Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 1
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.



. PHNG TRèNH NG THNG
A. KIN THC C BN
Vộct phỏp tuyn (VTPT) ca mt ng thng l vect khỏc
0

v cú giỏ
vuụng gúc vi ng thng.
Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTPT
( , )
n a b

l:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y

2 2
0 0
( ) ( ) 0 a 0, 0
a x x b y y x by c a b



.
V trớ tng i ca hai ng thng:
1 1 1 1
: 0
a x b y c

v
2 2 2 2
: 0
a x b y c

.
Nu
2 2 2
, , 0
a b c

thỡ:

1

ct
2


1 1
2 2
a b
a b

u a b

l:
0
2 2
0
( 0)
x x at
a b
y y bt






.
Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTCP
( ; )
u a b

l:
0 0
,( , 0)
x x y y
a b

( , )
I x y
v cú
VTPT
( , )
n a b

l:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y

2 2
0 0
( ) ( ) 0 a 0, 0
a x x b y y x by c a b

.

. Cỏch 2:


Tỡm mt VTPT
( , )
n a b

ca ng thng.


Gi s ng thng ó cho cú dng

thỡ
''
d
cú phng trỡnh:
'': '' 0
d bx ay c

.
b. Dngphng trỡnh tham s, chớnh tc:


Tỡm mt im
0 0
( , )
I x y
thuc ng thng.


Tỡm mt VTCP
( ; )
u a b

ca ng thng.


Khi ú, phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú

( ; )
u a b

l:
0 0
x x y y
a b


.
c bit,
d i qua hai im
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
thỡ cú VTCP
( ; )
B A B A
u AB x x y y


.
Gi s ng thng d cú phng trỡnh
: 0
d ax by c

.
Khi ú,
'
d d

u k

.

. Chỳ ý:
ng thng ct 2 trc ta thỡ chn dng phng trỡnh on chn.
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 3
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
Nu ng thng d cú VTPT
( , )
n a b

thỡ ng thng d cú VTCP
( , )
u b a


hoc
( , )
u b a


.
Ngc li, nu ng thng d cú VTCP
( , )
u a b

thỡ ng thng d cú VTPT
( , )

u

.
c. i qua
(2;0)
A
v
(0; 3)
B

.
d. i qua
( 5; 8)
M

v cú h s gúc
3
k

.
2. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d:
a. i qua
( 1; 4)
M

v song song vi ng thng
': 3 5 2 0
d x y

.

x y



.
4. Lp phng trỡnh tham s, chớnh tc (nu cú) ca ng thng d:
a. i qua im
(2;1)
M
v cú VTCP
(3; 2)
u


.
b. i qua im
(1; 2)
M

v cú VTPT
( 5;3)
n

.
c. i qua im
(3;2)
M
v cú h s gúc
2
k



.
6. Cho hai im
(4;0)
P
v
(0; 2)
Q

. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng
thng:
a. i qua im
(3; 2)
R
v song song vi ng thng PQ.
b. Trung trc ca PQ.
7. Cho im
( 5;2)
A

v ng thng
2 3
:
1 2
x y
d




10. Vit phng trỡnh ng thng d i qua
(2;5)
M
v cỏch u hai im
( 1;2)
P

v
(5;4)
Q
. (HD: Xột 2TH d song song v khụng song song vi ng
thng PQ)
11. Cho ng thng
1
: 2 2 0
d x y

;
2
: 2 0
d x y

v im
(3;0)
M
. Vit
phng trỡnh ng thng

i qua M, ct
1 2

1 1 1
2 2 2
0
(I)
0
a x b y c
a x b y c





.
Nu h (I) cú mt nghim thỡ
1

ct
2

.
Nu h (I) vụ nghim thỡ
1 2


.
Nu h (I) cú vụ s nghim thỡ
1 2

.
c bit, Nu

2 2 2
a b c
a b c

.
tỡm giao im ca 2 ng thng
1

,
2

ta gii h phng trỡnh (I).
Hai ng thng
1 2
1 2
1 2
. 0
. 0
n n
u u






.

