Khóa học: Ma trận định thức

Ma trận và định thức

Chương 2:

Bài giảng số 01. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1.1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa 1: Cho trước hai số nguyên dương m, n , ta gọi ma trận có n hàng m cột với các hệ
số trên trường K (R hoặc C) là một bảng số gồm m  n phần tử aij của K với 1  i  m,1  j  n
được kí hiệu bởi
 a11
a
A =  21


 am1

a12
a22

am 2

 a1n 
 a2n 
hoặc viết tắt A = aij mn
 

 amn 





Khóa học: Ma trận định thức

Đặc biết nếu tất cả các aii =1 với i = 1, 2, …, n thì ma trận đó gọi là ma trận đơn vị kí hiệu là In.
Ma trận tam giác:
Ma trận tam giác trên: là ma trận A= ( aij ) n nếu i > j thì aij  0 hay A có dạng:
 a11 a12
0 a
22

 

0
0






a1n 
a2 n 


ann 

Ma trận tam giác dưới: là ma trận A= ( aij ) n mà nếu i< j thì aij  0 hay A có dạng:

t
A =  12


 a1n

a21
a22

a2n

 am1 
 am 2 
 

 amn 

Hay At = a ji nm . Ma trận chuyển vị của A có cấp nm.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

0
1




ann 

 1 2  2
Ví dụ 2: Ma trận A =  2 0 3  là ma trận đối xứng cấp 3.
  2 3  1

Ma trận phản đối xứng: Ma trận A= ( aij ) n vuông cấp n được gọi là phản đối xứng nếu At = -A
hay aij   a ji với mọi i, j = 1, 2, …, n.
Ma trận phản đối xứng có dạng:
 0
 a
A =  12
 

  a1n

a12
0

 a2n

 a1n 
 a2 n 
 

 0

1.2. Các phép toán trên tập các ma trận

Các tính chất: Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất
sau:
i)
ii)
iii)

A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + O = O + A = A, A – A = O

iv)
v)

 (A + B) =  A +  B

1.A = A

vi)

0.A =O

vii)

 .O =O

viii)

 ( A)  ( ) A

Nhận xét: Ta kí hiệu tập các ma trận cấp m  n trên trường K là M m  n (K), khi đó M mn (K)


Định nghĩa 2: Tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = cik mp cấp mp mà các phần tử cik
n

được xác định bởi: cik   aij b jk với i = 1, 2, …,m và k = 1, 2, …, p.
j 1

Hay viết cik  ai1

ai 2

 b1k 
b 
 ain   2 k  , tức là phần tử ở dòng thứ i, cột thứ k của C là tích vô
  
 
 bnk 

hướng của véc tơ dòng thứ i của A với véc tơ cột thứ k của B.

Ví dụ 5:

 1 2 3 
Cho hai ma trận A = 
, B =
 2 0  4

1 2 1  1 
0 3 2 0  ,


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

iii) Nếu thực hiện được phép nhân A và B thì không suy ra được phép nhân B với A, trong
trường hợp thực hiện được phép nhân B với A thi nói chung AB  BA, tức là phép nhân hai ma
trận không có tính chất giao hoán.
iv) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta có tích của n ma trân A kí hiệu là
A.A…A = An.
Các tính chất của phép nhân hai ma trận:
Cho các ma trận A = aij mn , B = b jk np , C = ckl  pq , D = d ik np ta có những tính chất sau:
i) (AB)C = A(BC)
ii) (AB)t = BtAt
iii) A(B + D) = AB + AD
Đa thức ma trận và nghiệm
Cho đa thức P(x) = anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0
A là một ma trận vuông cấp n, thì ta gọi
P(A) = anAn + an-1An-1 +…+a1A + a0In là đa thức ma trận theo biến A.
Nếu tồn tại ma trận A sao cho P(A) là ma trận O thì ta nói A là nghiệm của đa thức P(A).
1 1 2


Ví dụ 6: Cho f(x) = 2x +3x +5 và ma trận A =  1 3 1  . Ta có
4 1 1



A.I = I. A = A.
Từ các kết luận trên suy ra (Mn(K), +,  ) là một vành có đơn vị I.
Nhận xét: Vành Mn(K) nói chung không là vành giao hoán và cũng không là vành nguyên.
Tính chất 1: Cho A, B  Mn(K) và   K, ta có  (AB) = (  A)B = A(  B).

1.6. Ma trận nghịch đảo
Tính chất 2: Cho ma trận vuông A cấp n, ta có A.In = InA = A
Câu hỏi đặt ra là: Nếu cho một ma trận vuông A cấp n thì có tồn tại ma trận vuông B cấp n sao
cho AB = BA = In
Định nghĩa 3: Một ma trận vuông A cấp n được nói là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông
B cấp n sao cho AB = BA = In
Trong trường hợp này ta nói B là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là B = A-1.
A khả nghịch hay ta còn nói A có nghịch đảo.
Tính chất 3: Giả sử ma trận vuông A cấp n khả nghịch thì ma trận A-1 là duy nhất
Chứng minh:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

Giả sử B là ma trận nghịch đảo của A. Thì ta có AB = BA = In, từ đó suy ra
A-1 =A-1In =A-1(AB) = (A-1A)B = InB = B.
Tính chất 4: Giả sử A và B là các ma trận khả nghịch cấp n, thì ta có AB cũng khả nghịch và
(AB)-1 = B-1A-1
Chứng minh:
Ta có (AB)(AB)-1 = A(B(B-1)A-1) =A((BB-1)A-1) = A(InA-1) = AA-1 = In
Tương tự ta có (BA)-1(BA) = In. (đpcm).


0  3  3  3 1 0
0 5
4
2 0 1 


Nhân dòng 3 với 3, sau đó nhân dòng 2 với 5 rồi cộng vào dòng 3 ta có:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

2
1 0 0
1 1


0  3  3  3 1 0
0 0  3  9 5 3



Nhân dòng 1 với 3 sau đó cộng dòng 2 và dòng 3 vào dòng 1 ta có:
0  9 6 3
3 0


1 0 0  3


1
0 1 0  2 4 / 3
 0 0 1 3  5 / 3  1


2
1
3


Vậy ma trận nghịch đảo của A là A =   2 4 / 3 1  .
 3  5 / 3  1


-1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho các ma trận sau:
 2 5


A = 1 4 , B =
 2 1



1



Tính tất cả các tích ma trận có thể.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau hãy xác định tích AB và BA nếu có thể và trường hợp nào thì
AB = BA.
 0 3
 và B =
 4 5

a) A = 

 2  1


3 2 

1 1 5 
 và B =
b) A = 
3
0



2 0 0 


0 5 0 
 0 0  1



Bài 3: Cho đa thức f(x) = 3x2- 2x -3. Hãy tính các đa thức f(A-I) sau với

 1 1 1 1 
 1 1 1 1 

b) A = 
 1 1 1 1 


 1 1 1 1

 1 0 1


a) A = 2
3
1


 1 2 4 



1 a b  c 


e) 1 b a  c 
1 c a  b 



Khóa học: Ma trận định thức

1 2  2


b)  1 5 3 
2 6 1


2

1
f) 
2

1


5
2

0 


 1  1 0  1



5

1
2

3 

Bài 8: Giải các phương trình ma trận sau:
 1 1 1

 1 0 1

a) X  1  1 1 = 
2
1

2


 0 0 1




 1 3 1   0 1 1 

 


2 1 1


Bài 10: Cho ma trận A  0 2 1 . Tính A n .


0 0 2



Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục