TR

NG

I H C PH M V N

KHOA S

PH M T

NHIÊN

NG

BÀI GI NG

CÁC T P H P S

QU NG NGÃI – 2014


TR

NG

I H C PH M V N

KHOA S

PH M T


ây là m t h c ph n trong ch

ng chi ti t, tham kh o

i h c có th d dàng t h c

ng trình đào t o giáo viên ti u h c có

trình đ cao đ ng.
Bài gi ng này có th i l

Vì th i l
ki n th c, ng

ng 30 ti t trên l p, 2 tín ch và n i dung g m 3 ch

Ch

ng 1: C u trúc đ i s .

Ch

ng 2: S t nhiên.

Ch

ng 3: T p s h u t và t p s th c.

ng:



M C TIÊU
Ki n th c:
- Giúp sinh viên n m v ng c u trúc c b n v : n a nhóm, nhóm, vành và tr
- Hình thành cho sinh viên nh ng ý t

ng.

ng đ ti p c n v i toán h c hi n đ i và nh n

th c sâu s c v c u trúc đ i s c a các t p h p s

b c Ti u h c.

K n ng:
- Ki m tra m t “phép toán” hai ngôi trên m t t p h p.
- Ki m tra m t t p h p v i các phép toán là: n a nhóm, nhóm, con nhóm, vành và
tr

ng.

Thái đ :
- Sinh viên n m v ng các khái ni m c b n v c u trúc đ i s c a các t p h p.
- Sinh viên có liên h th c t v i ch

ng trình môn toán b c Ti u h c.

1.1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI
1.1.1. Khái ni m
Cho X là m t t p khác r ng. M t phép toán hai ngôi trên t p X là m t ánh x

*: *  *  *
( a; b )  a * b  a b

là m t phép toán hai ngôi trên t p các s t nhiên khác 0, còn đ

c g i là phép nâng lên

l y th a.
4) Cho t p  các s nguyên, phép tr là m t phép toán hai ngôi trên  , vì quy t c sau
là m t ánh x :  :     
(a; b)  a  b .

Tuy nhiên, phép tr không ph i là phép toán hai ngôi trên t p h p các s t nhiên  . Vì
ta có 2 và 4 thu c  nh ng 2  4   .
5) Cho X là m t t p h p b t kì và P(X) là t p các t p con c a X. Các phép toán: h p,
giao và hi u c a hai t p h p đ u là nh ng phép toán hai ngôi trên t p P(X). T c ta có các
ánh x sau:
Phép toán h p:  : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)



A B

Phép toán giao:  : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)  A  B

Phép toán hi u: \ : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)


0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

1.1.2. Các tính ch t c a phép toán hai ngôi
nh ngh a 1.1. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X. Ta nói r ng phép toán T có
tính ch t giao hoán n u và ch n u v i m i a, b thu c X thì aTb = bTa.
- Ta d nh n th y các phép toán hai ngôi trong các ví d 1), 2), 5), 7) trong Ví d 1.1.
là nh ng phép toán có tính ch t giao hoán.
- Các phép toán hai ngôi trong các ví d 3), 4) không có tính ch t giao hoán, ví d 6)

4


4) T p X là ph n t trung l p đ i v i phép toán giao các t p h p trên t p P(X)
5) Ánh x đ ng nh t id x : X  X ; x  x .
là ph n t trung l p đ i v i phép h p thành các ánh x trên t p Hom(X, X)
nh ngh a 1.4. Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T và e là ph n t trung l p
c a X đ i v i phép toán T; a  X . Ph n t b  X đ

c g i là ph n t đ i x ng c a a đ i

v i phép toán T n u bTa = aTb = e.
nh lí 1.2. Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T có tính ch t k t h p, có ph n
t trung l p e. N u b và b ' là hai ph n t đ i x ng c a a thì b ' = b.
+)

i v i phép c ng các s t nhiên ch có s 0 có ph n t đ i x ng và ph n t đ i

x ng c a 0 là 0.
+) M t cách t ng quát: N u e X là ph n t trung l p đ i v i phép toán T thì e là
ph n t đ i x ng c a chính nó.
+)

i v i phép c ng các s nguyên, m i ph n t a   có ph n t đ i x ng là a   .