d x y

v
1 3
' : 4 0
2 2
d x y

.
c.
:10 2 3 0
d x y

v
3
': 5 0
2
d x y

.
14. Xột v trớ tng i v tỡm giao im nu cú ca 2 ng thng:
a.
1 5
:
2 4
x t
d
y t



d x y

.
c.
2
:
2 2
x t
d
y t





v
3
':
1 2
x y
d



.
15. Bin lun theo tham s m v trớ tng i ca hai ng thng:
: 2 0
d mx y

v

.
18. Cho ng thng
2 3
:
x t
d
y t





v
(2;1)
B
.
a. Tỡm giao im ca d vi hai trc Ox, Oy.
b. Tỡm trờn d im M sao cho on BM ngn nht.
19. Cho hai ng thng
1
3 2
:
4
x t
d
y t





d
y t





.
a. Tỡm im M trờn d v cỏch im
(0;1)
A
mt khong bng 5.
b. Tỡm ta giao im ca d vi ng thng
1 0
x y

.
21. Cho hai ng thng:
1
: ( 1) 2 1 0
m x y m

v
2
2
: ( 1) 0
x m y m

.
a. Tỡm giao im I ca

b. d cựng phng vi ng thng
' : 9 0
d x y

.
c. d vuụng gúc vi ng thng
": 3 1 0
d x y

.
23. Vit phng trỡnh ng thng

i qua im
(3;1)
M
v ct 2 tia Ox, Oy ln
lt ti A v B sao cho:
a.
OA OB

nh nht.
b.
OAB
S

nh nht.
c.
2 2
1 1
OA OB


.

.Chỳ ý: Tỡm im tng quỏt thuc ng thng.
Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tng quỏt
: 0
d ax by c

thỡ
;
at c
H d H t
b


hoc
;
bt c
H t
a


.
Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tham s




0 0
;
H d H x at y bt

.

.Dng

: Tỡm im i xng A ca A qua ng thng d.
Tỡm im H l hỡnh chiu ca A trờn d (xem dng 3).
A i xng vi A qua d

H l trung im ca AA '
'
2
;
2
A A
H
A A
H
x x
x
H



.Cỏch 2:
Ly
( ; )
M x y
bt k thuc d.
Gi
'( '; ')
M x y
l im i xng ca M qua I
'
2 '
2
' 2 '
2
I
I
I
I
x x
x
x x x
y y y y y
y






Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua I.

Vit phng trỡnh ng thng d i qua I, A.
* Trng hp nu
d


Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua

(xem
dng 4).


Vit phng trỡnh ng thng d i qua A v nhn VTCP ca d lm
VTCP ( hoc nhn VTPT ca d lm VTPT).

.Cỏch 2:
Ly hai im c th
,
A B d

.
Tỡm A, B i xng vi A, B qua

( xem dng 4).
Vit phng trỡnh ng thng d i qua 2 im A, B.


lờn mi ng thng:
a.
:
1
x t
d
y





b.
1
:
3 4
x y
d



c.
: 5 12 10 0
d x y

.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 8
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

. Vit phng trỡnh ng
thng d i xng vi

qua I.
30. Cho hai ng thng
1
: 1 0
d x y

v
2
: 3 3 0
d x y

. Vit phng trỡnh
ng thng d i xng vi
1
d
qua
2
d
.
31. Cho ng thng
: 0
d ax by c

. Vit phng trỡnh ng thng
'
d
i

.

.Chỳ ý:
Khi cho:
- Phng trỡnh ng phõn giỏc : t 1im c th dng vuụng gúc vi
ng phõn giỏc.
- Phng trỡnh ng trung tuyn: dựng im tng quỏt.
- Phng trỡnh ng cao: ta vit c phng trỡnh ng thng.

32. Cho
ABC

cú phng trỡnh 3 cnh
: 2 3 1 0
AB x y

,
: 3 7 0
BC x y

,
: 5 2 1 0
CA x y

. Vit phng trỡnh ng cao BH.
33. Cho
ABC

35. Cho
ABC

cú
( 2;3)
A

v hai ng trung tuyn
: 2 1 0
BM x y

,
: 4 0
CN x y

. Vit phng trỡnh 3 ng thng cha cỏc cnh ca tam giỏc.
36. Cho
ABC

cú trng tõm
(3;5)
G
v phng trỡnh
: 2 3 1 0
AB x y

,
: 4 5 0
AC x y


v trng tõm
(1;2)
G
, cnh AC v ng trung trc ca
nú ln lt cú phng trỡnh
2 0
x y

v
2 0
x y

. Gi M, N ln lt l
trung im ca BC v AC.
a. Tỡm ta cỏc im M v N.
b. Vit phng trỡnh hai ng thng cha 2 cnh AB v BC.
40. Cho
ABC

cú
: 2 6 3 0
AB x y

,
2
:
x t
AC
y t


A

,
(2;4)
B
,
(4;0)
C
.
a. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca tam giỏc. Xỏc nh ta tõm I v
bỏn kớnh R ng trũn ngoi tip
ABC

