CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN I: NGUYÊN HÀM
Nếu có hàm số f(x) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết,
công việc có vẻ không khó lắm. Thế nhưng tìm hàm số nào đó có đạo hàm bằng f(x) thì sẽ
khó hơn rất nhiều, có nghĩa là ta phải tìm hàm số g(x) sao cho g' ( x ) = f ( x ) . Hãy cùng
nghiên cứu kĩ hơn vấn đề này!
Định nghĩa. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn
của R). Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho F ' ( x ) = f ( x ) thì F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K.
Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C,
hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm
của f(x) trên K đều có dạng G ( x ) = F ( x ) + C với C là hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
•

Tính chất của nguyên hàm:
- ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C
- ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
- ∫  f ( x ) + g ( x )  f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

•

Bảng nguyên hàm
Chú ý: Công thức tính vi phân của f(x) là d f ( x )  = f ' ( x ) dx . Ví dụ du = u '.dx ,
dt = t '.dx với u, t là hàm theo biến x.

∫ 0dx = C
∫ dx = x + C
∫x




∫ e dx = e
x

x

∫ e du = e

+C

u

ax
∫ a dx = ln a + C
∫ cos xdx = sin x + C

u

∫ sin xdx = − cos x + C
1

2

x

1

∫ sin
•

u

1
2

u

du = tanu + C
du = − cotu + C

Các phương pháp tính nguyên hàm
•

Phương pháp 1. Sử dụng bảng nguyên hàm:

 1

+ x 4 ÷dx
Ví dụ 1: Tính ∫ 
2
 cos x

Lời giải
1
x5
 1
4
4
+
x

2
Ta có ∫  2x + 3 2 ÷dx = 2∫ x dx + ∫ 3 2 dx = x + ∫ x 3 dx
3
x 
x

1
2 3
2
= x + 3x 3 + C = x 4 + 3 3 x + C
3
3

Ví dụ 3: Tính

∫ ( 3cos x − 3 ) dx
x −1

trên khoảng ( −∞; +∞ )
Lời giải

Ta có

∫ ( 3cos x − 3 ) dx = ∫ 3cos xdx − ∫ 3
x −1

x −1

dx = 3sin x −



•

Phương pháp 2. Đổi biến số

BỘ ĐỀ THI THỬ, TÀI LIỆU THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 MỚI NHẤT
Bên mình đang có bộ đề thi thử THPTQG năm 2017 mới nhất từ
các trường , các nguồn biên soạn uy tín nhất.
 300 – 350 đề thi thử cập nhật liên tục mới nhất đặc sắc nhất năm 2017.
 Theo cấu trúc mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo (50 câu trắc
nghiệm).
 100% file Word gõ mathtype (.doc) có thể chỉnh sửa.
 100% có lời giải chi tiết từng câu.
 Nhiều tài liệu hay khác : Đề theo chuyên đề, sách tham khảo, tài liệu file
word tham khảo hay khác….

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn: “Tôi muốn đặt mua bộ đề thi, tài liệu TOÁN 2017”
rồi gửi đến số 096.79.79.369 (Mr Hiệp)
Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ liên hệ với bạn để hướng dẫn các
xem thử và cách đăng ký trọn bộ.
Uy tín và chất lượng hàng đầu chắc chắn bạn sẽ hài lòng.
− Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta thường sử dụng phương pháp
nguyên hàm từng phần.
− Thứ tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt là lô đa lượng mũ), sau khi đặt
u thì toàn bộ lượng còn lại đặt là dv.
Ví dụ 7: Tính

∫

Đặt t = x ⇒ dt =

1
2 x

dx =

1
dx ⇒ dx = 2tdt , nguyên hàm viết lại thành:
2t

∫ 2t cos tdt = 2∫ t cos tdt , tiếp tục dùng nguyên hàm từng phần để giải quyết.
u = t
du = dt
⇒
Đặt 
, áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:
dv = cos tdt  v = sin t

∫ cos

xdx = 2 ∫ t cos tdt = 2t.sin t − 2 ∫ sin t.dt = 2t.sin t + 2 cos t + C = 2 x.sin x + 2 cos x + C

Chú ý: Khi đặt dv = f ( x ) dx ta tính v theo công thức v = ∫ f ( x ) dx , chắc hẳn nhiều em sẽ
hỏi sau khi tính xong sẽ có thêm hằng số C nhưng tại sao ở các ví dụ trên lại không thấy C,
thật ra là người ta đã chọn C = 0 .

