Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

MỤC LỤC
PHẦN I

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

PHẦN II
Chương 1
Chương 2
Chương 3
I
II
PHẦN III

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
MỘT SỐ GIẢI PHÁP
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I
2. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN


Trang 3

1 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường

Trang 15
Trang 16
Trang 17


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt chẽ
và logic. Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến thức cơ
bản về toán học phổ thông. Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng
và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em bị bế tắc
không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán. Một mặt, do các em thiếu kỹ năng về
phương pháp trình bày. Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp giải, hoặc đã
nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng phương pháp giải phù
hợp.
Trong chương trình môn Toán Giải tích lớp 12, mảng kiến thức về tích phân chiếm
một vị trí quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp, ĐH-CĐ, TCCN. Mặc dù,
sách giáo khoa giải tích 12(Cơ bản) đã nêu ra hai phương pháp giải là: phương pháp đổi biến
số và phương pháp tính tích phân từng phần, nhưng không nêu rõ các bước để thực hiện
phương pháp, cũng như phân loại dạng toán để áp dụng đối với từng phương pháp (đặc biệt
là phương pháp đổi biến số). Do đó, khi đứng trước một bài toán tích phân học sinh thường
hay lúng túng, không phân được dạng để áp dụng phương pháp, hoặc nếu phân được dạng
thì cũng không biết bắt đầu như thế nào, đặc biệt là đối với đa số học sinh có học lực trung

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng
dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong các năm học.
5. Thời gian nghiên cứu:
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT A Lưới từ năm
2007 đến nay.

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận:
Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kỹ năng
sống riêng. Kỹ năng của con người không phải sinh ra là đã có mà được hình thành từ môi
trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người.
Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài
trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và khái quát
hoá.
Kỹ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kỹ xảo, những thủ thuật
trong quá trình giải toán. Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với
những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh những thủ thuật đó là một điều thật
sự cần thiết cho người học toán.
Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học sinh
có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo
dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công việc cụ thể sẽ
vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học những
Lê Thanh Xuân

3 THPT Nguyễn Trường Tộ

a

β

f ( x)dx = ∫ f ( µ (t )) µ ' (t ) dt
α

1

sách giáo khoa đưa ra một ví dụ áp dụng là: “ Ví dụ 5: Tính

1

∫1+ x

2

dx , và được giải bằng

0

π
π
< t < ”.
2
2
Sau định lý và ví dụ trên sách giáo khoa lại đưa ra chú ý:

cách đặt x = tan t , −



∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du

”.

Sau phần chú ý trên, sách giáo khoa lại đưa ra hai ví dụ áp dụng, là: “ Ví dụ 6: Tính
π
2

1

∫ sin x cos xdx , và được giải bằng cách đặt u = sin x ; Ví dụ 7: Tính ∫
2

0

0

x

(1 + x )

2 3

dx , và được

giải bằng cách đặt u = 1 + x 2 ”.
Rõ ràng sách giáo khoa đã nêu ra hai phương pháp đổi biến số trong tính tích phân là
đổi biến số bằng cách đặt x = µ (t ) và đổi biến số bằng cách đặt u = µ (x) . Tuy nhiên, qua
thực tế nhiều năm giảng dạy các lớp 12 ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ, với học lực của


I. Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến số loại I ( đặt u = µ (x) ):
a) Phương pháp:
b

∫ f ( x)dx

Giả sử cần tính:

a

Bước 1: Đặt u = µ ( x) ⇒ du = µ ' ( x)dx
 x = a ⇒ u = µ (a)
Bước 2: Đổi cận : 
 x = b ⇒ u = µ (b)
Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx = g (u )du
b

µ (b )

µ (b )

a

(a)

µ (a)

∫ f ( x)dx = µ ∫ g (u)du = G(u )

( Bài tập 3a – Giải Tích 12 – Cơ bản – Trang 113)
Bài giải:
Đặt u = 1 + x ⇒ du = dx
x = 0 ⇒ u = 1
x = 3 ⇒ u = 4

Đổi cận: 
Biểu thị:

x2
3

(1 + x ) 2

3

Do đó:

∫
0

x2

(1 − u ) 2 du

dx =

u
4



3
2

+


u2 
du
3 

u2 
4

1
1
1
1
3
−
−
 −3


2 
5
= ∫  u 2 − 2u 2 + u 2 du =  − 2u 2 − 4u 2 + u 2  =
3 
3
1


∫x

2

(1 − x 3 ) 4 dx

0

( Đề thi TN THPT – Năm 2008)
Lê Thanh Xuân

6 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Bài giải:

1
3

3
2
2
Đặt u = 1 − x ⇒ du = −3x dx ⇒ x dx = − du

x = 0 ⇒ u = 1
x = 1 ⇒ u = 0

Vậy

2

1

=

3 4

(1 − x 3 ) 4 dx =

0

0

1
15

1
.
15

* Dạng 3: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác.
b

∫ f (sin x). cos x.dx → đặt u = sin x

Cách giải: Nếu gặp :



dx → đặt u = tan x
dx → đặt u = cot x

( f (u ) : là biểu thức biểu diễn theo u )
π
6

Ví dụ 3: Tính I = cos x dx
∫
0

1 + sin x

( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2008-2009 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
π
6

