
Kết luận chương 2 ................................................................................................. 64
Chương 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP
HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G. POLYA
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP
TRUNG HỌC CƠ SỞ ............................................................................................. 66
3.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp ............................................... 66
3.2. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh
theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp ở
trường trung học cơ sở ........................................................................................... 67


3.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong, kích thích nhu cầu của học sinh
trong việc bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức ........................ 67
3.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện cho học sinh có nhiều cơ hội trải nghiệm
để tìm hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề
một cách tinh tế ....................................................................................... 76
3.2.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho học sinh hình thành và vận dụng hợp lý
các thủ pháp hoạt động nhận thức trong giai đoạn lập kế hoạch
giải quyết vấn đề ..................................................................................... 89
2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh khả năng tìm nhiều lời giải,
lựa chọn lời giải tối ưu và khai thác, phát triển các vấn đề nhằm
khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................ 103
3.2.5. Biện pháp 5. Xây dựng và tổ chức dạy học thích hợp các chuyên đề
ẩn chứa trong đó những thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng
cho học sinh ........................................................................................... 118

Sơ đồ 1.2.
Sơ đồ 1.3.

Cấu trúc vĩ mô hoạt động .................................................................... 12
Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT ............................................ 14

Sơ đồ 1.4.
Sơ đồ 1.5.
Sơ đồ 1.6.

Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán ......................... 24
Sơ đồ các nhân tố cơ bản trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS .... 44
Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP ............................ 45

Bảng:
Bảng 4.1.

Kết quả bài kiểm tra của HS sau đợt thực nghiệm thứ nhất ............. 150

Bảng 4.2.
Bảng 4.3.

Kết quả bài kiểm tra số 1 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 152
Kết quả bài kiểm tra số 2 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 154

Biểu đồ:
Biểu đồ 4.1. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 1 ........... 151
Biểu đồ 4.2. Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 1 ............................................... 151
Biểu đồ 4.3. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 1
TNSP đợt 2........................................................................................ 153

dục phổ thông theo định hướng “tiếp cận năng lực”.
1.2. G. Polya là một nhà toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, các công trình của
ông là những công trình nghiên cứu Ơristic (heuristic), đó là cách thức nhằm tăng
nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề thông qua các
suy nghĩ rút gọn. Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông
là dạy cho HS suy nghĩ. Ông cho rằng, điểm chính trong việc giảng dạy toán học là
phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề. Mặt khác, theo G. Polya giải toán nói
riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, vì vậy, đòi hỏi người học
cần có khả năng khéo léo, linh hoạt, sáng tạo để đạt hiệu quả cao. Từ đó, tác giả đã
đưa ra một số kinh nghiệm và các kỹ thuật để chuyển việc giải các bài toán chưa
hoặc không có dạng chuẩn về các bài toán chuẩn. Đây là những cách thức tư duy
linh hoạt, khéo léo, độc đáo để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học.


2

Như vậy, mặc dù G. Polya không đề cập đến TPHĐNT nhưng theo chúng
tôi, các kinh nghiệm hay các ơristic mà tác giả đề xuất trong giải quyết vấn đề là
những TPHĐNT. Đó chính là các công cụ hữu hiệu giúp HS giải quyết hiệu quả các
vấn đề, phát huy tối đa tính tích cực nhận thức của người học. Vì vậy, chúng ta cần
quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho HS ở trường phổ thông. Đúng như Shuard đã
khẳng định khi nghiên cứu về chương trình giáo dục quốc gia của Anh và xứ U-ên
“Mối quan tâm lớn nhất hiện nay về TP xuất phát từ công trình của G. Polya về giải
quyết vấn đề toán học” [22, tr. 403].
1.3. Nội dung chương trình môn Toán ở trường THCS có vị trí quan trọng
trong chương trình toán phổ thông. Các mạch kiến thức đều trình bày với mục đích
cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về: quan sát và dự đoán, phân tích và
tổng hợp, suy luận logic… Bên cạnh đó, đặc điểm nhận thức của HS THCS theo J.
Piaget [73, tr. 419] là: “Suy nghĩ không còn bị giới hạn vào những cái trực quan, cụ
thể. Trẻ thích suy xét những vấn đề mang tính giả thuyết... Chúng có khả năng lập