Trang 4




a > b thì ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

−

b

b

a

a

− Tích phân không phụ thuộc vào biến số tức là ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a )
•

Tính chất của tích phân.
−
−
−

b

c

b

a

a

vào theo công thức ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .
a

7

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

∫
2

A. I = 2

x
x2 − 3

dx

B. I = 3

C. I = 0
Lời giải

Đặt t = x 2 − 3 ⇒ t 2 = x 2 − 3 ⇒ tdt = xdx
Trang 5

D. I = 1


Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 1; x = 7 ⇒ t = 2
2


Khi đó: I =

∫
0

u3
u dy =
3

ln 3

2

( ln 3)
=

3

3

0

Chọn đáp án C
5

Ví dụ 4: Tính tích phân I =

∫ x (x
3

2 2+2
3

D. I =

2 3+2
3

Lời giải
Đặt t = x 2 + 4 . Suy ra t 2 = x 2 + 4 . Do đó tdt = xdx
x = 0 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 3
3

3

2

2

2
4
2
Suy ra I = ∫ ( t − 4 ) t.tdt = ∫ ( t − 4t ) dt
3

 t 5 4t 3 
63 64 253
I= −
=
÷ = +

0

(

)

1

1

x + 1 + e dx = ∫ x x + 1dx + ∫ xe x dx = I1 + I 2
2

x

2

0

0

Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
2

Suy ra I1 =

∫
1


e2

Ví dụ 6: Tính tích phân sau I =

∫
e

A. I =

e4 − e2
+ 2 + ln 2
2

Trang 7

(x

2

+ 1) ln x + 1
x ln x

dx
B. I =

e4 − e 2
− 1 + ln 2
2




dx = ∫
e

e2

e2

e2

x2 +1
1
1
1

dx + ∫
dx = ∫  x + ÷dx + ∫
dx = J + K
x
x ln x
x
x ln x
e
e 
e
e2

e2

 x2

e2
e

= ln 2

e4 − e 2
+ 1 + ln 2
2

Chọn đáp án C
Chú ý:

1
dx = d ( ln x )
x
2

 x 1
Ví dụ 7: Tính tích phân I = ∫ x  e − ÷dx
x

1
A. I = e 2 − 1

B. I = e 2

C. I = e 2 + 1

D. I = e 2 − 2


dv = e dx  v = e
1
2

I2 = x 1 = 1 ⇒ I = e2 − 1
Chọn đáp án A
1

2
Ví dụ 8: Tính tích phân I = ∫ x 3x + 1dx
0

A. I =

7
9

B. I =

2
9

C. I =
Lời giải

Đặt t = 3x 2 + 1 ⇒ t 2 = 3x 2 + 1 ⇒ tdt = 3xdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2

Trang 8


7
9

B.

7
8

C. −

7
9

D.

7
10

Lời giải
u = x − 2
Đặt 
ta được
dv = sin 3xdx

du = dx

cos 3x

 v = − 3
π


3e 2 + 1
4

B. I =

3e 2 − 2
4

C. I =

3e 2
4

D. I =

3e 2 − 1
4

D. I =

3π2 π 1
+ −
16 8 2

Lời giải
Đặt: u = 1 + ln x;dv = xdx . Suy ra du =
e

1

0

A. I =

3π2 π 1
+ −
16 8 4

B. I =

3π2 π
+
16 8

C. I =
Lời giải

Trang 9

3π2 π 3
+ −
16 8 4


BỘ ĐỀ THI THỬ, TÀI LIỆU THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 MỚI NHẤT
Bên mình đang có bộ đề thi thử THPTQG năm 2017 mới nhất từ
các trường , các nguồn biên soạn uy tín nhất.
 300 – 350 đề thi thử cập nhật liên tục mới nhất đặc sắc nhất năm 2017.
 Theo cấu trúc mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo (50 câu trắc

B.

C.

384
15

D.

Lời giải
Đặt: t = x − 1 ⇒ t 2 + 1 = x ⇒ dx = 2t.dt
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 1; x = 5 ⇒ t = 2
2

I=∫
1

(t

2

+ 1) + 1
2

t

Trang 10

2


C. I = 3 + 2

D. I = 3 − 1

Lời giải
π
3

π
3

π
3

1 + sin x
1
sin x
dx = ∫
dx + ∫
dx = I1 + I 2
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
0
0
0

I=∫

Vậy I = 3 + 1 . Chọn đáp án A.
1

1 

Ví dụ 16: Tính tích phân I = ∫  3 x + 1 +
÷dx
x
+
2


−1
B. I = 4 3 + ln 3

A. I = 4 2 + ln 3

C. I = 4 2 + ln 2

D. I = 2 2 + ln 3

Lời giải
1

1

1
dx = I1 + I 2
x+2
−1

n +1
n

1

Ví dụ 17: Tính tích phân I = ∫
0

1
A. I = 2 + ln 3
2
Trang 11

n +1

+C

4x + 3
dx
2x + 1

1
B. I = 1 + ln 3
2

1
C. I = 2 − ln 3
2

1


= ∫ 2dx + ∫
dx = 2x 0 +  ln 2x + 1 ÷ = 2 + ln 3
2x + 1
2
2
0
0
0
Chọn đáp án
1

2x
Ví dụ 18: Tính tích phân I = ∫ ( x + e ) xdx
0

A. I =

e2 7
+
4 11

e2 7
+
4 12

B. I =

C. I =



) xdx = ∫ x dx + ∫ xe
2

0

2x

dx = I1 + I 2

0

1

1

x3
1
I1 = ∫ x dx =
=
3 0 3
0
2

1

2x
Tính I 2 = ∫ xe dx
0


Chọn đáp án B
e

 ln x 
Ví dụ 19: Tính tích phân I = ∫  2 + 1÷xdx
x

1
A. I =

e3
2

B. I =

e
2

C. I =
Lời giải

e

e

e

ln x
 ln x 
I = ∫  2 + 1÷xdx = ∫

1
x2
e2 1
= −
* ∫ xdx =
2 1 2 2
1
=> I =

e2
2

Chọn đáp án D
e

1 1 
Ví dụ 20: Tính tích phân I = ∫  + 2 ÷ln xdx
x x 
1
A. I =

3e − 4
2e

B. I =

e−4
2e

C. I =

dx + ∫ 2 dx
Ta có: I = ∫
x
x
1
1
e

e

e

ln x
1
1
dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ln 2 x =
+ I1 = ∫
x
2
2
1
1
1
e

ln x
dx
x2
1



3e − 4
2e

Chọn đáp án A
Ví dụ 21: Tính tích phân I =

11
3

2

A. I =

4
3
+ ln
3
2

xdx
3x − 2

∫ ( x − 1)

