Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x − 7 y + 17 = 0 ,

d2 : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam
giác cân tại giao điểm của d1, d2 .

• Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x − 7 y + 17
x+ y−5
 x + 3y − 13 = 0 (∆1 )
=
⇔
3 x − y − 4 = 0 (∆2 )
12 + (−7)2
12 + 12
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với ∆1 hoặc ∆2 .
KL: x + 3y − 3 = 0 và 3 x − y + 1 = 0
Câu 2.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0 .

d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d1, d2.
r

• Giả sử A(a; −3a − 5) ∈ d1; B(b; −3b − 1) ∈ d2 ; IA = (a − 1; −3a − 3); IB = (b − 1; −3b + 1)
uur uur b − 1 = k (a − 1)
I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔ 
−3b + 1 = k (−3a − 3)
• Nếu a = 1 thì b = 1 ⇒ AB = 4 (không thoả).
b −1
(−3a − 3) ⇔ a = 3b − 2
• Nếu a ≠ 1 thì −3b + 1 =
a −1
2
AB = (b − a)2 + 3(a − b) + 4  = 2 2 ⇔ t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a − b ).

2
5
+ Với t = −2 ⇒ a − b = −2 ⇒ b = 0, a = −2 ⇒ ∆ : x + y + 1 = 0
⇔ 5t 2 + 12t + 4 = 0 ⇔ t = −2; t = −

Trang 1


PP toạ độ trong mặt phẳng
+ Với t =
Câu 4.

Trần Sĩ Tùng

−2
−2
4
2

∈
(
d
)
B
(2
b
−
2;
b
)

 MB = (2b − 3; b)

2
uuur uuur
uuur
uuur
Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA ⇒ MB = 3MA (1) hoặc MB = −3MA (2)

Câu 5.

  2 1
A − ;−
(1) ⇒   3 3 ÷
 ⇒ (d ) : x − 5y − 1 = 0 hoặc (2) ⇒
 B(−4; −1)


 A ( 0; −1)

b = 2
2(a − 1) = −3(b − 1)
a = 1
⇔
⇒ A(1; −2), B(1;3) . Suy ra d : x − 1 = 0 .
+ (2) ⇔ 
2(3a − 6) = −3(3 − b)
b = 1
Vậy có d : x − y = 0 hoặc d : x − 1 = 0 .

Câu 6.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất.
x y
• PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): + = 1 (a,b>0)
a b

Câu 7.

3 1 Cô − si 3 1
M(3; 1) ∈ d 1 = +
≥ 2 . ⇒ ab ≥ 12 .
a b
a b
Mà OA + 3OB = a + 3b ≥ 2 3ab = 12 ⇒ (OA + 3OB)min
Phương trình đường thẳng d là:

a = 3b


• Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
x y
A(a; 0); B(0; b) với a.b ≠ 0 ⇒ Phương trình của (d) có dạng + = 1 .
a b
1 2
Vì (d) qua M nên + = 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
a b

Câu 9.

2
2
9
4
9
9
4
9
1 2 1 3
2   1  9
4 
+
≥ .
⇔
1 =  + ÷ =  . + 1. ÷ ≤  + 1 ÷ + ÷ ⇔ 2 + 2 ≥
2
2
10
10
a


2 1
2b + a = ab
 + =1
Theo giả thiết, ta có:  a b
⇔
.
 ab = 8
 ab = 8

• Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 ⇒ d1 : x + 2 y − 4 = 0 .

• Khi ab = −8 thì 2b + a = −8 . Ta có: b2 + 4b − 4 = 0 ⇔ b = −2 ± 2 2 .
+ Với b = −2 + 2 2 ⇒ d : ( 1 − 2 ) x + 2 ( 1 + 2 ) y − 4 = 0

+ Với b = −2 − 2 2 ⇒ d : ( 1 + 2 ) x + 2 ( 1 − 2 ) y + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M (8;6), S = 12 .
ĐS: d : 3 x − 2 y − 12 = 0 ; d : 3 x − 8y + 24 = 0
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với d một góc α có cosα
1
=
.
10

• PT đường thẳng (∆) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 ⇔ ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
2a − b
1

ab
−
5
b
=
0
5a = − b
13. a2 + b2
+ Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 ⇒ Phương trình ∆ : 5 x + y − 11 = 0 .
+ Với 5a = −b . Chọn a = 1, b = −5 ⇒ Phương trình ∆ : x − 5y + 3 = 0 .
0
Ta có: cos 45 =

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x − y − 2 = 0 và điểm I(1;1) .

Lập phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng

d một góc bằng 450 .

• Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) .
Vì (·d , ∆) = 450 nên

2a − b
a2 + b2 . 5

=

1


1

đạt giá trị nhỏ nhất.
AB
AC 2
• A = d1 ∩ d2 ⇒ A(−1;1) . Ta có d1 ⊥ d2 . Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
1
1
1
1
+
=
≥
vuông góc của A trên ∆ . ta có:
(không đổi)
AB2 AC 2 AH 2 AM 2
1
1
1
⇒
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi H ≡ M, hay ∆ là đường thẳng đi qua M
2
2
AB
AC
AM 2
và vuông góc với AM. ⇒ Phương trình ∆: x + y − 2 = 0 .

• ∆ có PTTS: 
và VTCP u = (−3;2) . Giả sử B(1 − 3t; −2 + 2t ) ∈ ∆ .
 y = −2 + 2t
 15
uuur r
t=
uuur r
1
AB.u
1 ⇔ 169t 2 − 156t − 45 = 0 ⇔  13
0
cos(
AB
;
u
)
=
⇔
.

( AB, ∆) = 45 ⇒
r=
2
AB. u
2
t = − 3
13

 32 4 
 22 32 

3 

Khi đó ta có S∆ONM =

Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0 . Tìm

trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .
• Giả sử B(2b − 2; b), C (2c − 2; c) ∈ d .
uuur r
2 6
2 5
5
Vì ∆ABC vuông ở B nên AB ⊥ d ⇔ AB.ud = 0 ⇔ B  ; ÷ ⇒ AB =
⇒ BC =
 5 5
5
5
c = 1 ⇒ C (0;1)
1
 4 7
BC =
125c2 − 300c + 180 = 5 ⇔ 
7
c = ⇒ C  ; ÷
5
5
5
 5 5



c −1
(*) ⇔ 
(5 − c)2
(b + 1)2
+ (b + 1)2 = (c − 1)2 + (5 − c)2 (2)
2

(c − 1)
b = c − 2
Từ (2) ⇔ (b + 1)2 = (c − 1)2 ⇔ 
.
 b = −c
+ Với b = c − 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 ⇒ B(2;1), C (4;5) .
+ Với b = −c , thay vào (1) ta được c = 2, b = −2 ⇒ B(−2;5), C (2; 7) .
Vậy: B(2;1), C (4;5) hoặc B(−2;5), C (2; 7) .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có

phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + 2 – m = 0 ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – 5 = 0 . Chứng
minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 ∩ d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất.
(m − 1) x + (m − 2) y = m − 2
• Xét Hệ PT: 
.
(2 − m) x + (m − 1) y = −3m + 5
2


3 1
Ta có D = m − 1 m − 2 = 2  m − ÷ + > 0, ∀m
2 − m m −1
2 2

Trang 6