thích hợp trong các tình huống mới và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi
các em phải được trang bị về TP và có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng các
TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông. Tuy
nhiên, TP chưa được dạy mà chúng chỉ được hấp thụ vào vốn hiểu biết của HS qua
việc sử dụng một thời gian dài. Và vấn đề HS học TP như thế nào, vận dụng chúng
vào thời điểm nào cho thích hợp vẫn còn chưa được nghiên cứu nhiều; giáo viên
toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT. Hơn nữa, vấn đề về TPHĐNT
theo tư tưởng sư phạm của G. Polya là hoàn toàn mới, việc bồi dưỡng nó cho HS
trong DH môn Toán ở trường THCS hiện nay chưa được quan tâm nghiên cứu.
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng
các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh
trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các
TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học môn Toán ở trường THCS.
3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm
của G. Polya trong môn Toán ở trường THCS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng
sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào nghiên cứu trong DH môn
Toán các lớp cuối cấp (8, 9) ở trường THCS.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cần bồi
dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS và xây dựng được một số biện
pháp có cơ sở khoa học, phù hợp, khả thi thì có thể bồi dưỡng các TP đó cho người
học, góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận án có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

giáo dục và các phần mềm cần thiết để xử lý số liệu với những thông tin định lượng,
xử lý logic với những thông tin định tính để phân tích kết quả điều tra khảo sát thực
trạng và kết quả thực nghiệm sư phạm của Luận án.
7. Những đóng góp của Luận án
7.1. Về mặt lý luận
- Xác định quan niệm về TPHĐNT (dựa trên cơ sở những căn cứ khoa học), tư
tưởng sư phạm của G. Polya về DH TPHĐNT; Xác định được nội hàm của quan
niệm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thông qua việc đưa ra một số
nhóm TPHĐNT thường sử dụng theo tư tưởng sư phạm của Polya cần bồi dưỡng
cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.
- Đưa ra các điều kiện sư phạm để hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS.


5

- Trình bày rõ những thuận lợi, khó khăn trong thực tiễn khi hình thành và khắc
sâu TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya để giải quyết các vấn đề.
- Đưa ra năm định hướng và năm biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi
dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn
Toán các lớp cuối cấp THCS. Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất các biện pháp mà
còn tổ chức thực hiện bằng việc dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để HS tham gia
tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát triển nhiều năng lực
cho người học (phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong
giai đoạn hiện nay).
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đưa ra các hướng dẫn sư phạm cụ thể cho việc bồi dưỡng một số nhóm
TPHĐNT trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS thông qua một số nội dung.
- Cung cấp tài liệu tham khảo cho GV, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn
Toán ở trường THCS. Đặc biệt, góp phần đổi mới phương pháp DH phổ thông theo
hướng “tiếp cận năng lực” ở Việt Nam sau 2015.

1.1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan trên thế giới
Nhiều nghiên cứu trên thế giới đã quan tâm đến TPHĐNT và vai trò của nó
trong giải quyết vấn đề, chẳng hạn [22], [66], [114], [117], [118], [119], [124], [125],
[126], [127] và [128]... Trong những nghiên cứu trên, các tác giả đã có những nhìn nhận,
quan niệm khác nhau về TPHĐNT. Tuy nhiên, nhìn nhận TP như là cách thức mang
tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong giải
quyết vấn đề là quan niệm của hầu hết các tác giả. Chẳng hạn:
+ Trong các nghiên cứu [118], [119], [124], [125], [129]..., các tác giả đã
thừa nhận, trong giảng dạy toán cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1) Về
hiện thực đối tượng; 2) Về cách thức thực hiện các hành động trí tuệ đảm bảo việc
nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tượng đó. Quan điểm này phù hợp
với mô hình trí tuệ gồm hai thành phần của các nhà tâm lý học N. A. Menchinskaya,
E. N. Kabanova – Meller, đó là: tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ
thuật trí tuệ (phương thức phản ánh). Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các
thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu
nhất định [66, tr. 44, 45]. Cũng theo quan điểm này, khi nghiên cứu các HĐ của HS
nhằm lĩnh hội và vận dụng tri thức, các nhà tâm lý học Xô Viết S. L. Rubinstein, N.
A. Menchinskaya, E. N. Kabanova - Meller... đã chứng tỏ rằng: “Những loại đối
tượng khác nhau, những kiểu tài liệu học tập khác nhau đòi hỏi những thủ thuật
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa khác nhau” [80, tr.111]. Do
đó, muốn hình thành những tri thức và khái niệm đúng đắn cần phải dạy HS những
thủ thuật hoạt động trí tuệ để phát hiện, tách ra và hợp nhất các dấu hiệu bản chất
của các lớp đối tượng cần nghiên cứu.
+ Trong [126], nhà tâm lý học Xô Viết E. N. Kabanova - Meller đã khẳng
định: Các TP cần thiết cho việc độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến
thức. Tác giả cũng đã dẫn ra một số ví dụ minh họa cho các TP quan trọng như: TP
phân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, TP xem xét đối
tượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng một đoạn thẳng trong một tam giác cân có
thể được xem như là đường cao, phân giác hoặc trung tuyến), TP tạo lập ảnh ghi nhớ
hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm, các ảnh biểu thị cái mà HS hình dung trong