B. I =

2
1
+ ln

dt
 3 t − 1 t + 1 
( x − 1) 3x − 2 3 t − 1
3

3

1
1 
2
t −1 
2
3
2
−
dt =  t + ln
= + ln
Suy ra I = ∫  +


3 t − 1 t + 1
t +1  2 3
2
3
2 
Chọn đáp án C
π
2

Ví dụ 22: Tính tích phân I = x ( x + cos x ) dx


π
2

0

0

Ta có: I = x 2 dx + x cos xdx
∫
∫
π
2

π
3 2

Với I1 = x 2 dx = x
∫0
3

0

=

π3
24

π
2

24 2
Chọn đáp án C
π
2

Ví dụ 23: Tính tích phân I = ( 2x + sin x ) cos xdx
∫
0

A. I = π −

3
2

B. I = π

C. I = π −
Lời giải

Trang 14

1
2

D. I = π +

3
2




I 2 = ∫ 2x cos xdx
0

 u = 2x
du = 2dx
⇒
Đặt 
dv = cos xdx  v = sin x
π
2

π
2
0

π

I 2 = 2x sin x − 2 ∫ sin xdx = π + 2 cos 02 = π − 2 ⇒ I = π −
0

3
2

Chọn đáp án A
π
2

Ví dụ 24: Tính tích phân I = ( x + sin 2 x ) cos xdx
∫

dv = cos xdx ⇒ v = sin x
π
2
0

π
2

⇒ I1 = x sin x − ∫ sin xdx =
0

π
2

sin 3 x
I 2 = ∫ sin 2 xd ( sin x ) =
3
0
I=

π
π
π
+ cos x 02 = − 1
2
2
π
2
0



9
2

C. I = e +

B. I = e − 3

9
2

D. I = e −

Lời giải
 u = x + 1
du = dx
⇒


x
x
dv = ( e − 3) dx  v = ( e − 3x )
1

⇒ I = ( x + 1) ( e − 3x ) − ∫ ( e x − 3x ) dx
1

x

0


B. I =

7
6

C. I =

5
6

D. I =

Lời giải
1

1

1

0

0

0

2
Ta có: I = ∫ 2x  x + ln ( 1 + x )  dx = ∫ 2x dx + ∫ 2x ln ( 1 + x ) dx = I1 + I 2
1



0

1

1

1
1

= ln 2 −  x 2 − x + ln ( 1 + x )  =
2
0 2
Vậy: I =

2 1 7
+ =
3 2 6

Chọn đáp án B
Trang 16

1

x2
x2
1 

dx = ln 2 − ∫
dx = ln 2 − ∫  x − 1 +

1
4

C. I = ln10 −

5
4

D. I = ln10 +

Lời giải
2

2

2

2x
 2

I = ∫ x 2
+ ln x ÷dx = ∫ 2 dx + ∫ x.ln xdx
x +1
 x +1

1
1
1
2
d ( x 2 + 1)


x
⇒
Đặt 
2
dv = xdx  v = x

2
2

2

x2
x
3
I 2 = .ln x − ∫ dx = 2 ln 2 −
2
2
4
1
1
Vậy I = ln 5 + ln 2 −

3
3
= ln10 −
4
4

Chọn đáp án A


e

I = ∫ x ( 2x + ln x ) dx = 2 ∫ x dx + ∫ x ln xdx
2

3

1

1

1

e

e

1
1
2 ∫ x dx = x 4 = ( e 4 − 1)
2 1 2
1
3

BỘ ĐỀ THI THỬ, TÀI LIỆU THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 MỚI NHẤT
Trang 17

1


ln 2

=

2

0

Vậy I = I1 + I 2 =

ln 3 2
3

3 ln 3 2
+
2
3

Chọn đáp án C
 x 2 − 1.x 3 + ln x 
÷dx
2
∫1 
÷
x


5


1 11
ln 5 −
+
5
5 3

Lời giải

Trang 18


 x 2 − 1.x 3 + ln x 
I= ∫
÷dx =

÷
x2
1 

5

5

∫

x 2 − 1.xdx =

1

1

x −1
2

)

5

3

=

3

8
3

1
5

5

5

5

1
1
1
1
1

D. I =

π
4

Lời giải
π

π

π

π

0

0

0

0

I = ∫ x 2 dx + ∫ x sin xdx = ∫ x 2dx − ∫ xd ( cos x )
π

π

π

π

Đặt 
dv = ( 4x + 3) dx  v = 2x 2 + 3x

2

2
Khi đó: I = ( 2x + 3x ) ln x 1 − ∫
2

1

2
2x 2 + 3x
dx = 14 ln 2 − 0 − ( x 2 + 3x )
1
x

= 14 ln 2 − 0 − ( 22 + 3.2 ) − ( 12 + 3.1)  = 14 ln 2 − ( 10 − 4 ) = 14 ln 2 − 6
Chọn đáp án C

