ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,
LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,
LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng


3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................3
6. Cấu trúc luận văn ..........................................................................................................3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................................4

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán .......................................................................................4
1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................... 4
1.1.2. Kỹ năng giải toán.................................................................................................... 5
1.2. Thực trạng của việc dạy và học phương trình mũ, logarit ở trường THPT .........7
1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT .......................... 7
1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở trường
THPT.................................................................................................................................. 8
1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một số
trường THPT ................................................................................................................... 12
1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phương trình
mũ, logarit ở trường THPT ........................................................................................... 15
1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học ........................ 15
1.3.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức một cách máy móc hoặc áp dụng
không chính xác .............................................................................................................. 18
1.3.3. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận ........................................................... 20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii

http://www.lrc.tnu.edu.vn


1.3.4. Sai lầm khi chuyển đổi bài toán .......................................................................... 21
1.3.5. Sai lầm do cảm nhận trực quan ........................................................................... 22

iii

http://www.lrc.tnu.edu.vn


KẾT LUẬN..................................................................................................................... 70
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN................................. 71
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 72

PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

http://www.lrc.tnu.edu.vn


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

STT

Viết đầy đủ

1

GV

Giáo viên



DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học ................ 6161
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm ........................................................ 6565
Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả ................................................................... 6565
Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học ....... 12
Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm ......... 13
Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải PT mũ và logarit ........ 14
Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả............................................................... 15
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm .................................................... 65
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả .............................................................. 66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

http://www.lrc.tnu.edu.vn


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của khoa học và
công nghệ đang đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động. Để thực hiện
sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong bối cảnh hội nhập quốc tế, người
lao động phải năng động, sáng tạo, có trình độ, có kiến thức chuyên môn và kỹ
năng thành thạo. Chuẩn mực của người giỏi ngày nay được “đo” bằng năng lực
chuyên môn, năng lực giải quyết các vấn đề. Đây là những phẩm chất không
phải có sẵn ở mỗi con người mà nó được hình thành và phát triển trong quá

lầm cho HS là cần thiết và có thể thực hiện được.
Hiện nay, nội dung phương trình mũ và logarit được đưa vào chương
trình lớp 12 THPT. Từ khi ra đời, hàm số mũ và logarit đóng vai trò là một
công cụ đơn giản hóa các phép tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính
đơn giản hơn. Theo tiến trình phát triển của lịch sử, lý thuyết về mũ và logarit
ngày càng hoàn thiện và ứng dụng của nó ngày càng được làm rõ nét. Ví dụ
logarit được biết đến trong ứng dụng giải phương trình, bất phương trình mũ,
đếm số các chữ số của một số nguyên dương, đo độ PH của dung dịch, độ lớn
của âm thanh... hoặc hàm số mũ dùng để mô tả một số hiện tượng trong vật lý
như biểu diễn định luật phân rã phóng xạ… Nội dung phương trình mũ và
logarit trong chương trình toán phổ thông hiện hành với hệ thống bài tập khá
phong phú và mức độ khó dễ khác nhau, đây là một lĩnh vực có thể khai thác để
phân tích làm rõ những sai lầm mà HS có thể mắc phải nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán, phát triển tư duy cho HS trong quá trình dạy học. Mặc dù đã có nhiều
công trình nghiên cứu liên quan, nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục
nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn
luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc
phát hiện và sửa chữa sai lầm”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xác định vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS
và phân tích một số sai lầm thường mắc phải của HS khi giải phương trình mũ
và logarit. Từ đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm để hạn chế và khắc phục
những sai lầm này nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

3

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19].
Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định” [18].
Theo nhà tâm lí học Liên Xô K.K.Platơnôp: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là
sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương
thức hành động”.
“Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở
bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ
thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [25].
Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác
nhau về kỹ năng. Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều thừa nhận
rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Để sở
hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến năng lực của chủ thể
thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt
được mục đích đã định. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng.

cách khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá
trình hoạt động.
b) Một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS
Để tìm hiểu về một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS, cần lưu ý
một số đặc điểm của kỹ năng như sau:
- Kỹ năng là mặt kỹ thuật của một hay một nhóm hành động nhất định.
Khi nói đến kỹ năng là nói đến hành động đúng đắn, thành thạo nhất định,
không có kỹ năng chung chung, tách rời hành động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5