trường phổ thông ngày càng không ngừng hướng tới các TP để có được giải pháp.
Backhouse và nhiều người khác đưa ra ý kiến: “Nói chung, một TP có thể được
coi như là một cách để làm cái gì đó hay là phương thức của một hoạt động” [22, tr.
404], đó là cách mà HS sử dụng để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năng vào bài làm.
Len Frobisher [22] cũng đã đưa ra tên một số các TP “chung” vận dụng trong
khám phá và giải quyết vấn đề toán học như: Các TP giao tiếp; các TP lý giải, các TP
mổ xẻ, các TP ghi chép. Ngoài ra, với mỗi môn học lại có những TP đặc trưng riêng.
Tác giả cũng đã liệt kê một số TP mà theo các nhà giáo dục toán học chúng chỉ phù
hợp cho môn Toán trong sơ đồ sau (Sơ đồ 1.1).


8
Đoán

Tìm mô hình
Ngoại suy

Nội suy

Dự đoán
Phỏng đoán

Kiểm tra

Giả thuyết
Kiểm tra
Khái quát hóa
Chứng minh

Sơ đồ 1.1. Các TP “riêng” cho toán học [22, tr. 407]

có vấn đề nói riêng hoặc một nhiệm vụ cần giải quyết:
T = N(KCT – KĐC) (*) bởi T = N[(KCT – KĐC) + (TPCT – TPĐC)] (**).
Trong đó: N là nhu cầu nhận thức của HS; T là mức độ sáng tạo, tính tích
cực của HS; KCT và KĐC là kiến thức, kỹ năng cần thiết và đã có để GQVĐ của HS;
TPCT và TPĐC lần lượt là các tri thức phương pháp, các TPHĐNT cần thiết và đã có
của HS [61].
Tác giả Trần Luận khẳng định, việc cần thiết phải trang bị cho HS các thành
phần TPCT thích hợp đã được nhiều nghiên cứu đề cập, đặc biệt là trong các mô hình
DH phát triển. Thực tiễn DH ở nước ta, đã có một bộ phận GV quan tâm đến việc
trang bị, bồi dưỡng cho HS của mình các thành phần TPĐC như: Xét tương tự, xét một
đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét các trường
hợp tới hạn, xét các đối tượng có liên quan, suy xuôi, suy ngược tiến... nhưng chưa
được phổ biến rộng rãi và chưa có tính hệ thống.
Gần đây, tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết [108], đã đề cập đến vấn đề bồi
dưỡng năng lực giải quyết vấn đề trong DH Giải tích thông qua trang bị TPHĐNT.
Tác giả đưa ra quan niệm “Thủ pháp hoạt động nhận thức toán học là tri thức về
cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải
quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học”. Với quan niệm
này, tác giả đã xem TPHĐNT như một tri thức về cách thức thực hiện mang tính
độc đáo hoặc khéo léo và là một đối tượng để truyền thụ cho học sinh. Tác giả cũng
đưa ra một số TPHĐNT trong một lĩnh vực Giải tích ở trường Phổ thông và đề xuất
các biện pháp trang bị TPHĐNT cho HS nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề.
1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán
G. Polya là nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng. Các công trình sư
phạm của ông hết sức đồ sộ và bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DH toán ở bậc
phổ thông. Trong các công trình của mình, tác giả đã đề xuất nhiều quan điểm sư


10


những bài toán có dạng chuẩn (TP chia nhỏ); Diễn đạt lại bài toán theo một cách
khác, dẫn đến bài toán có dạng chuẩn (TP mô hình hóa)... Để thực hiện TP chia nhỏ
hoặc mô hình hóa được dễ hơn, trước tiên cần phải xây dựng mô hình trực quan bổ
trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ” [128, tr. 77,78]. Họ cho rằng, các TP chia
nhỏ, TP mô hình hóa như là một nghệ thuật trong hoạt động giải toán mà chỉ có thể
lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích thường xuyên các hành động giải toán
và luyện tập giải các loại bài toán khác nhau.


