Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Hương

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở
HỌC SINH KHI DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG
CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016
1

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
Nguyễn Thị Hương

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở HỌC
SINH KHI DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP

Sinh viên
Nguyễn Thị Hương

3

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa
toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán giải bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình.” là của riêng em, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận có tính khách quan, trung thực và kết quả
của em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của
cô – TS. Phạm Thị Diệu Thùy. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hương

4

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

MỤC LỤC

HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH……………………………..31
1. Bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình…………………31
2 . Các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học bài toán giải bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình………………………………………….36
Kết luận chương 2
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………………...77
1. Mục đích thực nghiệm sư phạm………………………………………………77
2. Nội dung thực nghiệm sư phạm………………………………………………77
3. Kết quả thực nghiệm sư phạm………………………………………………..80

6

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.

Kết luận chương 3
Phần 3: KẾT LUẬN…………………………………………………………90
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...92
PHỤ LỤC

Bảng quy ước viết tắt
STT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ


6

MHHTH

7

Footer Page 7 of 161.

Mô hình hóa toán học


Header Page 8 of 161.

Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, Việt Nam đang hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại,
ngang tầm với các nước trong khu vực và thế giới và trong đó “ học để làm” là
một trong bốn trụ cột của giáo dục. Chương I, điều 3, khoản 2 của Luật Giáo
dục năm 2005 14nêu rõ: “hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền
với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã
hội”. Và trong điều 28, mục 2, chương II, Luật Giáo dục năm 2005 14quy
định “ Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông, cơ bản, toàn
diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với
tâm sinh lý lứa tuổi HS, đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi cấp học”, “ Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh; phù hợp với từng đặc điểm của lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tế; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
học tập cho HS.” Những quy định trên đã khẳng định giáo dục Việt Nam đang

lầm là thoát ly khỏi thực tiễn, quên điều kiện của ẩn số, không khai thác hết
mối liên hệ ràng buộc của các yếu tố bài toán…dẫn đến lời giải sai sót thiếu
chính xác, chặt chẽ. Vì vậy nhiều HS gặp khó khăn khi giải dạng toán này.

9

Footer Page 9 of 161.


Header Page 10 of 161.

Để giải các bài toán trong chủ đề “ giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình” đã nêu trên, HS cần toán học hóa các yếu tố thực tế trong
bài thông qua mối quan hệ giữa các đại lượng. Công việc đó chính là xây dựng
mô hình hóa toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Trong các giai
đoạn của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thì bước lập mô hình toán
học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp toán học chỉ có
thể thực hiện trên các mô hình toán học. Rõ ràng, nếu không thiết lập được mô
hình toán học của bài tập toán học có nội dung thực tiễn thì không thể giải
được. Do đó chúng ta có thể phát triển năng lực mô hình hóa ở HS thông qua
chủ đề này.
Quá trình dạy học trong các giai đoạn trước đây không phải không phát
triển năng lực tư duy người học, nhưng phát triển năng lực chỉ là hệ quả của
quá trình cung cấp tri thức, kỹ năng, kỹ sảo cho người học. Với định hướng
dạy học phát triển năng lực như hiện nay, chúng ta cần phái xác định phát triển
NL người học là nhiệm vụ hàng đầu. Nghiên cứu về phát triển năng lực người
học cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tâm lý, giáo dục, nhà
nghiên cứu. Tuy nhiên, các nghiên cứu đó thiên về chương trình học trung học
phổ thông cho HS ở lớp 10, 11 và 12. Ví dụ như tác giả Trần Thị Cẩm Nhung


- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán
học ở HS;
11

Footer Page 11 of 161.


Header Page 12 of 161.