+)

i v i phép nhân các s h u t thì m i ph n t q   , q khác 0 đ u có ph n t đ i

x ng là


i v i phép nhân : Gi s  là m t phép toán hai ngôi trên t p X thì cái h p thành a

x b (còn đ
đ

c xác đ nh duy nh t và đ

c g i là ph n t kh ng và

c vi t là ab ho c a.b) đ

c g i là tích c a a và b. Ph n t trung l p (n u có)

c g i là ph n t đ n v và kí hi u là e (ho c 1 n u không có s nh m l n v i các s ).

N u phép nhân có tính ch t k t h p và ph n t a  X có ph n t đ i x ng là b thì khi đó
bđ

c xác đ nh duy nh t và đ

c g i là ph n t ngh ch đ o c a a và kí hi u là b  a 1 .
5


1.1.4. Phép toán c m sinh
nh ngh a 1.5. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên X và A là m t t p con khác r ng
c a X. A đ

c g i là t p con n đ nh đ i v i phép toán T n u v i m i a, b thu c A thì cái

1) Phép c ng các s t nhiên ch n là phép toán c m sinh c a phép c ng các s t
nhiên.
2) Phép c ng các s nguyên mà là b i c a m t s nguyên m cho tr

c là phép toán

c m sinh c a phép c ng các s nguyên.
3) Cho S(X) là t p các song ánh t X đ n X; phép h p thành các song ánh trên t p
S(X) là phép toán c m sinh c a phép h p thành các ánh x trên Hom(X, X).

6


1.2. N A NHÓM VÀ NHÓM
1.2.1. N a nhóm
nh ngh a 1.7. Ta g i là n a nhóm m t t p khác r ng X cùng v i phép toán hai ngôi T
trên X có tính ch t k t h p. N u trong n a nhóm X có ph n t trung l p đ i v i phép
toán T thì X đ
nhóm X đ

c g i là m t v nhóm. N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì n a

c g i là n a nhóm giao hoán.

Nh v y, m t n a nhóm là m t c u trúc đ i s bao g m m t t p h p trên đó có m t phép
toán hai ngôi th a mãn tiên đ : a, b, c  X , (aTb)Tc  aT (bTc) .
ch m t n a nhóm ta vi t (X, T) trong đó X là t p n n, T là kí hi u c a phép toán
hai ngôi. Trong nhi u tr

ng h p, n u không s nh m l n ta có th vi t X thay cho (X,



N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì nhóm X đ

c g i là m t nhóm giao hoán

hay nhóm Aben.
N u X là t p h u h n, có n ph n t thì X đ
h p vô h n thì X đ

c g i là nhóm có c p n. N u X là m t t p

c g i là nhóm có c p vô h n.

Nh n xét: M i nhóm X là m t v nhóm mà m i ph n t thu c X đ u có ph n t đ i x ng
trong X.
Ví d 1.6:
1) T p các s nguiyên  v i phép c ng là m t nhóm Aben.
2) T p các s h u t  v i phép c ng là m t nhóm Aben.
3) T p * các s h u t khác 0 v i phép nhân là m t nhóm Aben.
4) T p S(X) t t c các song ánh t X đ n X là m t nhóm v i phép nhân ánh x .
Tính ch t1.1: Cho X là m t nhóm v i phép toán là phép nhân, khi đó ta có:
1) Vì m t nhóm là m t v nhóm nên nó có đ y đ các tính ch t c a m t v nhóm.
2) a, b, c  X , ab  ac  b  c (lu t gi n
và a, b, c  X , ba  ca  b  c (lu t gi n
3) V i m i a, b thu c X, các ph

c bên trái)

c bên ph i).

(iii) Ph n t trung l p e  A và v i m i a, b thu c A, ta có ab1  A .
Ví d 1.7:
1) M i nhóm c ng các s nguyên  là m t nhóm con c a nhóm c ng các s h u t
.

2) Tâp các s nguyên ch n 2  là m t nhóm con c a nhóm c ng các s nguyên  .
3) Tâp các s nguyên là b i c a s nguyên m là m t nhóm con c a nhóm c ng các s
nguyên  ..
4) T p A  1,1 là m t nhóm con c a nhóm nhân các s h u t khác 0.
5) V i m i nhóm X b t kì đ u có hai nhóm con đó là X và e , trong đó e là ph n t
trung l p c a X.
1.3. VÀNH VÀ TR
1.3.1.