11

+ Tác giả Nguyễn Bá Kim [50], đã nhấn mạnh đến tầm quan trọng của các tri
thức phương pháp đặc biệt là các tri thức phương pháp tìm đoán trong HĐ học tập
của HS nhằm đạt được mục đích nâng cao năng lực giải quyết vấn đề.
+ Theo Len Frobisher [22], việc thực hiện các giai đoạn giải quyết vấn đề
của G. Polya đòi hỏi HS có khả năng hình thành, huy động những TP, kinh nghiệm
phù hợp trước đó một cách có ý thức. Tác giả khẳng định vai trò quan trọng, sự cần
thiết phải quan tâm đến việc dạy và học về TP ở trường phổ thông.
Tóm lại, tư tưởng sư phạm của G. Polya có ý nghĩa hết sức quan trọng trong
DH toán, đặc biệt là giải quyết vấn đề toán học. Đặc biệt, nhiều nghiên cứu đã vận
dụng tư tưởng của ông để phát triển các cách thức suy nghĩ độc đáo, khéo léo nhằm
đưa ra phương án hiệu quả giải quyết vấn đề, đó là những TPHĐNT. Các TP này
đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ cho HS. Để lĩnh hội tốt các tri
thức toán học, các em cần hình thành và phát triển TPHĐNT đó một cách hợp lý.
1.1.3. Một số nhận định
Các nghiên cứu trên chỉ mới đưa ra một cách hiểu chung chung về TP, chưa
có sự thống nhất trong thuật ngữ. Theo chúng tôi, TP được vận dụng trong toàn bộ
HĐNT của người học nên có thể xem đó là các TPHĐNT. Hơn nữa, dưới những góc
độ khác nhau, các tác giả chỉ trình bày một số TP cụ thể rồi đưa ra các ví dụ minh
họa (thường là tản mạn), chưa có hệ thống TP thích hợp trong quá trình DH Toán.


Phía đối tượng

Hoạt động

Động cơ

Hành động

Mục đích

Thao tác

Phương tiện

Sơ đồ 1.2. Cấu trúc vĩ mô hoạt động [41, tr. 45]
Việc phát hiện ra cấu trúc chung của HĐ và mối liên hệ biện chứng giữa các
thành tố của nó có ý nghĩa to lớn cả trong lý luận và thực tiễn. J. Piaget cho rằng:
Tri thức không phải truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được
chính cá thể xây dựng thông qua hoạt động [75]. Do đó, trong lĩnh vực DH, chúng
ta cần hình thành HĐ học tập cho HS và chú trọng phát huy tính chủ thể của HS mà
đặc trưng là tính tự giác, tích cực, sáng tạo.
Theo A.V. Petrovski [80, tr. 69], những công trình nghiên cứu của các nhà tâm
lý học đã chứng tỏ rằng ngoài HĐ thực tiễn con người còn có khả năng tiến hành một
HĐ đặc biệt nữa, đó là HĐNT. Mục đích của HĐ này là nhận thức, tức là thu thập và
cải biến thông tin về các thuộc tính của thế giới khách quan.
Có nhiều quan niệm về HĐNT, chẳng hạn: “HĐNT là quá trình cá nhân
thâm nhập, khám phá, tái tạo lại, cấu trúc lại thế giới xung quanh, qua đó hình
thành và phát triển chính bản thân mình mà trước hết là các kiến thức về thế giới,
các kĩ năng và phương pháp hành động cũng như những giá trị sống khác” [75, tr.