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để khẳng định tính hiệu qủa của các biện
pháp sư phạm đã đề xuất.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng: Năng lực người học, khả năng phát triển mô hình hóa, các bài
toán được giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
 Phạm vi : Đối tượng HS lớp 9 ở trường THCS thị trấn Sóc Sơn, huyện Sóc
Sơn, thành phố Hà Nội.
4.Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp hệ thống các nguồn tài
liệu các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo có liên quan tới đề tài;
+ Nghiên cứu các vấn đề định hướng đổi mới phương pháp dạy và học ở
THCS;
+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa về mục tiêu, nội dung dạy học
chủ đề “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” trong
môn toán THCS.
 Phương pháp điều tra, quan sát:
+ Điều tra thực trạng khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình của học sinh thông qua phiếu điều tra và các bài kiểm tra;
12


mô hình hóa ở HS. Trong đó chúng tôi sẽ làm rõ mục tiêu giáo dục, các vấn đề
cơ bản về năng lực (khái niệm, phân loại…)và mô hình hóa toán học (khái
niệm, quy trình, các biện pháp phát triển…) để từ đó thấy được sự cần thiết
phải phát triển năng lực người học trong quá trình dạy học, đặc biệt là năng lực
mô hình hóa Toán học ở học sinh THCS, đồng thời thấy được các hướng phát
triển năng lực phù hợp ở học sinh.
1. Mục tiêu giáo dục và mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ
thông hiện nay
Luật giáo dục nước ta năm 2005 14 quy định “Mục tiêu giáo dục là đào tạo
con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm
mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã
hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân,
đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc”.
Nghị quyết số 29 Hội nghị Trung ương 8 khóa XI 15 về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo đã đưa ra quan điểm chỉ đạo “Phát triển giáo dục
và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện
NL và phẩm chất người học”. Phát triển phẩm chất và NL người học trong giáo
14

Footer Page 14 of 161.


Header Page 15 of 161.

dục phổ thông là định hướng hàng đầu mà nhiều nước tiên tiến đã và đang thực
hiện từ đầu thế kỉ XXI đến nay (Úc, Canada, New Zealand, Pháp...).
Trong những năm gần đây, giáo dục phổ thông Việt Nam đã đạt được
những thành tựu và có những đóng góp lớn trong việc đào tạo nguồn nhân lực
phục vụ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Tuy vậy, chúng ta vẫn chưa

cường sử dụng phương tiện dạy học và công nghệ thông tin hợp lý. Bên cạnh
đó, việc kiểm tra, đánh giá cũng phải chú trọng NL của người học, nhất là tư
duy sáng tạo, vận dụng giải quyết những vấn đề trong cuộc sống. Đặc biệt, sau
năm 2015, nhà trường phổ thông cần thay đổi theo hướng quan tâm phát triển
NL cá nhân, lấy HS làm trung tâm và việc đánh giá chỉ nhằm định hướng cho
người học phương pháp và con đường tiếp tục học tập.
Theo Thạc sĩ Lương Ngọc Bình (Học viện Quản lý giáo dục), dạy học theo
phương pháp tiếp cận NL là phương pháp dạy học nhắm trúng vào NL của
người học để thiết kế chương trình. “Muốn dạy học theo phương pháp tiếp cận
NL đạt hiệu quả mong muốn thì khâu xác định sở thích và năng lực người học
là quan trọng hàng đầu, nhưng chỉ dựa vào sở thích của người học thì đúng,
nhưng chưa đủ. Để quyết định thành công, yếu tố có tính quyết định ở đây là
NL người học. Từ trước đến nay, chúng ta chủ yếu dạy học theo phương pháp
tiếp cận nội dung. Chương trình và nội dung giáo dục được xác định là chuẩn
mực, không được phép xê dịch. Khi học họ không biết học để làm gì, khi làm
không hiểu tại sao phải làm,... Thạc sĩ Bình khẳng định, chính do sự nghiêm
túc thái quá vô hình trung là nguyên nhân sâu xa của sự thụ động không dám
16

Footer Page 16 of 161.


Header Page 17 of 161.

sáng tạo, không dám vượt qua những yếu tố chuẩn mực truyền thống, mặc dù
những yếu tố đó đã lạc hậu, bất cập.
Phần lớn các đại biểu đều chung nhận định, việc dạy học theo hướng tiếp
cận NL người học được xem là chìa khóa để đổi mới giáo dục. Và để thực
hiện, đổi mới nội dung này thì giải pháp dạy học theo hướng tiếp cận NL cần
phải xác định chính xác ngưỡng nhận thức NL phù hợp của người học. Ngoài