NG

nh ngh a vành và tr

ng

nh ngh a 1.10. Ta g i là vành m t t p h p X cùng v i hai phép toán c ng và nhân
th a mãn các tiên đ sau:
1. (X, +) là m t nhóm Aben.
2. (X, .) là m t n a nhóm.
3. Có lu t phân ph i hai bên c a phép nhân đ i v i phép c ng, t c là v i m i
a, b, c  X . Ta có: a(b  c)  ab  ac;(b  c )a  ba  ca.

- N u phép nhân có tính ch t giao hoán thì X đ

c g i là vành giao hoán.

3

x

0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0


1

2

0

2

0

2

3

3

0

1

2

3

0

3

2


c c a 0.

(iii) a, b, c  X (a  0 và ab  ac )  b  c.
1.3.2. Mi n nguyên
10

ng đ

ng v i


nh ngh a 1.12. M t vành giao hoán, có đ n v khác 0 và th a mãn m t trong ba đi u
ki n t

ng đ

ng trong đ nh lí 1.5 đ

c g i là m t mi n nguyên.

Ví d 1.9:
1) Vành các s nguyên  là m t mi n nguyên.
2) Vành X trong ví d 1.8 không ph i là mi n nguyên.
1.3.4. Tr

ng

nh ngh a 1.13. M t vành giao hoán, có đ n v khác 0 và trong đó m i ph n t khác
không đ u có ngh ch đ o đ



0

1

2

0

0

1

2

0

0

0

0

1

1

2

0


ng.

ng đ u là mi n nguyên.

ng 1

1.1. Phép toán hai ngôi
1. Cho  là t p các s t nhiên,  là t p các s nguyên,  là t p các s h u t ,  là
t p các s h u t d

ng.

a) Phép toán nào trong b n phép tính: c ng, tr , nhân, chia là phép toán hai ngôi
trên m i t p k trên.

11


b) Trong tr

ng h p là phép toán hai ngôi, hãy cho bi t tính ch t và các ph n t đ c

bi t c a các phép toán đó.
2. Cho t p h p X  0,1, 2 . Phép toán  đ

c cho b i b ng sau:




Hãy cho bi t các tính ch t c a phép toán  và ch ra các ph n t đ c bi t c a nó.
3. Cho t p h p Y  a, b, c . Phép toán * đ

c cho b i b ng sau:

*

a

b

c

a

a

a

a

b

b

b

b

c

a) Phép c ng các s nguyên.
b) Phép nhân các s nguyên.
7. Các t p sau đây, t p nào n đ nh đ i v i phép c ng các phân s :
a
b

a) B   ; a, b  , a là s l , b  0 .
a a
là phân s th p phân
b b

b) C   ;

.

1.2. N a nhóm và nhóm
1. Cho X là t p các s nguyên chia h t cho 5.
a) Ch ng minh r ng X là m t v nhóm v i phép c ng thông th

ng các s .

b) Ch ng minh r ng X là m t n a nhóm nh ng không ph i là môt v nhóm v i
phép nhân thông th

ng các s .

2. Cho * là t p các s t

nhiên khác 0. Ta đ nh ngh a m  n  m  n  1 v i m i



1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

6. Ch ng minh r ng t p h p các s nguyên  là m t nhóm Aben v i phép toán sau:


ng có l p thành m t vành không? Gi i thích t i

sao?
3. Cho (, , ) là m t vành, v i a, b   ta đ nh ngh a: a  a  ab  ba . Ch ng minh
r ng phép toán x th a mãn tính ch t sau:
a) a  a  0.
b) a  b  (b)  a.
c) [(a  b)  c ]  [(b  c )  a]  [(c  a )  b]  0 .
4. Ch ng minh r ng n u vành X th a mãn a 2  0 v i m i a   thì ab  ba v i m i
a, b  .

5. Cho k là m t s nguyên l n h n 1. Ch ng minh r ng ( k , , ) là m t vành giao
hoán có đ n v , trong đó  k và các phép toán ,  đ
14

c cho b i quy t c sau:






 k  0,1,..., k  1 và a  b  c v i c là d c a phép chia a + b cho k; a  b  d v i d là d

c a phép chia ab cho k.
6. Ch ng minh r ng ( k , , ) v i k  2 là m t tr

ng khi và ch khi k là m t s



i h c nh ng ki n th c v :

ng và b n s c a t p h p.

