Giải toán theo phơng pháp tính
Sơ đồ Hoóc-ne:
Tính giá trị đa thức P(x) ứng với một giá trị biến số x
Giả sử ta cần tính giá trị đa thức bậc ba
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
tại x = k.
Đây là bài toán ta đã biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào
máy. tuy nhiên cách làm này trở nên cồng kềnh khi bậc đa thức hoặc k có giá
trị lớn. Trong trờng hợp đó phơng pháp tính đóng vai trò hữu hiệu hơn.
Đối với bài toán cụ thể này, ta viết đa thức đã cho dới dạng:
0 1 2 3
P(k) (( a k a )k a )k a= + + +
0 0
b a=
1 o 1
b b k a= +
2 1 2
b b k a= +
3 2 3
b b k a= +
3
P(k) b =
Cách tính này thực chất là qui tắc
i i 1 i
b b k a , i 1

= +
đợc lặp đi lặp lại
nhiều lần.

=
ì
ALPHA A +
0
=

ì ALPHA A +
6
=
KQ: 278.
48
Tìm thơng và d trong phép chia đa thức cho (x - )
Khi chia đa thức
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
cho nhị thức (x ) thơng sẽ
là một đa thức bậc hai
2
0 1 2
Q(x) b x b x b= + +
và d là hằng số r, cụ thể:
P(x) Q(x) r= +
3 2 2
0 1 2 3 0 1 2
a x a x a x a (x )( b x b x b ) + + + = + +
3 2
0 1 0 2 1 2
b x (b b )x (b b )x (r b )= + + + +



ì
ALPHA A + ()3 = Ghi 118

ì
ALPHA A + 0 = Ghi 590

ì

ALPHA A +
0
=
Ghi 2950

ì
ALPHA A +
1
=
Ghi 14751

ì
ALPHA A +()1 = Ghi 73756
Vậy x
7
2x
5
3x
4
+ x 1
= + + + +

= g(x
2
) đợc nghiệm gần đúng thứ ba x
3
.
....
+ Tiếp tục lặp nh vậy đến bớc thứ n+1 ta đợc x
n+1
= g(x
n
).
Dãy x
1
, x
2
, x
3
,....., x
n
, x
n+1
,..... là dãy những giá trị gần đúng của nghiệm
phơng trình x = g(x), tức cũng là nghiệm của phơng trình f(x) = 0.
Bài 15. Tìm một nghiệm dơng gần đúng của phơng trình
16
x x 8 0+ =
(1).
Lời giải.
Ta có
16

+ 32 = 0 d) x
4
- 15x
2
- 7 = 0
9. Giải các phơng trình:
a) 2 - x =
2
2x + x- 2
b)
2+ x-5
=
15- x
50
10. Giải các phơng trình:
a) x
3
- 15x
2
+ 7 = 0 b) x
3
- 3x + 2 = 0
c) x
3
+ x - 5 = 0 d) x
3
+ 3x
2
- x + 1 = 0
11. Giải các hệ phơng trình sau:


4 3 2
5 2
6 5 3
P(x) 5x 2x x 7x 5 với x 2
P(x) x 3x 5x 8 với x 5
P(x) 2x 4x 7x 2x 1 với x 3
= + + =
= + =
= + + =

13. Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng và d trong phép chia đa thức

6 5 2
2x x 3x 1 cho x 7+ +
.
tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn
Để giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2
sau đó nhập các mẫu số liệu x
1
, x
2
, ... , x
n
ta ấn phím nh sau:
x
1
DT x
2
DT ... x

Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 =
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 1 = s
2
=
51
Ví dụ 1:
Kết quả học tập cuối năm của An và Bình nh sau
Môn Điểm TbN của An Điểm TbN của Bình
Toán 8 8,5
Vật lí 7,5 9,5
Hoá học 7,8 9,5
Sinh học 8,3 8,5
Văn học 7 5
Lịch sử 8 5,5
Địa lí 8,2 6
Anh văn 9 9
Thể dục 8 9
Kĩ thuật 8,3 8.5
GDCD 9 10
Tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của An và
Bình; Xác định xem bạn nào học lệch.
Lời giải
Sau khi xoá các số liệu cũ còn lu trong máy.
Ta vào chơng trình MODE 2 để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch
chuẩn điểm các môn học của An.
Ta nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các môn học nh sau:
8 DT 7,5 DT

bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 2 = x
2
= s
2
2,76446281
So sánh phơng sai điểm các môn học của An và Bình ta thấy: Bình học
lệch so với An.
toán thống kê
Bài 16. Điểm trung bình môn Toán của 12 học sinh trong một tổ nh sau:
3,4; 3,6; 4,5; 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6,0; 6,3; 6,4; 7,2; 7,8.
a) Tính điểm trung bình môn Toán của tổ đó.
b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai đối với tổ đó.
Lời giải.
a) ấn MODE
2
, 1 3,4
DT
3,6
DT
4,5
DT
4,8
DT
5,1 DT 5,2 DT 5,7 DT 6,0 DT 6,3 DT
6,4
DT
7,2
DT
7,8

