ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH,
TỔNG HỢP, KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA CHO
HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC TỔ HỢP
XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH,
TỔNG HỢP, KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA CHO
HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC TỔ HỢP
XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Bùi Hạnh Lâm, người thầy

3.

SGK

Sách giáo khoa

4.

TH - XS

Tổ hợp - xác suất

5.

THPT

Trung học phổ thông

6.

Tr

Trang

4


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ

khoa học có tính trừu tượng cao và tính lôgic chặt chẽ. Tri thức trước là cơ sở cho tri
thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước. Vì vậy đòi hỏi người học phải có một
phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng tạo. Bên cạnh đó với những đặc
điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một môi trường tốt để rèn luyện và
phát triển tư duy của người học. Trong dạy học giải bài tập toán, người học không

6


chỉ tiếp thu kiến thức, kĩ năng mà còn rèn luyện cách nghĩ, cách tư duy, cách học. Do
vậy trong quá trình dạy học toán nói chung, giải bài tập toán nói riêng người thầy
không chỉ dạy HS biết cách tìm tòi lời giải bài tập mà còn giúp các em biết tư duy để
giải bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài
toán dưới nhiều góc độ. Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và
phát triển tư duy ở HS. Trong nội dung TH - XS nếu không rèn luyện các thao tác tư
duy, tư duy theo hướng tư duy sáng tạo thì khi gặp một bài toán phát biểu một cách
hơi khác những gì đã được học, HS sẽ gặp lúng túng nhất định, thậm chí là không tìm
được sự liên hệ giữa các bài toán liên quan.
Từ những lí do trên, đề tài được lựa chọn là “ Rèn luyện các thao tác tư duy
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa cho HS THPT thông qua dạy học tổ
hợp xác suất”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về tư duy nói chung và tư duy trong giải toán TH XS, đề xuất một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy trong giải toán TH - XS
cho HS THPT.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa trong
giải toán TH - XS cho HS THPT.

thức cảm tính, con người chỉ phản ánh cái đang có trong hiện tại, trực tiếp tác động vào
giác quan ta, đến tư duy con người hướng vào việc tìm kiếm cái mới, cái bản chất, cái
khái quát, những cái mà con người chưa biết, con người cần phải tìm kiếm và nắm
được để tiếp tục nhận thức, cải tạo và sáng tạo thế giới.
Như vậy, tư duy giúp con người nắm được bản chất và quy luật vận động của
tự nhiên, xã hội và con người, tư duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm
tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống, tư duy vận dụng những cái đã
biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tương tự.
Tư duy toán học được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có quy luật của các đối
tượng toán học mà trước đó ta chưa biết. Sản phẩm của tư duy toán học là những
khái niệm, những định lý, quy tắc, phương pháp, suy luận…mang tính khái quát,
tính trừu tượng cao, có tính khoa học, tính logic chặt chẽ, các tri thức có mối quan
8


hệ mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, được biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu,
biểu thức, công thức…)
Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để
người học lĩnh hội được tri thức toán học, rèn luyện được các kỹ năng, kỹ xảo, mà
đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của người học, buộc
họ phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu nhằm đạt được mục tiêu, đồng thời qua đó hình
thành và rèn luyện cho người học những phương pháp suy nghĩ, phương pháp tư duy
và phương pháp làm việc khoa học. Phát triển tư duy toán học cho người học là một
lĩnh vực vừa rộng lớn, vừa khó khăn, người giáo viên dạy toán cần phải biết tích lũy
kiến thức, rút kinh nghiệm một cách thường xuyên và lâu dài để từ đó vững vàng hơn
về chuyên môn nghiệp vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy toán
học một cách thích hợp cho từng loại HS trong quá trình giảng dạy. [3]
Theo Nguyễn Duy Thuận thì việc rèn luyện và phát triển tư duy cho HS và
một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong quá trình dạy