2.1. Khái niệm năng lực
Có rất nhiều chuyên gia trong các lĩnh vực xã hội học, GD học, triết học,
tâm lý học và kinh tế học đã cố gắng định nghĩa khái niệm NL. Tại Hội
nghị chuyên đề về những năng lực cơ bản của Hội đồng châu Âu, sau khi phân
tích nhiều định nghĩa về NL, F.E. Weinert 6, tr45 kết luận: Xuyên suốt các
môn học "NL được thể hiện như một hệ thống khả năng, sự thành thạo hoặc
những kĩ năng thiết yếu, có thể giúp con người đủ điều kiện vươn tới một mục
đích cụ thể". Cũng tại diễn đàn này, J. Coolahan 6, tr26 cho rằng: NL được
xem như là “những khả năng cơ bản dựa trên cơ sở tri thức, kinh nghiệm, các
giá trị và thiên hướng của một con người được phát triển thông qua thực hành
GD.”
Theo Từ điển Hán Việt của tác giả Nguyễn Lân 13 , “NL là khả năng đảm
nhận công việc và thực hiện tốt công việc đó nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chuyên môn”. Đinh Quang Báo 9 đã đưa ra khái niệm về NL như
18

Footer Page 18 of 161.


Header Page 19 of 161.

sau: “NL là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc tính tâm lí của
cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho
hoạt động đó có kết quả tốt đẹp”.
Có thể thấy dù cách phát biểu có khác nhau, nhưng các cách hiểu trên đều
khẳng định: Nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết
làm, chứ không chỉ biết và hiểu.
Tất nhiên hành động (làm), thực hiện ở đây phải gắn với ý thức và thái độ.
Phải có kiến thức và kĩ năng, chứ không phải làm một cách "máy móc", "mù
quáng".

đòi hỏi vận dụng ở tất cả các môn học/hoạt động.
Còn đọc diễn cảm là năng lực riêng, năng lực do môn tiếng Việt và văn học
đảm nhận. Trong cuộc sống rất cần năng lực sáng tạo. Không sáng tạo thì
không thể phát triển, thậm chí khó tồn tại. Nhưng không đọc diễn cảm được thì
cũng không có gì ảnh hưởng lớn.
2.2 Các năng lực đặc thù trong quá trình dạy học môn Toán
Theo OECD/PISA 1 (dựa trên công trình của Niss (1999) và các đồng
nghiệp Đan mạch của ông) có tám năng lực Toán học đặc trưng sau đây:
 Năng lực tư duy và suy luận toán học
Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng toán (“Có hay
không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm..?”);
biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy;
20

Footer Page 20 of 161.


Header Page 21 of 161.

phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả
thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như các
hạn chế của các khái niệm toán đã cho.
 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định những loại khác
nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở”
và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách.
Qua quá trình học tập trên lớp, HS sẽ phân tích được tình huống, phát hiện
và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. Các em sẽ
thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề. Đề xuất và phân tích
được một số giải pháp giải quyết vấn đề, lựa chọn được giải pháp phù hợp.

 Năng lực trình bày toán học
Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải thích và phân
biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối
cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau;
chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh
và mục đích.
22

Footer Page 22 of 161.


Header Page 23 of 161.

 Năng lực sử dụng các công thức, kí hiệu, các yếu tố kĩ thuật
Điều này liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và
hình thức, và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể
ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề
và biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương
trình và thực hiện các phép tính.
 Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học
Điều này liên quan đến việc biết về và có khả năng sử dụng nhiều loại
phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm cả công cụ công nghệ thông tin) có thể
trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó.
3. Các vấn đề cơ bản của mô hình hóa toán học
3.1. Khái niệm mô hình hóa toán học
Mô hình toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả
gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hình toán học bao gồm
các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó 2.
Mô hình hoá toán học (MHHTH): Để vận dụng kiến thức toán học vào việc
giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống


24

Footer Page 24 of 161.


Header Page 25 of 161.

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình
thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng
phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Ở đây
người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với
vấn đề thực tế. Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho
người thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh.
Đây cũng là bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mô hình được xem xét,
thảo luận.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó chỉ
cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán
đã sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế. Lúc này phải tìm
nguyên nhân
Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, người
ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Ở
đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô
hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.

25