π
6

b

1
Phân tích: I = cos x dx =
∫0 1 + sin x
∫0 1 + sin x cos xdx ( Dạng: ∫a f (sin x). cos x.dx )
Đặt u = 1 + sin x ⇒ du = cos xdx
( Lẽ ra đặt u = sin x nhưng ta đặt u = 1 + sin x để mẫu số theo biến u được gọn hơn)

3
2

= ln
1

3
2

7 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
π
6

Vậy I = cos x dx = ln 3 .
∫
0

π
3

Ví dụ 4: Tính

∫
π cos

1 + sin x

1
1
.
dx (Dạng: ∫ f (tan x).
.dx )
2
cos 2 x
tan x cos x
a

=∫
π
4

Đặt u = tan x ⇒ du =

b

1

1
dx
cos 2 x

π

 x = 4 ⇒ u = 1
Đổi cận: 
x = π ⇒ u = 3



1
2

du = u du
1
2

= ∫ u du = 2u
1

4

π
3

∫
π cos

Vậy

dx
2

x. tan x

(

3



Ví dụ 5: Tính

e3

cos(ln x)
dx
x
1

∫

( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2006-2007 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
π

π

e3

e3

Phân tích: cos(ln x) dx = cos(ln x). 1 dx
∫1 x
∫1
x

b

( Dạng

x
π
3

π
3

π
e3

cos(ln x)
3
dx = ∫ cos udu = sin u =
x
2
1
0
0

Do đó:

∫

π

Vậy

e3

cos(ln x)

 x = 2 ⇒ u = 5
2 xdx
2udu
=
= 2du
Biểu thị:
2
u
x +1

Đổi cận: 

2

Do đó:

∫

x2 +1

1

2

Vậy

∫

2 xdx
x2 +1

x

5

5

2 xdx

(

=2 5− 2

)

2

)

dx

( Đề thi TN THPT – Năm 2006)
Bài giải:
Đặt u = e x − 1 ⇒ u 2 = e x − 1 ⇒ 2udu = e x dx ⇒ e x dx = 2udu
 x = ln 2 ⇒ u = 2
 x = ln 5 ⇒ u = 5

Đổi cận: 

Lê Thanh Xuân



(u
5

+1 ex

)

+1 ex

e +1
x

ln 2

dx =

2

(

)

+1+1
2udu = 2 u 2 + 2 du
u

(

)

Giả sử cần tính:

∫ f ( x)dx
a

Bước 1: Đặt x = µ (t ) ⇒ dx = µ ' (t )dt
 x = a ⇒ µ (t ) = a ⇒ t = α
Bước 2: Đổi cận : 
 x = b ⇒ µ (t ) = b ⇒ t = β
Bước 3: Biểu thị : f ( x) dx = g (t )dt
b

Lúc đó:

β

∫ f ( x)dx = α∫ g (t )dt = G(t )
a

β

= G ( β ) − G (α )
α

b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số
loại II:
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a 2 − x 2 (a > 0)
Cách giải: Ta có thể đặt x = a sin t ( hoặc x = a cos t )
( Vì hàm số y = sin t có hàm số ngược trên đoạn [ − π / 2; π / 2] nên ta chỉ xét biến số t
trên đoạn [ − π / 2; π / 2] , và hàm số y = cos t ta chỉ xét t ∈ [ 0; π ] )


π
2

π
2

0

0

π
1 − x 2 dx = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 2 tdt ( Vì 0 ≤ t ≤ 2 ⇒ cos t ≥ 0 )
π
2

π

2
1 + cos 2t
1
1
π
=∫
dt = (t + sin 2t ) =
2
2
2
4
0

; )
 2 2

2 2

xét biến số t trên là khoảng  −
2

Ví dụ 9: Tính

dx

∫4+ x

2

0

Bài giải:

π
2
 π
dt
 − < t <  ⇒ dx =
2
cos 2 t
 2
 x = 0 ⇒ 2 tan t = 0 ⇒ t = 0



dx
1
1 4 π
Do đó:
=
dt
=
2
∫0 4 + x ∫0 2 2 t 0 = 8
2

2

Vậy

dx

∫4+ x
0

2

=

π
8

3) Một số lưu ý về phương pháp đổi biến số:
Các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ,


11 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Nhưng, như chúng ta thấy hàm số dưới dấu tích phân chỉ có dx , nếu thêm xdx vào biểu thức
dưới dấu tích phân thì phải có phép chia cho x , nghĩa là biểu thức dưới dấu tích phân sẽ trở
1− x2
xdx , và khi đó chúng ta sẽ gặp khó khăn vì hai nhẽ:
x
i) Vì tích phân được lấy từ 0 đến 1 nên có chứa x = 0 , do đó phép chia không hợp lệ.
ii) Theo cách đặt ở trên thì chúng ta có thể biểu thị được x 2 = 1 − u 2 , nếu chúng ta biểu
thị x theo u thì lại xuất hiện dấu căn mới.