chuyển hẳn sang tư duy” [91, tr. 12].
Qua khảo sát thực tiễn, việc DH hiện nay ở trường THCS còn thiên về sử dụng
cơ chế nhận thức cảm tính, kết hợp với trí nhớ và tư duy tái tạo. Vì vậy, chưa thực sự
phát huy khả năng tư duy và trí tưởng tượng sáng tạo của HS. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi sẽ quan tâm về tư duy trong quá trình phát triển trí tuệ của HS.
Có nhiều định nghĩa, nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà
tâm lý học. X. L. Rubinstein cho rằng: Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của
chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm
tính xuất hiện do tác động của khách thể [20, tr. 264]. Trong các tài liệu [45], [109],
[110] và [32, tr.117] các tác giả cho rằng: Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tượng trong hiện thực khách quan. Hay “Tư duy không phải chỉ là HĐNT, mà còn là
hoạt động phối hợp, sáng tạo, nhờ đó con người tạo ra những sự vật, hiện tượng mới
của nền văn hóa tinh thần và vật chất, dự kiến và vạch ra đường đi của đời sống cá
nhân và xã hội...” [91, tr. 8].


14

Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo tư tưởng của M. N. Sacđacôp và quan
niệm: HĐNT được hiểu là quá trình tư duy của cá nhân nhằm thâm nhập, khám phá
và giải quyết các tình huống cần nhận thức.
1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học
Quan điểm của C. Mác và Ph. Ăngghen về HĐNT của thế giới nói chung và
nhận thức toán học nói riêng được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy [73, tr.
447]. Theo Nguyễn Bá Kim [50], quá trình tư duy toán học được diễn ra bằng cách
chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Ngoài ra, các quan điểm khác của triết học duy
vật biện chứng cho rằng, HĐNT chỉ nảy sinh khi đứng trước những mâu thuẫn,
chướng ngại nhận thức.
Trong [94], các tác giả cho rằng: HĐNT toán học gắn liền với HĐ tư duy nói

HĐ mô
hình hoá

Sơ đồ 1.3. Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT [94, tr. 14]
Do đó, để tiến hành DH hiệu quả, việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho HS
được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của đổi mới PPDH hiện nay.
Mặt khác, mục tiêu chủ yếu của việc phát triển HĐNT trong DH toán là phát
triển trí tuệ, nhân cách của HS. Phát triển trí tuệ được hiểu là sự thống nhất giữa
việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh


15

chúng (con đường, cách thức, phương pháp… đi đến tri thức đó, nói gọn là giành
lấy tri thức, cách học) [94, tr. 12]. Vì vậy, trong quá trình DH môn Toán, cần quan
tâm đến việc bồi dưỡng, phát triển cho HS các cách thức mang tính khéo léo, độc
đáo, linh hoạt để giành lấy tri thức, đó chính là các TP.
1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học
1.3.1. Thủ pháp
Theo [81, tr. 1495], “Thủ pháp là cách để thực hiện một ý định, một mục
đích cụ thể nào đó”. Như vậy, ở đây TP là một danh từ chỉ cách con người thực
hiện để làm một việc gì hay là phương thức của một hoạt động.
Nhà ngôn ngữ học Nguyễn Thiện Giáp cho rằng, thủ pháp (procedure) là một
hệ thống những nguyên tắc xác định cách nghiên cứu để đạt tới tri thức mới trong
một khoa học [31, tr. 15]. Tác giả đề cập đến các TP giải thích bên ngoài, bên trong,
TP logic... và cho rằng trình độ nghiên cứu của một khoa học được phản ánh ở sự
phong phú của các TP, ở phạm vi vận dụng và khả năng giải thích, miêu tả đối tượng
của các TP đó.
Trong [22], D. N. Perkins và một số nhà giáo dục học khác đánh giá cao về
vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong khả năng trí tuệ của con người. Bởi vậy,

