ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________

Nguyễn Tuấn Anh

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:
60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶

▼ô❝ ❧ô❝

▼ë ➤➬✉

✸


✶✽

✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô

✶✳✷✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✷✳✶✳

✷✳✷✳

✼

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✷✸

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✸
✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ❦❤➠♥❣
➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤ñ②✱ ❈❤ñ
♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
♥❣➢ê✐ ➤➲ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❝❤Ø ❞➵② t❐♥ t×♥❤ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣
t✐♥ ✲ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠ ➤➲ tr✉②Ò♥ t❤ô ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤♦
t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈õ❛ q✉❛✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➡ q✉❛♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ❝❤✐❛ s❰✱
❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥
♥➭②✳

❚➳❝ ❣✐➯

◆❣✉②Ô♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✸

▼ë ➤➬✉

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❧➭ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ tõ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥
➤Ò ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈❐t ❧ý
t♦➳♥✱ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò t❤ù❝ tÕ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♠➵♥❣
❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ➤➠ t❤Þ✱ ♠➠ ❤×♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✳✳✳✳ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯ ➤➢î❝ ❞➢í✐
❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❘✃t t✐Õ❝ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➵✐ ❧➭

ë ➤➞②

x∗ , x ❧➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x∗ ∈ X ∗ t➵✐

x ∈ X ✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x) = f.

✭✵✳✷✮

▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ✈✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ❑❤✐ t♦➳♥ tö

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






A ó tí t ệ ề ệ tì t
ó t t ỉ P ts ự
ệ ệ ỉ t tr sở tì

xh,
K s

s h,
h,
Ah (xh,
0, x K,

h = (h, )

ụ í ủ ề t trì ổ ị
t tứ ế ệ tr sở ự ệ ệ
ỉ ủ t tứ ế ệ ỉ rì sự
ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ
ệ tr tự ự tr ệ ọ
t số ệ ỉ t ệ
ộ ủ ợ trì tr ớ
tệ ề t tứ ế ệ trì sự tồ t ệ
tí t ủ t ệ ủ t tứ ế ệ ồ tờ
trì ột số ế tứ ề t t ỉ ột
ệ ỉ t
r sẽ trì ệ ỉ t
tứ ế ệ ụ tể trì sự ộ tụ tố

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✺

➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮✱ tr×♥❤ ❜➭② sù ❤é✐ tô ✈➭ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✹✮
✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ö♠✱ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ♥❤❐♥
➤➝♥❣ ë t➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳

ë ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ ❝❤➢➡♥❣
tr×♥❤ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❜➺♥❣ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ▼❆❚▲❆❇✳

X

n ❝❤✐Ò✉

x := y

x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y

∀x

✈í✐ ♠ä✐

∃x

tå♥ t➵✐

inf F (x)

x∈X

x

x

✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣

{F (x) : x ∈ X}

I


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

A

A

A

A

{xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x
{xk } ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ x




✼

❈❤➢➡♥❣ ✶

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô

❈❤♦
❝ñ❛


✐✐✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠

δ(t)✱

❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐

t ≥ 0✱ δ(0) = 0 ✈➭
A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A).
◆Õ✉

δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tö

A

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

hemi✲❧✐➟♥

tô❝



x, y ∈ X,

xn → x s✉② r❛ Axn

✈➭

A

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

demi✲❧✐➟♥

tô❝

Ax ❦❤✐ n → ∞✳

▼ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭

hemi✲❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ X t❤× demi✲❧✐➟♥

tô❝✳
❈❤♦

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐

➤ã♥❣ ❝ñ❛
s❛✉✿ ✈í✐

X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢


✭✶✳✷✮

Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❉♦

A ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥ t❛ ❝ã
Ax − Ax0 , x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

0 ≤ Ax − Ax0 , x − x0 = (Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0
❤❛②

Ax − f, x − x0 ≥ Ax0 − f, x − x0 .
❚õ ✭✶✳✶✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ✭✶✳✷✮✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sö

Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ (0, 1)

t❛ ❝ã

A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✷✮ ◆Õ✉

x0 = a t❤× f (x0 ) ≥ 0 ✈➭❀

✸✮ ◆Õ✉

x0 = b t❤× f (x0 ) ≤ 0✳

◆❤÷♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥➭② ❝ã t❤Ó tæ♥❣ q✉➳t ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt ♥❤➢ s❛✉✿

f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ J,
✈➭ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳

F : X → R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠

✐✮

❧å✐

tr➟♥

X

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X

t❛ ❝ã





data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....

data error !!! can't not
read....