- Xây d ng t p các s t nhiên b ng lí thuy t t p h p.
- Xây d ng các phép toán c ng và nhân trên t p các s t nhiên b ng phép toán trên các
b ns .
- Xây d ng quan h th t trên t p các s t nhiên.
- Nguyên lí quy n p và ph

ng pháp ch ng minh quy n p.

- Bi u di n s t nhiên và các d u hi u chia h t.
K n ng:
- Gi i toán trong t p các s t nhiên.
- V n d ng vào vi c gi ng d y toán

các l p b c Ti u h c.

Thái đ :
y là ph n mang tính lí thuy t và liên quan nhi u n i dung môn toán
do đó ng
ng

i h c c n thoát kh i nh ng gì đã đ

i h c c n th y đ

c bi t v các s thông th


ng v i t p các đi m c a c nh AC.

16

ng đ

ng v i B, kí hi u


A
Th t v y:
t [AB] là t p các đi m c a c nh AB;

x

[AC] là t p các đi m c a c nh AC.
Ta có song ánh f :[ AB]  [ AC ]

x'

C

B

xác đ nh b i f(A) = A; f(B) = C và n u x  [ AB]
mà x  A, x  B thì f ( x )  x ' , trong đó x '  [ AC ] mà xx ' // BC.
Tính ch t 2.1:
1) V i m i t p h p A ánh x đ ng nh t id A : A  A là m t song ánh, nên ta có A  A
2) Cho hai t p h p A và B, n u A  B t c là có m t song ánh f : A  B . Khi đó ánh x

song ánh t A đ n f(A) và khi đó A t
ng

c l i, n u A t

ng đ

ng đ

ng v i f(A) là m t b ph n c a B. Và

ng v i m t b ph n B ' c a B thì có m t song ánh g : A  B '

và g có th kéo dài thành m t đ n ánh g ' t A đ n B.
g' : A  B
a  g ' (a ) .

17


Vì v y, đ nh lí Cantor còn có th phát bi u cách khác là:
Cho hai t p h p A và B b t kì, bao gi c ng x y ra m t trong hai tr
1) A t

ng đ

ng v i m t t p con c a B.

2) B t



ng đ

ng v i

A.
Ví d 2.2:
1) T p r ng  là m t t p h p h u h n, vì  không có m t t p con th c s nào.
2) T p  x là m t t p h u h n, vì  x ch có m t t p con th c s là t p r ng  , mà 
không t

ng đ

ng v i  x .

3) T p các đi m trên đo n AB ( A  B) là m t t p vô h n. Th t v y, g i C là trung đi m
c a AB khi đó [ AC ]  [ AB] và [ AC ]  [ AB] , đ ng th i có th ch ra r ng [ AC ]  [ AB] .
nh lí 2.1.
-T ph pt

ng đ

ng v i t p h u h n là m t t p h u h n.

- T p con c a m t t p h p h u h n là m t t p h u h n.
2.1.2. B n s
2.1.2.1. Khái ni m v b n s
m r ng khái ni m “s ” ph n t c a m t t p h p h u h n. Cantor đã đ a ra khái
ni m b n s c a m t t p h p đ đ t tr ng cho “s l



ng v i m t t p con c a B.

Tính ch t 2.2: Quan h  có các tính ch t sau:
1) V i m i b n s a, a  a .
2) V i m i b n s a, b, c n u a  b và b  c thì a  c (do h p thành c a hai đ n ánh là
m t đ n ánh).
3) V i hai b n s a và b khi đó ho c a  b ho c b  a . N u đ ng th i có a  b và b  a
thì a = b.
Nh v y, quan h  gi a các b n s có các tính ch t ph n x , ph n đ i x ng và b c c u.
2.1.2.3. Phép c ng các b n s
nh lí 2.2. Cho A, A' , B, B ' là nh ng t p h p sao cho A  A' , B  B ' , A  B   và
A'  B '   khi đó A  B  A'  B ' .

nh lí 2.3. N u a và b là hai b n s thì t n t i hai t p A và B sao cho a  A , b  B mà
A B  .

nh ngh a 2.4. Cho a và b là hai b n s , a  A và b  B sao cho A  B   . Khi đó
A B đ

c g i là t ng c a hai b n s a và b, kí hi u a + b.

Nh v y a  b  A  B , phép toán này đ

c g i là phép c ng.