khác nhau nhưng hầu hết đều mang tính nghệ thuật, khéo léo, độc đáo để giải quyết
vấn đề hiệu quả nhất. Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm “TP là
cách thức được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để thực hiện một công việc
cụ thể nào đó hiệu quả”.
1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức
1.3.2.1. Một số căn cứ dẫn đến quan niệm TPHĐNT
Ngoài các căn cứ là quan niệm HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP
trong 1.3.1, chúng tôi quan tâm đến một số căn cứ khoa học sau để đưa ra quan
niệm TPHĐNT:
a) Cơ sở triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong
phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, tác động qua lại và
nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh
đúng bản chất của thế giới khách quan [74]. Do đó, việc vận dụng các nguyên lý,
quy luật, các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng và phương pháp tư duy
biện chứng giúp HS có được sự nhận thức một cách khéo léo và linh hoạt; biết xem
xét sự vật, hiện tượng trong sự tương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên
hệ biện chứng. Từ đó, tìm ra được cái cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản
nhất để tập trung giải quyết một cách có hiệu quả các vấn đề. Chẳng hạn:
- Để đi đến một cái chung, ta có thể phải khảo sát một số trường hợp riêng,
lấy kết quả của cái riêng nhằm định hướng giải quyết cái chung.
- Nếu vấn đề đang xét lại là trường hợp riêng của một vấn đề tổng quát nào
đó, có thể giải quyết vấn đề tổng quát rồi suy ra vấn đề ban đầu. Vì vấn đề tổng quát
thường chứa đựng nhiều thông tin hơn mà khi đặc biệt hoá những thông tin đó đã bị
giấu đi.
- Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung tương ứng những
thuận lợi và khó khăn khác nhau. Việc thay đổi hình thức các vấn đề để bóc trần nội
dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS là một việc làm hết sức
cần thiết nhằm tìm ra hình thức phù hợp nhất giúp nhanh chóng giải quyết vấn đề.


những TPHĐNT đã được trang bị. Nghiên cứu của T. Kamalovoy, M. V. Kralinoy, E.
P. Malanyuk cho thấy sự cần thiết và khả năng sử dụng hợp lý các thủ thuật trí tuệ
của HS là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu toán học. Các nghiên cứu này và một số
nghiên cứu giáo dục khác đã chứng tỏ hình thành các thủ thuật của HĐNT nên được
bắt đầu từ nhà trường phổ thông [127].
Theo Robert J. Marzano [68], DH vừa mang tính khoa học vừa mang tính
nghệ thuật. Sự tăng dần mức độ nghệ thuật trong DH trên cơ sở hình thành và phát
triển các TP là cơ sở để nâng DH lên trình độ mới với hiệu quả cao, đáp ứng yêu
cầu của DH hiện đại. Do đó, chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng các TP cho HS, đó là
những kỹ thuật HĐNT khéo léo, độc đáo nhằm phát triển khả năng giải quyết vấn đề.


18

d) Các nghiên cứu lý luận DH có liên quan đến “procedural knowledge”,
“tactic” trong tiếng Anh và “приём” trong tiếng Nga
Các nghiên cứu [22], [118], [119], [124], [125]... đã thừa nhận trong giảng
dạy toán, điều quan trọng là HS cần lĩnh hội được kiến thức khái niệm (conceptual
knowledge) và kiến thức thực hiện (procedural knowledge). Kiến thức thực hiện
liên quan đến các cách thức, các tiến trình, các phương pháp có tính chất tìm đoán,
các TP và các chiến lược giải quyết vấn đề; được gắn với loại vấn đề cụ thể, mang
tính linh hoạt, sáng tạo của cá nhân.
Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Anh, đã đề cao
vai trò của“tactics” đó là các cách thức mang tính khôn khéo trong giải quyết vấn
đề [117], [130]... Trong [117], giáo sư D. N. Perkins trường đại học Harvard cho
rằng trí thông minh được mô tả theo công thức:
Intelligence = Power + Tactics + Content
Dịch là: Trí thông minh = Năng lực + TP + Trình độ chuyên môn [22, tr. 15].
Trong đó, theo [130] “Tactic is skillful use of available means to achieve an
objective”, tạm dịch “TP là cách khéo léo sử dụng những phương tiện sẵn có để đạt

và sai lầm; không tìm được cách giải quyết hoặc cách giải quyết không hiệu quả…
Để khắc phục tình trạng đó, người học cần khéo léo, linh hoạt sử dụng cách thức suy
nghĩ hợp lý. Với đặc điểm lứa tuổi của HS THCS (khả năng tư duy trừu tượng còn
hạn chế) chúng ta có thể tìm cách quy lạ về quen nhờ phân nhỏ vấn đề phức tạp ban
đầu thành các vấn đề bộ phận, biết “loại bỏ” phần không cần thiết, không bản chất ra
khỏi bài toán, tách đúng phần cần thiết để biến đổi lập luận riêng hoặc tìm cách diễn
đạt vấn đề theo một cách khác (mô hình hóa) đưa vấn đề cần giải quyết về dạng
chuẩn hoặc đơn giản hơn; dùng thực nghiệm, quy nạp kết hợp với suy diễn để chuyển
việc giải quyết vấn đề phức tạp thành các vấn đề đơn giản hơn, các trường hợp đặc
biệt hay bổ sung các yếu tố phụ làm cầu nối để tìm cách giải quyết vấn đề ban đầu…