vi những hiểu biết cũ và đi tìm cái mới, đạt mục đích mới, cần đến những phương
pháp mới, tức là phải tư duy
- Thứ hai: Hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ được
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân phải xác định được cái gì (dữ
kiện) đã biết, đã cho và cái gì chưa biết (phải tìm) đồng thời có nhu cầu (động cơ)
tìm kiếm nó và phải có tri thức cần thiết để giải quyết, trên cơ sở đó tư duy nảy
sinh.
Ví dụ 1.1: Khi dạy nội dung quy tắc nhân trong bài “Quy tắc đếm”, GV có
thể tạo tình huống có vấn đề thông qua bài toán sau: Bạn Nam có hai áo màu khác
nhau và ba quần khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ áo quần? Nếu
bây giờ không phải là hai áo và ba quần mà thay là 1000 áo và 500 quần thì số cách
chọn là bao nhiêu?
HS có thể giải được ngay yêu cầu đầu tiên nhờ vào kiến thức đã biết (gọi hai
áo được ghi chữ a, b và quần đánh số 1, 2, 3 sau đó dùng cách liệt kê). Tuy nhiên ở
yêu cầu thứ hai khi số áo là 1000 và số quần là 500 thì HS không thể gọi chữ cái và
đánh số sau đó dùng liệt kê ⟹ Xuất hiện tình huống có vấn đề
Như vậy HS sẽ tìm kiến thức mới để giải quyết bài toán, đó là quy tắc nhân.
1.2.2. Tính gián tiếp cua tư duy
Chức năng của tư duy là đi vào cái bản chất và quan hệ có tính quy luật của
hàng loạt sự vật, hiện tượng, những cái mà trước đó bằng các giác quan, bằng nhận

10


thức cảm tính chưa phản ánh được. Do vậy, tư duy phản ánh gián tiếp. Tính gián
tiếp của tư duy thể hiện:
- Tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật giữa chúng
nhờ sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc…) và các kết
quả nhận thức (như quy tắc, công thức, quy luật…) của loài người và kinh nghiệm
của cá nhân mình.

thức Nhị thức Newton từ việc khái quát:

? Từ đó em hãy khái quát ?
Thông qua hai khai triển HS có thể khái quát được:

Đó chính là công thức nhị thức Newton
1.2.4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tư duy trừu tượng, gián tiếp, khái quát không thể tồn tại bên ngoài ngôn
ngữ, nó nhất thiết dùng ngôn ngữ làm phương tiện. Nếu không có ngôn ngữ thì bản
thân quá trình tư duy không diễn ra đồng thời các sản phẩm tư duy cũng không
được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy
và nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho người khác và bản thân chủ thể tư duy. Ở
mức độ nhận thức cảm tính có thể chưa cần đến ngôn ngữ vẫn có hình ảnh trên não.
Còn đến tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện vì:
- Nhờ quá trình ngôn ngữ trong đầu bản thân chủ thể mới ý thức được, nhận
thức được tình huống có vấn đề.
- Tiếp theo trong diễn biến của quá trình tư duy, con người sử dụng ngôn ngữ
để tiến hành các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng
hóa - ngôn ngữ tham gia vào quá trình tư duy.
- Ngôn ngữ còn biểu đạt kết quả của quá trình tư duy.

12


Sản phẩm mà tư duy đem lại là những khái niệm, quy luật… ngôn ngữ sẽ
làm khách quan hóa, vật chất hóa nó ra khỏi đầu ta để ta nhận thức nó bằng tìm tòi
những từ, những mệnh đề biểu đạt nó.
Như vậy, tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, tuy nhiên
ngôn ngữ không phải là tư duy mà ngôn ngữ chỉ là phương tiện.
1.2.5. Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Nhà tâm lý học Xô Viết K.K.Platônốp đã tóm tắt các giai đoạn của một hành
động (quá trình) tư duy bằng sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Hành động tư duy mới

- Nhận thức vấn đề:
Khi gặp tình huống có vấn đề, chủ thể tư duy phải ý thức được đó là tình
huống có vấn đề đối với bản thân mình tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết, phát hiện
ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề, mâu thuẫn giữa cái đã biết với
cái phải tìm, phải tạo ra nhu cầu cần giải quyết.
Như vậy, nhận thức vấn đề là xác định vấn đề đòi hỏi phải giải quyết, chính
vấn đề được xác định này và biểu đạt vấn đề dưới dạng nhiệm vụ sẽ quyết định toàn
bộ các khâu sau đó của quá trình tư duy và chiến lược tư duy. Đây là giai đoạn đầu
tiên và quan trọng nhất của quá trình tư duy.
- Huy động tri thức và kinh nghiệm:

là đi đến câu trả lời cho vấn đề đặt ra.
Quá trình tư duy giải quyết nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do ba
nguyên nhân thường gặp là:
+ Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện của bài toán (nhiệm vụ).