thành:

Vì vậy, bài toán này không phù hợp với phương pháp đổi biến số loại I nên chúng ta
phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại II.
II. Phương pháp tính tích phân từng phần:
1) Công thức:
Nếu u = u (x ) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b]
thì:
b

b

b



( P(x) là đa thức của x )
u = P ( x)
du = P ' ( x) dx
⇒
dv = cos xdx v = sin x

Cách giải: Đặt 
π

Ví dụ 10: Tính ∫ x(1 + cos x)dx
0

( Đề thi TN THPT – Năm 2009)
Bài giải:
π

π

0

0

π

π

0

0

dv = cos xdx v = sin x
π

π

π

π

Khi đó: I = x sin x 0 − ∫ sin xdx = x sin x 0 + cos x 0 = −2
0

Lê Thanh Xuân

12 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
π

Vậy ∫ x(1 + cos x)dx =
0

π2
−2
2
b

* Dạng 2: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x) sin xdx


π
2

π

π

+ ∫ cos xdx = − (1 + x) cos x 02 + sin x 02 = 2
0

π
2

Vậy (1 + x) sin xdx = 2
∫
0

b

x
* Dạng 3: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x)e dx
a

( P(x) là đa thức của x )
u = P ( x)
du = P' ( x)dx
⇒
Cách giải: Đặt 



1

0

0

+ ∫ 4e x dx = (4 x + 1)e x + 4e x
0

1

x
Vậy I = ∫ (4 x + 1)e dx = 9e − 5
0

Lê Thanh Xuân

13 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường

= 9e − 5


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
b

* Dạng 4: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x) ln xdx
a


3
3
1
x2
Khi đó: K = x ln x 1 − ∫ x dx = x 2 ln x 1 − ∫ xdx = x 2 ln x 1 −
x
2
1
1
= 9 ln 3 − 4
2

3

3

2

1

1

Vậy K = ∫ 2 x ln xdx = 9 ln 3 − 4
0

3) Một số lưu ý về phương pháp tính tích phân từng phần:
b

Ngoài các bài toán tích phân có dạng:



b

b

a

a

∫ P( x) cos(ax + b).dx , ∫ P( x) sin(ax + b).dx ,

b

dx ,

∫ P( x) ln(ax + b).dx

cũng được giải bằng phương pháp tích phân từng phần với

a

cách đặt u và dv hoàn toàn tương tự.

Lê Thanh Xuân

14 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết


giải các bài toán tích phân trong một kỳ thi mà tầm quan trọng của nó chỉ dừng lại ở mức độ
đánh giá về kỹ năng vận dụng kiến thức với mức độ cơ bản như kỳ thi tốt nghiệp THPT.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 12, được
học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ và cũng đã nâng cao khả năng giải toán
tích phân cho học sinh. Ngoài ra, các em còn hứng thú học tập hơn và ở những lớp có hướng
dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cũng đã có kỹ năng giải các bài tập tốt hơn.
Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh
hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán như đã nêu ra trong sáng kiến kinh
nghiệm này , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm học

Lớp

Tổng số

2009-2010
2010-2011
2011-2012

12a1
12a1
12a3

38
38
39

Điểm 8 trở lên
Số

( Ở đây các lớp 12a1 là các lớp chọn của trường THPT Nguyễn Trường Tộ, còn lớp
12a3 là lớp có học lực đa số là trung bình – yếu nên với kết quả thực nghiệm như trên
đối với lớp 12a3 có thể nói rằng sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại kết quả đáng
khích lệ )
Như vậy tôi nhận thấy các kỹ năng đã mang lại hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy
phần phương pháp tính tích giáo viên cần chỉ rõ các các bước trong mỗi phương pháp và
cách nhận dạng đối với mỗi phương pháp để học sinh tiếp thu bài được tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế.
Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp
để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn.
2) Một số kiến nghị:
* Đối với tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Trường Tộ:
- Cần phát động, động viên các thành viên trong tổ tăng cường nghiên cứu khoa học,
sáng tạo đồ dùng dạy học, nghiên cứu ứng dụng các phần mêm dạy học để kích thích sự say
mê học tập của học sinh về môn toán nói riêng mà các môn học khác nói chung.
- Cần có những buổi để thảo luận về những chuyên đề, những kinh nghiệm trong
công tác giảng dạy.
* Đối với trường THPT Nguyễn Trường Tộ:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo hay để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn
nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu
phát triển chuyên đề.

-----------------------------------Hết---------------------------------Lê Thanh Xuân

16 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

Đức Cơ , ngày tháng năm 2011
Tổ trưởng tổ toán – tin - CN
( Ký, ghi rõ họ tên)

Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TRƯỜNG THPT
NGUYỄN TRƯỜNG TỘ.
* Nhận xét SKKN:
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Lê Thanh Xuân

18 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết