Khóa học: Không gian Euclide

Bài giảng số 1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
I. Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 1.1: Cho E là một không gian véc tơ thực. Ánh xạ  : E  E  E được gọi là
một dạng song tuyến tính trên E nếu:
a)  ( u   u ', v)   (u , v)   (u ', v ) với mọi  ,   ,  u , u ', v  E ;
b)  (u ,  v   v ')   (u , v)   (u , v ') với mọi  ,   R,  u , v, v '  E .
Trong trường hợp  (u , v)   (v, u ) thì ta nói  là song tuyến tính đối xứng trên E.
Ma trận của dạng song tuyến tính
Gọi e1 , e2 , , en  là một cơ sở của không gian véc tơ thực E. Giả sử  là song tuyến
tính trên E, khi đó ma trận của  trong cơ sở e1 , e2 , , en  có dạng:

  (e1 , e1 )  (e1 , e2 )   (e1 , en ) 
  (e , e )  (e , e )   (e , e ) 
2
1
2
2
2
n 










1
aij   cij khi i  j
2
1
 2 c ji khi i  j
dễ thấy A là một ma trận đối xứng cấp n, A được gọi là ma trận của dạng toàn phương.
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian Euclide

Định nghĩa 1.4: Hạng của ma trận của một dạng toàn phương được gọi là hạng của dạng
toàn phương đó. Dạng toàn phương được gọi là không suy biến nếu ma trận của nó không
suy biến.
Định nghĩa 1.5: Một dạng toàn phương x t Ax là xác định dương nếu x t Ax  0 với mọi
x  n.
Mệnh đề 1.6: Một dạng toàn phương x t Ax được gọi là xác định dương khi và chỉ khi tất
cả các giá trị riêng của ma trận đối xứng A là dương.
Mệnh đề 1.7: (Tiêu chuẩn Sylvester)
Điều kiện cần và đủ để một dạng toàn phương xác định dương là tất cả các định
thức con chính của ma trận đều dương.
Định nghĩa 1.8: Dạng toàn phương x t Ax được gọi là dạng chính tắc nếu tất cả các aij  0
với i  j.
Nói cách khác dạng toàn phương được gọi là dạng chính tắc nếu nó có dạng:
a11 x12  a22 x22    ann xn2
Các phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc


i , j 2

 a11[ x12  2(a12 x2    a1n xn ) x1  (a12 x2    a1n xn ) 2 ]
n

+

a xx
ij

i

j

- a11 (a12 x2    a1n xn ) 2

i , j 2

 a11 ( x1  a12 x2    a1n xn )2  g ( x2 , , xn ) .
Dùng phép biến đổi không suy biến:

 y1  x1  a12 x2    a1n xn
y 
x2
 2

  

 yn 

i

j

i , j 2

Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi ta thu được dạng chính tắc:
1t12  2t22    ntn2
Trường hợp 2: Nếu aii  0, i  1, 2, , n , và tồn tại aii  0 khi đó nếu đặt:

xi  x j

 yi  2
 xi  yi  y j


 x j  yi  y j
 y  xi  x j
 j
2
và dùng phép biến đổi:
 xi  yi  y j

 x j  yi  y j
x  y ,
k  i, j
 k
k
n


        
 xn 
yn
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian Euclide
n

Chuyển dạng toàn phương đã cho về dạng chính tắc:



j

y 2j

(*)

j 1

với 1  1;  j 

j
, j  2, , n .
 j 1


 x1 
 y1 
 z1 
1). Gọi x   x2  , y   y2  , z   z2  là các véc tơ của  3 ,  ,    , ta có :
x 
y 
z 
 3
 3
 3
 ( x   y, z )  2( x1   y1 ) z1  3( x2   y2 ) z3  4( x3   y3 ) z1  ( x3   y3 ) z3

  (2 x1 z1  3x2 z3  4 x3 z1  x3 z3 )   (2 y1 z1  3 y2 z3  4 y3 z1  y3 z3 )
  ( x, z )   ( y , z ) .
Tương tự ta cũng có  ( x,  y   z )   ( x, y )   ( x, z )
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian Euclide

Vậy  là một dạng song tuyến tính trên  3 .
2). Ma trận của dạng song tuyến tính  đối với cơ sở {v1, v2, v3} có dạng:

  (v1 , v1 )  (v1 , v2 )  (v1 , v3 )   2 2 2 
  (v , v )  (v , v )  (v , v )    2 2 1 .
2
1

y 
 3
thực.
4) Dạng toàn phương này có xác định dương không? Hãy khẳng định bằng cả điều
kiện giá trị riêng và theo chứng minh của câu (3).
Giải:
1) Ma trận của dạng toàn phương có dạng
2 1 1
A   1 1 0  .
1 0 1


Vậy dạng toàn phương: 2 x12  x22  x32  2 x1 x2  2 x1 x3 = x t Ax
2) Phương trình đặc trưng của ma trận A có dạng:

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian Euclide

2
1
A   I3  0  1
1 
1

0

 1
vậy véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 0 là u1   1  .
 1
 
Với   1 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 x1  x2  x3  0
 x1  0

x

0

 1

 x 2   x3
x
0
 1

 0
vậy véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 là u2   1  .
 1
 
Với   3 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 x1  x2  x3  0
 x1  2 x3

0
 x1  2 x2
 x 2  x3

ta có hệ véc tơ trực chuẩn { v1  
ui








Đặt P  




Khi đó:

1
3
1
3
1
3

0
1
2
1
2









3
 2


2 
6 
1 
}
6

1 

6

2 
6 
1 
thì P là ma trận trực giao. Vậy P 1  P t .

6

1 



2 
6  y
 1
1  
y2 ,
6   
 y
1  3

6

1
2

x


y

y3
1
1

3
6

1
1
1


 0 0 0  y1 
  y2  3 y 2
y t Dy   y1 y2 y3   0 1 0 
y
2
2
3
 
 0 0 3  y 

 3 
4) Vì ma trận A có một giá trị riêng bằng không nên theo mệnh đề 1.6 dạng toàn phương
trên là không xác định dương.
Ví dụ 3:
Dùng phương pháp Lagrange, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính
tắc:
1) x12  x22  2 x32  2 x1 x2  4 x1 x3  4 x2 x3
(1)
2) 5 x12  2 x22  5 x32  4 x1 x2  8 x1 x3  4 x2 x3

(2)

Giải:
1) x12  x22  2 x32  2 x1 x2  4 x1 x3  4 x2 x3  [ x12  2 x1 ( x2  2 x3 )  ( x2  2 x3 ) 2 ]

 x22  4 x2 x3  2 x32  ( x2  2 x3 ) 2  ( x1  x2  2 x3 ) 2  2 x32

 y1  x1  x2  2 x3


5
3
9
3
2
6
x
5
 5[ x1  ( x2  2 x3 )]2  ( x2  3 ) 2  x32
5
5
3
3

Đặt:

2
4

 y1  x1  5 x2  5 x3

1

x2  x3
 y2 
3

x3
 y3 



đổi đưa dạng toàn phương (3) về dạng chính tắc :

 y .
i

i

i 1

Trong đó: 1  1  3 ,  2 

2
 8
 2 và  3  3 
1
2 3

 x1  y1   21 y2   31 y3

Phép biến đổi:  x2 
y2   32 y3
x 
y3
 3

8
3 y12  2 y22  y32
3
Các hệ số trong phép biến đổi được xác định như sau:


1
 y3
3
y2

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

.

y3




Khóa học: Không gian Euclide

Các dạng toàn phương sau đây có phải là dạng toàn phương xác định dương
không? Hãy tìm hạng của các dạng toàn phương.
1) 6 x12  x22  9 x32  2 x1 x2  4 x2 x3  14 x3 x1 ;
2) 6 x12  6 x22  5 x32  4 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x3 .
Giải
1) Ma trận của dạng toàn phương có dạng:
6 1 7
A   1 1 2  .
7 2 9


Dễ thấy  3  0 nên dạng toàn phương trên không xác định dương.


Khóa học: Không gian Euclide

 2 m 1
A   m 1 0 
 1 0 3


Dạng toàn phương đã cho xác định dương khi và chỉ khi ma trận A là xác định dương, tức
là:
2  0
 1  0
5
5


2
.
m
 2  0  2  m  0  
3
3
2
  0
5  3m  0
 3

III. Bài tập tự giải
Bài 1: Trên  3 cho biểu thức:  ( x, y )  4 x1 y2  5x1 y3  8 x2 y1  6 x2 y3  x3 y3