http://www.lrc.tnu.edu.vn


- Thành phần của kỹ năng bao gồm: tri thức, kinh nghiệm, quá trình thực
hiện hành động, sự kiểm soát và hiệu chỉnh trực tiếp của ý thức, kết quả của
hành động.
- Tiêu chuẩn xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kỹ năng là
tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và kết hợp nhịp nhàng, ăn khớp với
các hành động. Hành động còn vụng về sẽ chưa thể trở thành kỹ năng.
Kỹ năng giải toán của HS biểu hiện qua hoạt động giải bài tập toán và
được biểu hiện:
- Có tri thức về hành động đó.
- Kỹ năng phân tích, tổng hợp: HS cần có kỹ năng phân tích bài toán,
thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, liên
hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả và
nhanh nhất.
- Kỹ năng thực hành: Sau khi đã phát hiện cách giải, HS cần phải tính
toán cẩn thận, chính xác. Sau đó sắp xếp các bước giải và trình bày một cách

học toán của HS. Vì vậy, hoạt động rèn luyện kỹ năng giải toán là hoạt động
không thể thiếu của HS.
Thực tế có không ít HS gặp khó khăn khi lĩnh hội một số khái niệm, định
lí. HS có thể học thuộc nhưng không giải thích được đầy đủ, chính xác ý nghĩa
và bản chất của nó. Việc nắm kiến thức và kỹ năng thiếu vững chắc là nguyên
nhân dẫn đến vận dụng một cách máy móc, không biết hướng vận dụng hoặc
mắc phải sai lầm trong quá trình vận dụng. Hơn nữa, các bài toán đưa ra
thường được trừu tượng hóa hoặc bị che lấp bởi một số yếu tố nhằm đánh lạc
hướng tư duy của HS. Do vậy, HS cần có cách nhìn linh hoạt, sáng tạo trước
một bài toán cụ thể.
Sở hữu kỹ năng thành thạo sẽ giúp HS làm việc độc lập, sáng tạo không
chỉ trong nội bộ môn toán, mà còn có ứng dụng trong các ngành khoa học khác
và trong thực tiễn đời sống.
1.2. Thực trạng của việc dạy và học phƣơng trình mũ, logarit ở trƣờng THPT
1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT
Trong chương trình THPT, theo phân phối chương trình chuẩn lớp 12,
nội dung phương trình mũ và logarit được thực hiện cụ thể như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Phân phối
chương trình
Tiết 31, 32

Tiết 33, 34


mũ, logarit

- Luyện tập giải các phương trình mẫu
mực lẫn phương trình không mẫu mực.
- Có thể mở rộng, đưa vào thêm một số
phương pháp giải mà trong sách chưa đề
cập tới, chẳng hạn dùng bất đẳng thức.

1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở
trường THPT
a) Về kiến thức
- HS nắm vững khái niệm phương trình mũ và logarit cơ bản, nắm vững
những đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. Chẳng hạn phương trình mũ cơ
bản a x

m nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Nắm được những khái niệm có liên quan: nghiệm phương trình, tập
nghiệm, phép biến đổi tương đương, hệ quả… Thông qua đó, củng cố và đào
sâu một số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể: khái niệm tập hợp, phần
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

8

http://www.lrc.tnu.edu.vn


tử, quan hệ bao hàm, các phép toán tập hợp, các phép toán logic “kéo theo” và
“tương đương”.

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải phương trình
thể hiện ở các mặt sau:
+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: Việc tính nhẩm và tính nhanh
rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (có thể trực tiếp nhẩm ra đáp số
mà không cần viết ra giấy) hoặc những bài toán chứa căn thức biến đổi đưa về
hằng đẳng thức (tính nhanh)…
+ Nhớ những số hay dùng, có thể nhớ máy móc hay nhớ theo quy luật
chẳng hạn: Bình phương các số từ 1 đến 20; các số lập phương từ 1 đến 10; các
giá trị log2, log3, log5, log2 4 , log2 8 … để thuận lợi khi giải phương trình mũ
và logarit.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho HS, cần chú ý rèn luyện
cho HS các đức tính như cẩn thận, kiên trì, nhanh trí, tiến tới thói quen tính
toán chính xác. Đồng thời có thể đề ra nhiều cách giải khác nhau để HS có cơ
hội tính toán linh hoạt đa dạng, tìm ra những cách giải ngắn và độc đáo.
- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu mực, nhận dạng và giải thành
thạo các phương trình cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản, giải phương trình theo
thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. Kỹ năng phân tích,
tổng hợp để tìm ra mối liên hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, linh hoạt
vận dụng tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng và nhanh nhất.
Ví dụ 1.2: Để chứng minh phương trình 3x

4 x có nghiệm duy nhất,

ta làm như sau:
Đặt f (x) 3x và g(x) 4 x . Ta thấy f(x) là hàm số luôn đồng biến trên

 và g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên  nên phương trình f (x) g(x) có

0
1
2

x
x
x

1
2x 1

Phương trình đã cho tương đương với: log 2 x 2

x 1
2x 1

Ta có nhận xét: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của 2
đồ thị hàm số: y log2 (x 2) và y

x 1
2x 1

Vẽ đồ thị 2 hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ (Hình 1.1).