15


+ Chủ thể đưa vào bài toán một điều kiện thừa
+ Tính chất khuôn sáo của tư duy
Ví dụ 1.5: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dung, Ngọc ngồi
vào bàn học gồm năm chỗ?
- Nhận thức vấn đề: Tìm số cách xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dung, Ngọc
vào bàn học gồm năm chỗ
- Xuất hiện các liên tưởng
+ Sử dụng liệt kê
+ Sử dụng quy tắc đếm
- Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết:
Ở cách 1 sẽ phải liệt kê tất cả các cách có thể xếp nhưng dễ nhầm lẫn và bỏ
sót trường hợp
Ở cách 2 dùng quy tắc nhân hay quy tắc cộng? Đối chiếu với điều kiện sử
dụng quy tắc cộng và nhân ⟹ Sử dụng quy tắc nhân.
- Kiểm tra giả thuyết:
+ Có năm cách chọn một trong năm bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
+ Sau khi đã chọn một bạn, còn bốn bạn nữa. Có bốn cách chọn một bạn để
xếp vào chỗ thứ hai.
+ Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn lại ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn
để xếp vào chỗ thứ ba.
+ Sau khi đã chọn ba bạn còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn để xếp
vào chỗ thứ tư

và tổng hợp.
Ví dụ 1.6: Tính Cnk + 3Cnk - 1 + 3Cnk - 2 + Cnk - 3 (1)
Hoạt động phân tích (1) thành Cnk + Cnk - 1 + 2Cnk - 1 + 2Cnk - 2 + Cnk - 2 + Cnk - 3, sự
phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ với công thức Cnk = Cn - 1k - 1+ Cn - 1k
- Theo [11]: “So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay
khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng)”.
So sánh góp một phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay
nói cách khác so sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy.
Vì so sánh giúp cho ta hiểu biết sâu sát hơn và có hệ thống hơn về sự vật
hiện tượng.
Ví dụ 1.7: So sánh giữa hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

17


Nội dung

Tổ hợp

Chỉnh hợp

Đổi chỗ phần tử
không ảnh hưởng
đến kết quả
Có bao nhiêu cách
chọn 3 HS từ 5 HS
đi trực nhật

Đổi chỗ phần tử

học có 3 chỗ ngồi
Có bao nhiêu tập
hợp gồm bốn chữ
số khác nhau được
lập từ bốn chữ số
1, 2, 3, 4

Từ sự so sánh trên HS sẽ nắm được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
và biết áp dụng để giải bài tập.
Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân
tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem
có gì giống nhau và khác nhau.
- Trừu tượng hóa và khái quát hóa:
+ Theo [11]: “Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại
những yếu tố cần thiết để tư duy. Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp nhất
nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, liên hệ,
quan hệ chung nhất định.
+ Theo [3]: “ Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những
đặc điểm không bản chất. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang
một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập xuất phát”.
Ví dụ 1.8: Khai triển A = (x + 5y)8, nhờ trừu tượng hóa mà HS nêu được bản
chất:

18


+ Biểu thức A có dạng từ đó sử dụng nhị thức Newton để khai triển mà
không quan tâm số thứ nhất là x, số thứ 2 là tích 5y chứ không phải là b.


Cnk + 3Cnk - 1 + 3Cnk - 2 + Cnk - 3

Cn + 3k

Tổng hợp

Phân tích

Đặc biệt hóa

Cnk + Cnk - 1 + 2(Cnk - 1 + Cnk - 2 ) + Cnk - 2 + Cnk - 3

Cn + 2k + Cn + 2k - 1

Cn + 1k + Cn + 1k - 1 + Cn + 1k - 1 + Cn + 1k Phân tích

Khái quát hóa
Đặc biệt hóa
Cnk = Cn - 1k - 1+Cn - 1k (1 ≤ k ≤ n)

Cn + 1k + 2Cn + 1k - 1 + Cn + 1k - 2

Ví dụ 1.11: Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có bao nhiêu số có 4 chữ số
đôi một khác nhau sao cho số đó chia hết cho 5 và số 3 luôn có mặt một lần?
* Phân tích: Đặc điểm của số cần tìm:
+ Số cần tìm có 4 chữ số nên số đó có dạng với a, b, c, d được chọn từ tập A
và a ≠ 0.
+ Số đó chia hết cho 5 nên d phải là 0 hoặc 5.
+ Số 3 luôn xuất hiện nên vị trí của a hoặc b hoặc c phải là 3.