.
b. Vit phng trỡnh cỏc ng cao. T ú, suy ra ta trc tõm H ca
ABC

.
c. Chng minh 3 im H, I, G thng hng vi G l trng tõm
ABC

.
43. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú
(4; 1)
A

v phng trỡnh 2 cnh
: 3 0
BC x y


A

v ng thng
: 2 2 0
x y

. Dng hỡnh vuụng ABCD sao
cho hai nh A, B nm trờn

v cỏc ta ca nh C u dng. Tỡm ta cỏc
nh B, C, D.
47. Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha bn cnh ca hỡnh vuụng ABCD bit
( 1;2)
A

v phng trỡnh ca mt ng chộo l
1 2
2
x t
y t





.


.
V trớ ca hai im
( ; ), ( ; )
M M N N
M x y N x y
i vi ng thng
: 0
ax by c

(
( , )
M N

:
M, N nm cựng phớa i vi


( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c

.
M, N nm khỏc phớa i vi


( )( ) 0
M M N N


cú vect phỏp tuyn
1
n

v
2
n

c
tớnh bi cụng thc:
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
os( , ) os( , )
.
a a b b
c c n n
a b a b

.
B. PHN DNG TON


.Dng


AB AC

.
Khong cỏch gia hai im
( ; ), ( , )
A A B B
A x y B x y
l:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y

.
Khong cỏch t im
0 0 0
( ; )
M x y
n ng thng
: 0
ax by c

c
cho bi cụng thc
0 0
0
2 2
( ; )
ax by c
d M

v
': 3 1 0
d x y

. b.
: 3 1 0
d x y

v
' : 0
d x

.
c.
: 3 2 1 0
d x y

v
': 2 3 8 0
d x y

. d.
:
3 2
x t
d
y t




.
49. Cho hai ng thng
1
: ( 1) ( 1) 5 0
d m x m y

v
2
: 2 0
d mx y

.
a. Chng minh rng
1 2
,
d d
luụn ct nhau vi mi giỏ tr ca m.
b. Tớnh gúc gia
1 2
,
d d
.
50. Cho hai ng thng
: 2 5 0
d x y

v
' : 3 0
d x y


hp vi ng thng
': 2 9 0
d x y

mt gúc bng
30
o
.
54. Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a gúc to bi hai ng thng
2
:
1 2
x at
d
y t





v
': 3 4 12 0
d x y

bng
45
o
.
55. Tỡm khong cỏch t cỏc im n cỏc ng thng tng ng sau õy:
a.

b.
1 2
':
2 5
x t
d
y t





.
57. Tỡm bỏn kớnh ca ng trũn tõm
( 2; 2)
C

v tip xỳc vi ng thng
: 5 12 10 0
x y

.
58. ng thng
: 2 5 9 0
x y

ct 2 trc ta ti A, B. Tớnh chiu cao OH
ca
OAB



bng 2.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 12
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.



.Dng

: Phng trỡnh ng thng liờn quan n gúc v khong cỏch.
tỡm phõn giỏc trong AD ca
ABC

, ta lp phng trỡnh 2 cnh AB, AC
ri tỡm phng trỡnh 2 ng phõn giỏc ca gúc to bi 2 ng thng AB,
AC. Chn ng phõn giỏc trong tng ng vi 2 im B, C nm khỏc
phớa.
tỡm phng trỡnh ng thng l tp im cỏch u hai ng thng
(ct nhau hoc song song), cỏch ng thng cho trc mt on khụng
i, ta gi
( ; )
M x y
tha iu kin ri dựng quan h khong cỏch lp
phng trỡnh.

61. Vit phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc gia hai ng thng:
a.
1


.
b.
1
: 4 3 2 0
x y

v
2
: 3 0
y

.
63. Tỡm qu tớch cỏc im cỏch ng thng
: 2 5 1 0
x y

mt khong cỏch
bng 3.
64. Vit phng trỡnh ng thng song song v cỏch ng thng
: 0
ax by c

mt khong bng h cho trc.
65. Vit phng trỡnh ca ng thng i qua gc ta v cỏch u hai im
(2;2)
A
v
(4;0)
B

v
(5;0)
C
. Vit phng trỡnh cỏc phõn giỏc
AD, BE.
69. Vit phng trỡnh phõn giỏc d ca gúc nhn to bi 2 ng thng
1
: 2 5 0
d x y

v
2
: 2 2 0
d x y

.
70. Vit phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc trong v ngoi xut phỏt t nh A ca
ABC

bit
(1;1)
A
,
(10;13)
B
v
(13;6)
C
.
71. Bit cỏc cnh ca

: 2 2 0
d x y

.
a. Tỡm ta im M i xng vi im M qua d.
b. Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi d qua M.
73. Vit phng trỡnh ng thng qua
( 2;0)
A

v to bi ng thng
: 3 3 0
d x y

mt gúc
45
o
.
74. Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm
(4; 1)
I

v phng trỡnh cnh
: 2 1 0
AB x y

. Lp phng trỡnh hai ng chộo ca hỡnh vuụng.
75. Vit phng trỡnh ng thng ng thng d i qua
(3;1)
P

