PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :
1. Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là
gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó:
→
i
= (1; 0) và
→
j
= (0;1) là các vectơ đơn
vò trên các trục.Ta có:
→
i
=
→
j
=1 và
→
i
.
→
j
=0.
2. Tọa độ của vectơ :
→
u
= (x ; y) ⇔
→
u
= x.
→

; b
2
).
Ta có:
a)
→
a
±
→
b
= ( a
1
± b
1
; a
2
± b
2
).
b)
→
ak
= (ka
1
; ka
2
) (k là số thực).
c)
Tích vô hướng:
→

2
2
1
2211
bb.aa
b.a b. a
)b,acos(
++
+
=


3.
→
a
⊥
→
b
⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0.
d)
→
a

0baba
b b
a a
a
b
a
b
a.kb:Rk
1221
21
21
2
2
1
1
f)
Tọa độ của vectơ:
→
AB
=(x
B -
x
A
;y
B -
y
A
).
g)
Khoảng cách:

−
−
=
M là trung điểm AB ta có:
2
xx
x
BA
M
+
=
và
2
yy
y
BA
M
+
=
5. Kiến thức về tam giác: Cho A(x
A
;y
A
),B(x
B
; y
B
) và C(x
C
; y

⇔∆
→→
→→
CABH
BCAH
tâm trựclà H





=
=
⇔
→→
→→
0CA.BH
0BC.AH
c)
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):
I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)). Giải hệ AI
2
=BI
2
và BI
2
=CI
2
⇒
Tọa độ của I.

⇒ Tọa độ của K
e)
Diện tích tam giác:
•
S=
a
ah
2
1
=
b
bh
2
1
=
c
ch
2
1
•
S=
Csinab
2
1
=
Bsinac
2
1
=
Asinbc

21
b b
a a
=a
1
b
2
−a
2
b
1

với
→
AB
=(a
1
; a
2
) và
→
AC
= (b
1
; b
2
)
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG :
 Đònh nghóa: Cho các vectơ
→

• Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác đònh khi biết M
0
∈∆ và 1 vectơ chỉ phương
→
u
hoặc 1 vectơ pháp
tuyến
→
n
của ∆.
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đònh lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: Ax+By+C = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) và có vectơ chỉ phương
→
u
= (B; - A) hoặc
→
u
= (- B; A)
b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0



+=
+=
btyy
atxx
0
0
với a
2
+b
2
≠ 0, t∈R
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
;
y
0
) và có vectơ chỉ phương
→
u
=(a; b) là:
b
yy
a
xx
00
−

1
2
1
BA +
≠0 và
2
2
2
2
BA +
≠ 0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:
• Hệ có duy nhất nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2
B
1
≠0⇔∆
1
và ∆
2
cắt nhau.
• Hệ vô nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2

1
=C
1
A
2
−C
2
A
1
= 0⇔ ∆
1
≡ ∆
2
.
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường
thẳng có tâm I. Nếu ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C


GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG − KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG
THẲNG :
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0. Nếu gọi ϕ (0
0
≤ ϕ ≤ 90
0
) là góc giữa ∆
1
và ∆
2
thì:
2

;y
0
) đến ∆:Ax+By+C=0 là:

22
00
BA
CByAx
),M(d
+
++
=∆
(A
2
+B
2
≠0)
b) Hệ quả: Nếu ∆
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
: A
2
x+B

CyBxA
+
++
±=
+
++

ĐƯỜNG TRÒN :
1.Phương trình của đường tròn:
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
(x−a)
2
+(y−b)
2
=R
2
b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :
x
2
+y
2
= R
2
c) Phương trình x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0 với A
2
+B

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C
1
) và (C
2
) là một đường
thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I
1
và I
2
của (C
1
) và (C
2
) và gọi là trục đẳng phương của
(C
1
) và (C
2
).
b) Cho hai đường tròn: (C
1
):F
1
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
1
x+2B

2
)x+2(B
1
− B
2
)y+C
1
− C
2
= 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :
Cho (C):F(x;y)=(x−a)
2
+(y−b)
2
−R
2
=0 và điểm M(x
0
;y
0
), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
M ta tìm phương tích của M đối với (C):
 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 3
 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi
qua M có vectơ pháp tuyến
→
IM
= (x

thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.

ElÍP :
1)Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF
1
+MF
2
=2a (2a không đổi và a> c> 0)
là một đường elíp.

F
1
,F
2
: cố đònh là hai tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là tiêu cự của elíp.

MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elíp:
1
b
y
a

2
(a;0), B
1
(0;−b) và B
2
(0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ dài
trục bé là 2b.
• Tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
( c; 0).
• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với
b
2
= a
2
c
2
.
• Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
−
==
< 1

0
)∈(E) có phương trình:
1
b
yy
a
xx
2
0
2
0
=+

Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆:A(x−x
1
)+B(y−y
1
)=0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (E)⇔A
2
a
2
+B
2
b
2


MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
b
2
= c
2
- a
2
.
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.

Đỉnh:A
1

− a
2
.

Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
+
==
> 1

Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2
±=±

Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)∈(H):
* MF
1
= ex + a và MF
2
= ex−a khi x > 0.
* MF

0
2
0
=−

Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (H) ⇔ A
2
a
2
− B
2
b
2
= C
2
A
2
+B
2
≠0,C=−(Ax
1

2
p
với x ≥ 0
4) Tiếp tuyến của parabol (P): y
2
=2px:
• Tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(P):y
2
=2px có phương trình: y
0
y = p(x
0
+x)
• Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (P) ⇔ pB
2
=

55 −− BA
, träng t©m G cđa tam gi¸c n»m
trªn ®êng th¼ng
 =−+ yx
. T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
5.
ABC
∆
.5(=$%->3-;.$?)@ @A8
(=$%334>3-;.$?)BB8(CDE-:"#(0&/0
ABC
∆
(
6."F/E-:Oxy- ABC14A5!(G$?)$%3H
9BC$%334CCIJKJ$LJ#xByM<8"#xMyB 8()E-:;7- -
 ABC.
7."F/E-:Oxy-$%
∆
'
N x y+ + =

O'   x y∆ − + =
"#
A5@(P4$?)$%Q.R3:$%
∆
>3-A"#4S"F
$%
∆
I(
8.       "F  /  E-  : Oxy   $%  Q  -  $%  Q

( )

(C
11.9:)ZY.$?)$%'MB
8$?)$%'MAB8$%>3-*5()9:;
7-)ZY(
12.9:-.5 ER[5(\-;"#
JKJ$L2+-$%&

'BB!8"#&

'BMA8(P4$?)$%Q
.R"#4S"F$%[(
13(-R.2+$%'M!B891+2+$%
'MM 8(P4$?)$%142.>3-5 
14.P4$?)43437--$%Q'
5

'5@!

B5B

8!"#5

'5M

B5M

8!
15("F/9:$%Q5'

()Z*3:$%&,-W*bc$L45-434
L"F-3.d

20(("F/E-:(]J5e'


=−+ yx
()Zf+]J5e
,-'


<
g
=FNF
5h

h

J#-+37-]J5e
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 6
21(E-:5"#$%

'B B8(
)E-:3:$%

,-$%"#

L"F-3.!

(

'@AB8"#$%`>3-*5()9:;7-)ZY(
25(5$%5.$?)'MM8"#-5@
5 ()*

5,-*

B*

.Dji(
26.$%Q5'

B

MM<B<8"#*5(P4$?)$%>3-
*U$%Q9"#,-*J#37-(
27.P4$?)4347-]J05e'


< d
x y
+ =
14434>3-5
28."F/E-:$%Q5'

B

@@B

@8.R6"#
$%'B8()14$%U$%Q59-R1/


=+
, bieỏt tieỏp tuyeỏn ủi qua A(6 ; 3

).
35(9:-$%5&

'@ @8"#5&

'B @8(
)9:R"#1b0$%Q:4-. 92+5&

5&

a(
36.5@5"#$%5&'@@8(XY$?)$%Q>3-
"#4S"F$%5&(
37.9:5@!"#$%
' x y + =
()+

-
"#lk-3>3-65!m,-&/0-12!(
38. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng


và trọng tâm
thuộc đờng thẳng

: 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.


:*,-'
MA MB+
uuur uuur
J#ji
Ta trong hỡnh hc phng Trang 7
43(-$%Q'
( )
 

'  C x y+ =
"#
( ) ( )



' < !C x y− + =
U-3
95 (P4$?)$%>3-"#U
( ) ( )
 
C C
]-&R3.:&#12
-3
44(JY$?)$%>3-*5"#9"FaE-::-
.&/012
45(*5





'B B8(
-(P4$?)$%Q.R3:&

"#4S"F&

"#&

(
1()E-:*3:&

"#f3:&

,-
OM
B
ON
8

(
51."F/E-:e5@"#$%Q5'

B

MNMM<8(
P4$?)$%>3-eU5]&R3*f.:&#Ui(
52. -R914$?)$%JKJ$LJ#'BM!8"#
MBA8(P4$?)$%142>3-h5@ (
53(]J05e.+3kiJ#5@


"#&

,-kJ#)1)
#(
57(E-::-.5-$%-3iW"#JK
J$L.$?)J#B8"#MB8(0&/0-(
58(-

F
5@

F
5"#5 (
-(XY$?)0U7-]J5e>3-"#.-+3

F


F
(
1()E-:7-*3:5e,-*

F
8 *


F
59.$%Q5'

B

B

−−B 8(XY$%Q5Ilk"F5>3-$%
∆'−8
63( ∆.aR\
 

! !
 
 ÷
 
$%"#JKJ$LJ#'
−− 8B−A8(P4$%k-9(
64("F/E-:$%&'B− 8"#55− (
)E-:*3:$%&,-bpW*4$%12(
65("F/E-:∆.;5 $%-\"#334*.
JKJ$LJ#' −B8B−8()E-:;
66(-.&/0q8


-;5@ 5 @"#ER[7--3:
@@N8()E-:;(
67. Cho ∆ABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có pt là (AC): x + y – 2 = 0,
(AB) : 2x + 6y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC và viết phương trình cạnh BC.
68. Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I nằm trên
đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0.
69.Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x
2
+ y
2

2
là hai tiêu điểm của (E) và M ∈ (E).
c. Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF
1
= 2.MF
2
với F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E).
d. Tìm các điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
71. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình :



d


=+
.
a. Xác đònh tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
b. Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF
1
= 2.MF
2
với F
1
, F
2

2
) : 2x + 3y = 0.
76. Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x – y + 5 = 0 ,ø điểm I(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d.
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn đó với d.
77. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x
2
+ y
2
= 4.
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 9
a. Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E).
b. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E) tại 2 điểm phân biệt M, N khi m thay đổi.
Tìm tập hợp các trung điểm của MN.
78. Trên mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình : x
2
+ 4y
2
= 4.
a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip.
b. Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M và N.
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
c. Tìm giá trò của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho.
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 10