1
1
Ví dụ 1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + , với 0< x ≤ .
x
2
Với bài toán này, có khá nhiều HS đã giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức
1
1
Cô-si ta có: A = x + ≥ 2 x. =
2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.
x
x
Sai lầm trong lời giải trên là HS chưa hiểu một cách thấu đáo rằng: Nếu biểu
thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng m thì chỉ có thể kết luận m là giá trị nhỏ
nhất khi dấu “=” xảy ra. Khó khăn gặp phải khi giải bài toán này là không thể áp
1
1
dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và , do điều kiện của x là 0 < x ≤ . Để
2


3

1
6

5, 2

4,25

A

6

3

1
3

2
5
5
2
29
10

...

1
2

=

1
x suy ra
A = α x + + (1 − α ) x với 
α =4
x
x = 1
 2
β

x=

β
1− β
1

x suy ra
hoặc A = x +
với 
+
β= .
4
x
x
x = 1
 2
Từ đó, người học có thể giải bài toán bằng hai cách nhờ chia bài toán ban
đầu thành các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn. Đó là:


vì, chính quá trình dự đoán bằng quan sát, thực nghiệm đã gợi ý lên điều đó).
Bài toán 1.1.1a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 x +

f) Căn cứ vào tư tưởng sư phạm của G. Polya
Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông là dạy cho
HS suy nghĩ. Ông cho rằng, trong giảng dạy HS phải được hoạt động, hay đúng hơn
là học tập tích cực... và điểm chính trong việc giảng dạy toán học là phát triển các
chiến thuật giải quyết vấn đề [130]. Hơn nữa, G. Polya xem giải toán nói riêng và
giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, do đó người giải cần có những sáng
tạo riêng và sự độc đáo. Tác giả đã đưa ra một số ơristic nhằm tăng nhanh quá trình
tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề trong các công trình của mình.


21

Như vậy, có thể thấy tư tưởng sư phạm của G. Polya đã thể hiện quá trình DH
toán cần phát huy tối đa khả năng suy nghĩ khéo léo, sáng tạo của HS, đó chính là các
TP. Vì vậy, cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho các em trong dạy học môn Toán.
Chúng tôi sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn vấn đề này trong mục 1.4.
1.3.2.2. Quan niệm về TPHĐNT toán học
Từ các quan niệm về HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1
và việc phân tích các căn cứ ở mục 1.3.2.1, chúng tôi quan niệm:
TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính
khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả trong quá trình tiến
hành hoạt động nhận thức môn Toán.
Quan niệm trên đây chỉ là một cách mô tả về TPHĐNT (trong nghiên cứu này
đôi khi được gọi tắt là TP). TPHĐNT giúp tăng nhanh quá trình tìm kiếm giải pháp
hợp lý thông qua các suy nghĩ rút gọn. Các TP rất ít khi được đưa vào chương trình,
SGK, nhưng đó là một bộ phận kiến thức mà HS thường dùng để giải quyết vấn đề.
Mặt khác, TPHĐNT chú trọng đến từng giai đoạn cụ thể trong quá trình HĐNT.

1


 x2 − x − 3 =
0
 2
 x + x + 1 − 3 =0.

Trong bài toán này, việc đặc biệt hoá m = 3 đã che giấu dạng của bài toán
và làm cho bài toán trở nên khó khăn. Tuy nhiên, nhờ linh hoạt chuyển về bài toán
tổng quát rồi từ đó biến đổi hình thức bài toán, chuyển việc giải bài toán phức tạp
ban đầu về giải phương trình bậc hai với ẩn m thì việc giải bài toán sẽ trở nên khá đơn
giản. Như vậy, nhờ biết cách xét bài toán tổng quát đơn giản hơn đã giúp người học
có thể định hướng để tìm ra lời giải bài toán phức tạp ban đầu.