Hình 1.1

Dựa vào hình vẽ, ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11


12

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm
Chúng tôi cũng đã tiến hành phỏng vấn một số GV. Chúng tôi xin trích
dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Nguyễn Thị Hương, GV Toán trường THPT Cao
Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn như sau:
- Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung phương trình mũ và logarit,
HS có hay mắc phải sai lầm không và đó là những sai lầm gì?
- Cô Hương: Qua thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này HS
thường mắc sai lầm (ngay cả với những HS khá giỏi). Một số sai lầm thường
mắc phải như: không chú ý đến điều kiện khi biến đổi, áp dụng công thức một
cách máy móc, áp dụng sai, sáng tác ra các công thức mới…
- Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?
- Cô Hương: Theo tôi, đó là do HS không hiểu bản chất, không nắm chắc
phần kiến thức đó. Khi cần áp dụng, không thể nhớ chính xác mà lại không có
phương pháp để kiểm tra lại. Có lẽ thế mà trong bài kiểm tra tôi thường gặp
một số công thức mới do các em tự “sáng tác” ra.
- Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách
HS có tác dụng giúp HS phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không, và cô có
thường xuyên sử dụng biện pháp này trong quá trình giảng dạy hay không?
- Cô Hương: Tôi có sử dụng biện pháp này trong bài giảng và đúng là có
tác dụng tích cực. Nhưng chủ yếu chỉ thực hiện được với những đối tượng HS
khá giỏi vì mất khá nhiều thời gian, còn những HS trung bình và kém hơn tôi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Từ thực tiễn tìm hiểu tại một số trường THPT cho thấy chất lượng dạy và học
nội dung phương trình mũ và logarit chưa cao. Vẫn còn bộ phận HS chưa thực sự chủ
động lĩnh hội kiến thức, vẫn còn trông chờ, phụ thuộc quá nhiều về phía GV, chủ yếu
học qua bài giảng của GV và tham khảo nội dung bài trong sách giáo khoa (SGK).
Đây là nội dung HS rất dễ mắc sai lầm, mà GV thì e ngại hoặc khó khăn
trong việc tìm ra những biện pháp để khắc phục. Thực tế đó cho thấy cần thiết
phải nghiên cứu, tìm ra những biện pháp thích hợp nhất để khắc phục dần
những khó khăn, nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này.
Khi hỏi HS về tác dụng của việc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm
thường xuyên mắc phải, chúng tôi thu được kết quả như sau:

Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả
1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phƣơng
trình mũ, logarit ở trƣờng THPT
1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện thông qua các giai
đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
mũ vô tỉ. Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa dựa trên lũy thừa với
số mũ nguyên dương. Định nghĩa này hoàn toàn tự nhiên, phù hợp với các công
thức đã biết, đặc biệt là công thức

am
an

n

n

a m ”. Theo định nghĩa này thì lũy thừa

với số mũ hữu tỉ luôn biểu diễn được qua căn bậc n. Tuy nhiên không phải lúc
nào căn bậc n của một số cũng có thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, nó
chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là một số dương. Do đó, nếu không
chú ý đến điều kiện của cơ số thì HS sẽ dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển
đổi một biểu thức từ căn bậc n sang lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ.
1

Ví dụ 1.4: Không được viết

5

9

( 9) 5 .

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với
số mũ vô tỉ và giới hạn của một dãy lũy thừa. HS phải thừa nhận hai điều, đó
là: tồn tại giới hạn của dãy (a rn ) và giới hạn không phụ thuộc vào dãy (rn ) . Sau
đó, SGK chỉ đưa ra ví dụ để minh họa chứ không có bài tập nào đề cập đến bản
chất của định nghĩa. Điều này làm cho HS gặp khó khăn khi tiếp nhận định
nghĩa, HS chỉ biết làm việc tính toán trên lũy thừa với số mũ vô tỉ nhưng không
hiểu được bản chất của nó.
Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực
không được liệt kê mà được nêu là “có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số

(x 5) x
x2

x 1)

Kết luận phương trình có 2 nghiệm là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

2

3x 2

(x 5) 2(x

5x 4 0

x
x

2

x 1)

1
4

4; 1 .
http://www.lrc.tnu.edu.vn


x 1)

2

x 1)

x 6

x 6

0 x 5 1
x 2 3x 2 2(x 2
x

2

5 x

6

x

1

x

4

6 . Vậy phương trình có một nghiệm x 6


x 1 0
Điều kiện: 4 x 0
4 x 0
Ta có: (1)

x 1
4 x 4

log2 (x 1) log2 4 log2(4 x) log2(4 x)

log2 4(x 1) log2 (16 x2 )
4(x 1) 16 x 2

x2

4x 12 0

x 2
x

6

So sánh với điều kiện, phương trình có một nghiệm là x 2 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

17

http://www.lrc.tnu.edu.vn