, 1 5
SHIFT
; 3
DT
6
SHIFT
; 6
DT
7
SHIFT
; 6
DT
8
SHIFT
; 9
DT
9
SHIFT
; 21
DT
10
SHIFT
; 15
DT

SHIFT

S.VAR
1
= KQ:


i i
n x
= 504.
ấn (tiếp)
SHIFT

S.SUM

1
=
KQ:
2
i i
n x

= 4362.
Sau khi đa đủ các số liệu cùng với tần số tơng ứng vào máy, có thể lấy kết
quả của các giá trị thống kê nói trên theo bất cứ thứ tự nào. Chỉ riêng giá trị
của phơng sai phải lấy sau giá trị của độ lệch chuẩn tơng ứng.
Thoát khỏi chơng trình thống kê bằng cách ấn
SHIFT

CLR
2 =.
Giá trị lợng giác
Máy tính cầm tay có thể giúp ta tìm giá trị lợng giác của góc lợng giác và
đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngợc lại.
Ví dụ 1: Tính sin
9

0
5819
Bài 18. Đổi các góc sau ra rađian:
a) 7152' b) 4212'.
Lời giải.
a) ấn 71 ab/c 52 ab/c 60
ì
ữ
180
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 1,2543.
b) ấn 42 ab/c 12 ab/c 60
ì
ữ
180
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 0,7365.
Bài 19. Đổi các góc sau ra độ, phút, giây:
54
3 5 3
; ; .
16 7 4

= = =
Lời giải.
a) ấn 3 ab/c 16

SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: 4258'18''
Bài 20.
a) Tính sin, côsin và tang của
5
.
12

b) Tính tan
( )
3

+
biết sin
3
5
=
và
.
2

< <
c) Cho sin
4
.
5
=

b) ấn
tan
(


SHIFT
-1
sin
(
3ab/c5
)
+ ữ
3
)
=
KQ: 0,4272.
c) ấn
(
SHIFT
-1
sin
(
4ab/c 5
) )
ì2
SHIFT STO A

sin ALPHA A = KQ: sin 2 = 0,96.
ấn
cos ALPHA A

-1
3
5
. Đối với phần c) có thể tuỳ
chọn đơn vị đo góc là độ hay rađian. Việc xác định dấu của các hàm số lợng
giác của 2 không thể dựa đơn thuần vào máy mà phải dựa vào các công thức
biến đổi lợng giác.
Bài 21. Tính sin 4012'; cos 5254'37''; tan 7842'25''; cot 3810'.
Lời giải.
Vào mode MODE
4
, 1
a) sin 4012' ấn
sin
40
,,,o
12
,,,o
KQ: 0,6455.
b) cos 5254'37'' ấn
cos
52
,,,o
54
,,,o
37
,,,o
KQ: 0,6031.
c) tan 7842'25'' ấn
tan

; sin
8

; tan
8

.
Lời giải.
Tính đúng:
2
2
1 cos 1
2 2
2 2
4 2
cos , cos 0 cos
8 2 2 4 8 8 2
sin
2 2
2 2
8
sin tg 3 2 2 2 1
8 2 8
2 2
cos
8

+ +
+
+


.
15. Biết tan
a
2
=
2
3
. Tính
2 3cosa
4 5sin a
+

.
16. Biết sina = 4/5 (00 < a < 900), sinb = 8/17 (90
0
< b < 180
0
). Tính cos(a + b),
sin(a b).
17. Tính
2 0 2 0 2 0 2 0
a) cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
2 0 2 0 2 0 2 0
b) sin 3 sin 15 sin 75 sin 87+ + +
18. Biết cosx =
1
2
, tính
2 2

x

+
28
2
x
=
KQ: 1225.
ấn 35
2
x
=
KQ: 1225.
Vậy AB
2
+ AC
2
= BC
2
nên ABC vuông.
57
DiÖn tÝch ∆ABC =
AB . AC 21 . 28
2 2
=
(cm
2
).
Ên 21 × 28
÷

≈ 53°7'48''.
Ên (tiÕp)
×
(−) 1
+
90
,,,o
=
KQ:
µ
C
≈ 36°52'12''.
c)
DB AB 21 3 DB 3 DB 3 3
DB . 35
DC AC 28 4 DB DC 3 4 BC 7 7
= = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ +
Ên 3 ab/c7
×
35
=
KQ: DB = 15 cm.
Ên (tiÕp)
÷
3 ab/c4
=
KQ: DC = 20 cm.
Bµi 24. C¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ AB = c = 23cm, AC = b = 24cm, BC = a
= 7cm. TÝnh gãc A vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c.