Tinh ch t 2.3: Phép c ng các b n s có các tính ch t sau:
- Giao hoán: V i m i b n s a và b ta có a + b = b + a, (đi u này đ
giao hoán c a phép h p các t p h p).


-các A  B

c g i là tích c a hai b n s a và b, kí hi u là a.b hay ab. Nh v y: ab  A  B .

Phép toán trên đ

c g i là phép nhân các b n s .

Tính ch t 2.4:
D a vào tính ch t c a

-các c a các t p h p, ta có các tính ch t sau đây c a phép nhân

các b n s :
- Tính ch t giao hoán: v i m i b n s a và b ta có ab = ba.
- Tính ch t k t h p: v i m i b n s a, b và c ta có (ab)c = a(bc).
- V i m i b n s a ta có: 0a = 0; a0 = 0 và 1a = a; a1 = a.
- V i m i b n s a và b n u ab = 0 thì a = 0 ho c b = 0.
- Phép nhân phân ph i đ i v i phép c ng: v i m i b n s a, b và c ta có:
a(b + c) = ab + ac.
(b + c)a = ba + ca.
2.2. S

T

NHIÊN

2.2.1. T p các s t nhiên
2.2.1.1. S t nhiên


- T p  các s t nhiên là m t t p h p vô h n.
2.2.2. Phép c ng và phép nhân các s t nhiên
2.2.2.1. Phép c ng các s t nhiên
nh lí 2.9. T ng c a hai s t nhiên là m t s t nhiên.
H qu : T p  các s t nhiên cùng v i phép c ng là m t v nhóm giao hoán.
nh lí 2.10. Phép c ng các s t nhiên th a mãn lu t gi n

c, t c là v i m i s t

nhiên a, b và c n u a + b = a + c thì b = c.
2.2.2.2. Phép nhân các s t nhiên
nh lí 2.11. Tích c a hai s t nhiên là m t s t nhiên.
Nh n xét: Do phép nhân các b n s có tính ch t giao hoán, k t h p và m i b n s a ta có
a.1 = 1 nên t p các s t nhiên v i phép nhân là m t v nhóm giao hoán.
Ngoài ra v nhóm này còn có các tính ch t sau:
+) a  , a0  0  0a .
21


+) a, b  , ab  0  a  0 ho c b  0 .
+) a, b, c  , a(b  c )  ab  ac;(b  c)a  ba  ca.
2.2.3. Quan h th t trong 
Trong t p h p  các s t nhiên, quan h th t  đ

c xác đ nh nh sau:

Cho a, b thu c  , a  b  c   sao cho a + c = b. n u a  b và a  b thì ta nói r ng a
nghiêm ng t bé h n b và kí hi u a  b .
Tính ch t 2.5:
1) V i m i s t nhiên a, 0  a .


ph i c a phép nhân đ i v i phép tr ).
nh lí 2.15. Có lu t gi n

c c a phép nhân đ i v i các s t nhiên khác 0. Ngh a là

n u a, b, c là ba s t nhiên, a  0 sao cho ab = ac thì b = c.
2.3. LÍ THUY T CHIA H T TRÊN T P CÁC S
22

T

NHIÊN


2.3.1. Phép chia h t và phép chia có d
2.3.1.1. Phép chia h t
Cho hai s t nhiên a và b, ta nói r ng a chia h t b (hay b chia h t cho a) n u t n t i s
t nhiên c sao cho ac = b.
Kí hi u a b (đ c là a chia h t b, hay a là

c c a b), ho c b  a (đ c là b chia h t cho a,

hay b là b i c a a).
2.3.1.2. Tính ch t:
1) a  * thì a 0; a a và 1 a .
2) a, b, c  * , a b và a c  a (b  c ) .
3) a, b, c  .a  0 , a b  a bc .
4) a, b, c   , a  0 , a b và b c  a c .
nh lí v phép chia có d

c chung c a a và b là

(a)  (b)   và b ch n trên b i a và b, t p này có s l n nh t.
S l n nh t trong t p các
b, kí hi u là

c chung c a a và b đ

c g i là

CLN(a, b).

Ví d 2.5:
CLN(6, 21) = 3;
2.3.2.2. Cách tìm

CLN(12, 7) = 1.

c chung l n nh t: (Thu t toán clit)

23

c chung l n nh t c a a và