Trang 19

D. I = 16 ln 2 − 6


π

 2

+ sinx ÷dx


0
0
0
π
d ( x 2 + 1)
π
2x
2
dx = ∫
=
ln
x
+
1
= ln ( π2 + 1)
Tính I1 = ∫ 2
(
)
2
0
x
+
1
x
+
1
0
0
π


A. I =

π+ 2
3

B. I =

π−2
3

C. I =

π + π2
4

Lời giải
π
2

π
2

0

0

Ta có: I = 2xdx + x sin 2 xdx = x
∫
∫

2

π

π

π

2
2
1
12
π 1
π
⇒ J = − x cos 2x + ∫ cos 2x.dx = + sin 2x =
2
20
4 4
4
0
0

Vậy I =

π2 + π
4

Chọn đáp án D
Trang 20



x 1
0

du = −dx

x
v = e
1

+ ∫ e x dx = ( 1 − x ) e x + e x
0

1

1

0

0

I = e−2

Chọn đáp án D
1

 2

+ e x ÷dx
Ví dụ 39: Tính tích phân I = ∫ x 


+ Tính đúng đáp số I = 1 + ln 2
Chọn đáp án B
2

2
Ví dụ 40: Tính tích phân I = ∫ x ( x + ln x ) dx
1

A. I = 2 ln 2 − 3

B. I = ln 2 + 3

C. I = 2 ln 2 + 3

D. I = 2 ln 2 − 1

Lời giải
2

2

2

2

x4
15
I = ∫ x ( x + ln x ) dx = ∫ x dx + ∫ x ln xdx =
+ I1 = + I1

= 2 ln 2 −
Đặt 
2
2 1 12
4 1
4
dv = xdx  v = x

2
Vậy I =

15
3
+ 2 ln 2 − = 2 ln 2 + 3
4
4

Chọn đáp án C

Trang 22


PHẦN III: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI
TRÒN XOAY
•

Diện tích hình phẳng

 y = f1 ( x )



Oy
* Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = a
 y = b
(Trong đó f(y) liên tục trên đoạn [ a; b ] ) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay. Thể tích
b

Vy của khối tròn xoay được tính theo công thức: Vy = π ∫ f ( y )  dy
2

a

Ví dụ 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: y = x 2 + x − 1 và
y = x4 + x −1
A. S =

2
15

B. S = 3

C. S =
Lời giải

Trang 23

4
15


0

1

2

4

2

4

Chọn đáp án C
Chú ý: Các chú ý dưới đây nhằm mục đích phá dấu giá trị tuyệt đối khi tính tích phân chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
b

- Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối

∫ f ( x ) dx

nếu f ( x ) = 0 có một nghiệm

a

c ∈ [ a; b ] thì ta có:

b

∫

word tham khảo hay khác….

Trang 24


HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn: “Tôi muốn đặt mua bộ đề thi, tài liệu TOÁN 2017”
rồi gửi đến số 096.79.79.369 (Mr Hiệp)
Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ liên hệ với bạn để hướng dẫn các
xem thử và cách đăng ký trọn bộ.
Uy tín và chất lượng hàng đầu chắc chắn bạn sẽ hài lòng.
Chọn đáp án C
Ví dụ 43: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = sin x , trục hoành, hai đường thẳng x = 0; x =
A.

π ( π − 2)
4

B.

π ( π − 2)
8

C.

π
quay quanh trục hoành?
4


20
2
2
8
0
0
Chọn đáp án B
Ví dụ 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
sau: y =

( x + 1) sin 2x , y = 0, x = 0, x =

π
khi (H) quay xung quanh trục Ox.
2

π

A. V =  + 2 ÷π
2


1π

B. V =  − 2 ÷π
2 2


1π