(1; 3)
M

.
. BI TP TNG HP
77. Tỡm im M trờn ng thng
: 2 0
d x y

, cỏch u hai im
(0;4)
E
v
(4; 9)
F

.
78. Cho ng thng
2 2
:
1 2
x t
y t





cõn ti C.
b. Tỡm ta im M trờn d sao cho
AMB

vuụng ti M.
80. Cho hai im
(1;6)
P
,
( 3; 4)
Q

v ng thng
: 2 1 0
x y

. Tỡm ta
im N trờn

sao cho
NP NQ

ln nht.
81. Cho im
(1;2)
P
v
(3;4)
Q
. Tỡm im M trờn trc honh sao cho

v
(0, )
B b
vi
, 0
a b

sao cho:
a.
60
OAB
S


. b. M l trung im ca AB. c.
OAB
S

bộ nht.
85. Cho ng thng
: 2 0
x y

v im
(2;0)
A
.
a. Chng t rng hai im A v gc O nm v cựng mt phớa i vi ng thng

.

.
b. Tớnh chu vi v din tớch
ABC

.
c. Tớnh di cỏc bỏn kớnh r, R ca ng trũn n tip v ng trũn ngoi tip
ABC

.


. THI TUYN SINH
87. (H KHI D-2009) Cho
ABC

,
(2;0)
M
l trung im ca AB. ng trung
tuyn v ng cao k t A ln lt cú phng trỡnh:
7 2 3 0
x y

v
6 4 0
x y

.
Vit phng trỡnh ng thng AC.
(S:

x y x y

. Hóy vit phng trỡnh ng thng BC.
(S:
: 4 3 4 0
BC x y

)
90. (C BTRE-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy, bit nh
(4; 1)
A

,
phng trỡnh mt ng cao, mt ng trung tuyn v t cựng mt nh ln lt
l
2 3 12 0;2 3 0
x y x y

. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc.
(S:
: 3 7 5 0
AB x y

,
: 3 2 10 0
AC x y

,
: 9 11 5 0
BC x y

vi
(1;3)
A
v hai ng trung tuyn xut phỏt t B v C ln lt cú phng trỡnh l
2 1 0
x y

v
1 0
y

. Lp phng trỡnh cỏc cnh ca
ABC

.
(S:
: 2 0, : 4 1 0, : 2 7 0
AB x y BC x y AC x y

)
93. (H KHI B-2008) Cho
ABC

, bit hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AB l
( 1;1)
H

. ng phõn giỏc trong ca gúc A cú phng trỡnh
2 0
x y

x y

v
3 5 0
x y

.
Tỡm ta cỏc nh A, B.
(S:
(1;4), (5;0)
A B
)
95. (H KHI A-2004) Trong mt phng Oxy cho
(0;2)
A
v
( 3; 1)
B

.
Tỡm ta trc tõm v tõm ng trũn ngoi tip
OAB

.
(S:
( 3;1), ( 3;1)
I H
)
96. (H KHI B-2004) Trong mt phng Oxy cho
(1;1), (4; 3)

,
d d
sao cho
ABC

vuụng cõn ti A.
(S:
(3; 1), (5;3)
B C

;
( 1;3), (3;5)
B C

)
98. (H KHI A-2006) Trong mt phng vi h ta Oxy cho cỏc ng thng
1 2
: 3 0, : 4
d x y d x y

v
3
: 2 0
d x y

. Tỡm ta im M nm trờn
3
d
sao
cho khong cỏch t M n

(1;1), (1; 1)
A C

(0;0), (2;0)
B D
;
(2;0), (0;0)
B D
)
100. (H KHI B-2009) Cho
ABC

nh
(1;4)
A
, hai nh B, C nm trờn ng
thng
: 4 0
x y

. Bit rng din tớch
ABC

bng 18. Tỡm ta cỏc nh B,
C.
(S:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C