* Khái quát hóa:
Sau khi giải xong bài toán trên ta cần giúp HS khái quát cách giải với dạng
toán: Lập số có n chữ số khác nhau ( 2 ≤ n ≤ 9) từ tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9} sao cho một chữ số luôn xuất hiện và số đó chia hết cho 5.
Ta có thể khái quát dạng toán chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 9,
…tuy nhiên mỗi bài toán có đặc trưng riêng. Hoặc bài toán có hai chữ số luôn xuất
hiện, ba chữ số luôn xuất hiện…
Khi đó người học sẽ nhanh chóng tìm được lời giải với các bài toán tương tự.
Ví dụ cũng câu hỏi đó nhưng tập hợp A không chứa 0.
Vậy các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi
hành động tư duy. Trong thực tế, các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà không
theo trình tự máy móc, nghĩa là trong một hành động tư duy, các thao tác tư duy
cùng xuất hiện. Tuy nhiên, không phải mọi hành động tư duy đều phải xuất hiện các
thao tác tư duy trên.
1.4. Vai trò cua tư duy
Tư duy có vai trò to lớn đối với đời sống và đối với hoạt động nhận thức cúa
con người, cụ thể:

21


- Tư duy mở rộng giới hạn của nhận thức, tạo ra khả năng để vượt ra ngoài
những giới hạn của kinh nghiệm trực tiếp do cảm giác và tri giác mang lại để đi sâu
vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có tính quy luật
giữa chúng với nhau.
- Tư duy không chỉ giải quyết những nhiệm vụ trước mắt, ngày hôm nay, mà
còn có khả năng giải quyết trước cả những nhiệm vụ ngày mai, trong tương lai do
nắm được bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và con người.
- Tư duy cải tạo lại thông tin của nhận thức cảm tính làm cho chúng có ý
nghĩa hơn cho hoạt động con người. Tư duy vận dụng những cái đã biết để đề ra

+ Bài 3: Nhị thức Newton
- Phần xác suất:
+ Bài 4: Phép thử và biến cố
+ Bài 5: Xác suất của biến cố
Bên cạnh đó SGK cũng giới thiệu cho HS các bài đọc thêm như quy tắc cộng
mở rộng, cuốn sách Tiếng Việt về Xác suất – thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nước
ta của tác giả Tạ Quang Bửu, cách sử dụng máy tính bỏ túi trong tính toán TH - XS
và một phần tiểu sử của nhà toán học Pascal.
1.5.1.2. Mục đích, yêu cầu
Đối với nội dung TH – XS lớp 11 theo chương trình cơ bản yêu cầu HS phải
đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng sau:
* Nội dung Tổ hợp:
Về kiến thức: Biết được quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị của n phần tử,
chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử, công thức nhị thức Newton.
Về kĩ năng: Bước đầu vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân. Tìm
được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử. Biết khai triển nhị
thức Newton với một số mũ cụ thể. Tìm được hệ số của x k trong khai triển nhị thức
Newton thành đa thức.
* Nội dung Xác suất:
Về kiến thức: Biết được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố liên
quan đến phép thử ngẫu nhiên, định nghĩa cổ điển của xác suất của biến cố, định
nghĩa thống kê của xác suất. Biết được các khái niệm: biến cố hợp, biến cố xung
khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập. Biết được các tính chất: P(∅) = 0,
P(Ω) = 1, 0≤ P(A) ≤ 1. Biết được quy tắc cộng và nhân xác suất.

23


Về kĩ năng: Xác định được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố
liên quan đến phép thử ngẫu nhiên. Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất

Cần thiết

30

60%

Ít cần thiết

0

0%

Không cần thiết
0
0%
Đa số các GV 60% đều nhận thức tầm quan trọng của việc rèn luyện các
thao tác tư duy cho HS thông qua nội dung TH - XS là cần thiết, có 40% GV cho
rằng việc làm đó là rất cần thiết. Không có GV nào cho rằng ít cần thiết hoặc không
cần thiết. Như vậy, đa số GV nhận thức đúng tầm quan trọng của việc làm này.
Với câu hỏi 2: Thầy (hoặc cô) đã chú ý rèn luyện các thao tác tư duy thông
qua nội dung TH - XS cho HS trong quá trình dạy học chưa?
Tổng số
50

Nội dung

Số GV chọn

Tỉ lệ (%)



Tỉ lệ (%)

Rất tốt

0

0%

Tốt

6

12%

Khá

6

12%

Trung bình

30

60%

Yếu

8