24
÷
23
)
= SHIFT
,,,
¬
o
KQ:
µ
A
≈ 16°57'27''.
S
1 1
b c sin A . 24 . 23 sin A 12 . 23 sin A.
2 2
= = =

Ên (tiÕp)
SHIFT STO A

sin ALPHA A

=
×12
x
23 MODE
5
, 1, 0
KQ: S ≈ 80cm

(
ALPHA D
×
(
ALPHA
D −
ALPHA
A
) (
ALPHA D

−

ALPHA
B
) (
ALPHA

D −

ALPHA
C
)

)
MODE
5
, 1, 0
58
KQ: S 80 cm

2


áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A(1; 2), B( 2; 3)
và C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 27. Tìm phơng trình của đờng tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(1; 2),
C(3; 2).
Lời giải.
Đờng tròn có phơng trình x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Đờng tròn đó đi qua ba
điểm A, B, C nên ta có:
5
2
+ 0
2
+ a.5 + b.0 + c = 0
1
2
+ 2
2
+ a.1 + b.2 + c = 0
(3)
2
+ (2)
2
+ a.(3) + b.(2) + c = 0

2
+ y
2
+
8
3
x +
14
3
y
35
3
= 0.
Bài 28. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng 3x + 4y = 5 và elip
2 2
x y
1
9 4
+ =
.
Lời giải.
Rút y từ phơng trình đờng thẳng ta có y =
5-3x
4
.
Thay biểu thức của y vào phơng trình elip ta đợc phơng trình xác định
hoành độ giao điểm: 145x
2
- 270x - 351 = 0.
ấn MODE

) =
2
.
2
−
Lêi gi¶i.
Chän kiÓu MODE
4
, 1
Ên
SHIFT
-1
cos

(
(−) 2
÷
2
)

=

SHIFT

,,,oSHIFT

STO A

3sin x 3 cos x 1 sin x cosx , Thay tg
3 3 3 6
π
+ = ⇔ + = =
1
cos .sin x sin .cosx cos
6 6 3 6
π π π
⇔ + =
3
sin(x )
6 6
π
⇔ + =
Ên
SHIFT
-1
sin
(
3
÷
6
)
= SHIFT STO A

ALPHA A
-
π

÷

nên từ 5 chữ số đã cho, biết rằng
a) Các chữ số đều khác nhau?
b) Các chữ số không nhất thiết khác nhau?
Lời giải.
a) Số các số với 3 chữ số khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho là
3
5
A .
ấn 5
SHIFT

nPr
3
=
KQ: 60.
b) Có
1
5
C
cách chọn mỗi chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm mà
các cách chọn đó độc lập với nhau. Do đó có (
1
5
C
)
3
số với 3 chữ số không nhất
thiết khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho.
ấn 5
SHIFT

2
n
u
+ 3u
n
- 2
với mọi n nguyên dơng.
Lời giải.
Đã biết u
1
= 1.
ấn 1 = Ans x
2
+ 3 ì Ans 2 = KQ: u
2
= 2.
62
Ên (tiÕp) = KQ: u
3
= 8.
Ên (tiÕp) = KQ: u
4
= 86.
Ên (tiÕp) = KQ: u
5
= 7652.
Ên (tiÕp) = KQ: u
6
= 58576058 .
Bµi 32. TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè céng nÕu u

=
800
103
.
Ên (tiÕp) = SHIFT d/c KQ: d = -
11
103
.
Ên 50 × ( 2 × 800 ab/c 103 - 99 × 11 ab/c 103 ) = KQ: S
100
= 248
6
103
.
Bµi 33. TÝnh tæng cña 20 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n nÕu u
1
+ u
3
= 15,
u
4
- u
2
= 18.
Lêi gi¶i.
Thay u
2
, u
3
, u

1
= 3.
Ên 3 × (2 ^ 19 - 1 ) = KQ: S
50
= 1572861.
®¹o hµm
63