Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ
chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng
k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một
đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng
hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng
xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ ω =
π===
5105
1,0
25

thì v<0.
∆l
l
0
0(VTCB)
)
x
- ∆l
•
•
•
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +
6
5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
5πt +
6
5
π

v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =
3
10.25
2
2
1
2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)

Vậy phương trình điều hoà là x =
)
4
3
t25sin(2
π
+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò
xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng
ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB
của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1

11
kk
F
k
F
k
F
L
1
L
2
M
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Mặt khác F = - kx ⇒
kkk
111
21
=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
→ mx
''
= - k.x hay x
''
= - ωx
2
với ω
2
=
)(

(Rad/s)
Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ =
2
π
0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm)
Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10πt +
2
π
) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới
VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phương thẳng đứng lên
trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s
2
;
π
2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F

o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l
0
Hợp lực:
→
P
+
→→
= FF2
dh
mg - 2k(∆l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
⇒ x
''
=
x
m
k2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2

F
k
0
F
P
+
m
O
•
→ ϕ 143,13
0
→
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
∆l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=


T
.
Lời giải
a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ như hình vẽ.
+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn ∆l
1
lò xo L
2
dãn ∆l
2
Khi đó vật để L
1
dãn ∆l = 2cm ;
L
2
khi nén k dãn thì ∆l chính là độ biến
dạng tổng cộng của vật ở VTCB.
∆l = ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+→=+++
→→→→→→→

- x)
Tổng hợp lực
→→→→→
=+++ amFFNP
21
Hay - k
1
(∆l
1
+ x) + k
2
(∆l
2
- x) = mx''
⇔ - (k
1
+ k
2
) x = mx''
⇒ x'' =
2
21
.
ω
−=
+
− x
m
kk
với ω2 =

ω
)
Giải (1), (2) ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 ∆l
1
= 8cm
60∆l
1
+ 400∆l
2
= 0 ∆l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin ϕ = A
v
0
= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +
2
π
) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22

P
→
0
F
0 (VΠB)
+
x
→
0
T
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Vì vậy, tại t =
2
π
vật ở biên độ x = - A
Tại vị trí này lò xo l
1
bị nén 1 đoạn A - ∆l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lượt là
→→
21


→→→
=+ 0
00
PT
Chiều lên ox -T
0
+ K∆l = 0
-T
0
+ mg = 0
⇒ T
0
= k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T
0
= 1N
∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
a
b
→
P
→
0
F
+
x
→
0
T

.
2
ω
−=−
Với ω =
m
k
→ x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l →
2
1
k∆l - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l +
2
x
mg - T = F
2T - k(∆l +
2
x
) = 0
→ F = mg -
2
1
k∆l -
x
k
4
→ F =
x
k

bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn
nhất của m, để m
1
không với khối lượng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s
2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
= ω
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g ⇒ A<
2

theo phương ngang với vận tốc
o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra
tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn
o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
m
1
m
M
k
o
v
m
0
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu
của chuyển động tròn đều của 1 chất
điểm như hình vẽ. Khoảng thời gian vật

π
π
(s)
V
TB
=
)(30 scm
t
S
=
2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn
nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc
ω
'
=

+
m
vmM
= 200
2
(cm/s)

M
1
+ ω
2
4
M
2
α
•
•
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm
2
được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1
đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.

→ ∆l
0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34−
−
= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l
0
+ x
Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
→ x
max
= 4(cm) <
2
h
→ luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
A0
F
dh0
F
0
+x
P
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)

+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22
2
34
+
=
+
=
−
ππ
ω
π
KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200
N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
→ Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'

.
2
1
22
==
)
2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau
2
1
chu kì vật
đến VT biên độ lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn
đường A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2

01,0
80
10.2,0.1,0.4
=
(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện được : n =
10=
A
A
∆
(chu kỳ)
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tương ứng
là T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s

π
→ l
1
= g.
4
T
2
2
1
π
(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2
π
→ l
1
= g.
4
T
2
2
2
π

(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T
'
= 2Π.
g
ll
21
−
→ l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π

= 6
0
; g = 10(m/s
2
);
π
2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tương ứng với li độ α
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng,
cơ năng của con lắc tại VT li giác bất kì
bằng thế năng của con lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
→ v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)

Tương tự cos α
0
=
2
1
2
0
α
−
| v | =
)(gl
22
0
α−α
+ Vận tốc cực đại khi α

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0
α
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=

0
-
2
3
α
2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (α
2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=





99,0
150
6
2
1
1
2
=














π
−
(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng
m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban
đầu v
0

)cos1(gl2v
2
0
α−−
Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin
2
2
α
=
2
2
α
| v | =
22
0
gl2v α−
I
α
h
l
T
l
0
v
P
l
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
+ Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v
max
| = v

2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v
2
0
−α+








+ Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin
2
2
α

= 1 -
2
2
α
T = mg
)
2
3

2
0
→T
min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
−=−+
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +

1
g
l
.π
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g
l
.π0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
≈==
→T
2
= 1,0003T

2
⇒
2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g
l
=⇒
Thay số:
→ l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là
∆l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11

nhỏ của con lắc trong các trường hợp.
a) Véctơ
E
hướng thẳng xuống dưới
b) Véctơ
E
có phương nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. ≈π
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP =
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trường
+ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực hiệu dụng g

thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
⇒ mg
'
= mg + qE
⇒ g
'
= g +
m
qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'
+
π=π
Thay số
β

mg
qE
P
F
d
=
→ tg
δ
=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34
≈
−
→
δ
~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l
π
Từ hình vẽ:
P
'

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 9
0
a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe.
+
δ
T
d
F
'
P
P
Giáo viên: phan thanh bình ( gio linh - quảng trị)
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc
theo T
0
.
Lời giải
a) Giải thích hiện tượng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn
phải chịu 3 lực tác dụng.

at
==
α<< → tgα
≈
α do đó
a
≈
gα = 10.
9.
180
π
~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP =+=
(Coi con lắc dao động trong trường gia tốc ghd = g
'
)
+
δ
F
'
P

Lại có T
0
= 2
g
l
.π
⇒
α=
α
== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
αcos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối
lượng m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc α
0
= 6
0
rồi thả
nhẹ cho dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn
coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là α = 3

0
=
2
0
mgl
2
1
α