TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————————————
NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên nghành: Toán giải tích
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận tình
của các thầy cô giáo, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức khoa
học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn các thầy
cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã trực tiếp giảng
dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay. Đặc biệt
em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người
đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em
trong thời gian thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn
hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em xin trân thành cảm
ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để khóa luận của
em được hoàn thành như hiện tại.
Hà Nội, 21 tháng 4 năm 2017

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Lý thuyết về sai số và sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Sai phân và bảng sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


15
15

2.1.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Phương pháp Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Phương pháp khử lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

vậy được gọi là bài toán biên đối với phương trình vi phân.
Việc tìm nghiệm chính xác của bài toán biên đối với phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai là một vấn đề phức tạp và khó giải quyết. Do đó,
để nghiên cứu sâu một số phương pháp giải bài toán biên liên quan đến
phương trình vi phân tuyến tính cấp hai cùng với sự hướng dẫn và tận
tình chỉ bảo của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, em đã chọn đề tài: “Một số
phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai”.
iii


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và cơ
sở lý thuyết của các phương pháp giải gần đúng bài toán biên đó. Sau đó
áp dụng vào giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.
Cuối cùng là các ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp để giải bài toán
biên phương trinh vi phân tuyến tính cấp hai.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tương nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp giải
bài toán biên phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai.
Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện và thời gian có hạn, em chỉ nghiên
cứu một số bài tập cơ bản về bài toán biên phương trình vi phân tuyến
tính cấp hai.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội
dung nghiên cứu.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm ba
chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân

.
|a|


Ví dụ 1.1. Cho hai đoạn thẳng AB, CD với độ dài tương ứng là a =

10 cm và b = 1 cm với ∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó, ta có
δa =

0.01
0, 01
= 0, 1% còn δb =
= 1% hay δb = 10δa.
10
1

Dễ thấy, phép đo độ dài đoạn thẳng a chính xác hơn phép đo độ dài đoạn
thẳng b mặc dù ∆a = ∆b. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản
ánh qua sai số tương đối.

1.1.2. Sai số tính toán
Sai số tính toán là sai số sinh ra trong quá trình tính toán ta phải thu
gọn số. Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức

y = f (x1 , x2 , ..., xn )
Giả sử x∗ , y ∗ ; i = 1, n và xi , yi ; i = 1, n là các giá trị đúng và gần đúng của
các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì

|y − y∗| = |f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n )| =
trong đó f i là đạo hàm

=
i=1

2

∂
∂x

ln f ∆xi


1.1.3. Sai phân và bảng sai phân
Sai phân
Định nghĩa 1.3. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X , h là
hằng số lớn hơn 0. Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai
phân cấp một của hàm f (x) tại điểm x. Biểu thức

∆2 f = ∆[∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)]
= ∆f (x + h) − ∆f (x)
được gọi là sai phân cấp hai của f (x) tại x
Tương tự, ta có ∆k f = ∆[∆k−1 f ] được gọi là sai phân cấp k của f tại x.
Bảng sai phân
Giả sử hàm số được cho bằng bảng
x

x0

x1

x2


∆2 y

∆3 y

∆4 y

....

...

...

...

...

...

...

yi−2
∆yi−2
∆2 yi−2

yi−1

∆3 yi−2

∆yi−1

. : X→R
x→ x
được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (∀x ∈ X) , x

0; x = 0 ⇔ x = θ (θ là phần tử không của X );

2.(∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn);
3. (∀x, y ∈ X) x + y

x + y ( bất đẳng thức tam giác).

4


Số x được gọi là chuẩn của phần tử x. Các tiên đề 1, 2, 3 được gọi là hệ
tiên đề của chuẩn.
Định nghĩa 1.5. Giả sử X là không gian vector trên trường K, . là
một chuẩn trên X. Khi đó cặp (X, . ) được gọi là không gian định chuẩn.
Khi đó, không gian đó được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức
nếu K tương ứng là trường thực hoặc phức.
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Ví dụ 1.2. Cho không gian vector K chiều E k , trong đó

E k = {x = (x1 , x2 , ..., xk ) | xj ∈ R ∨ xj ∈ C }
k

với x = (x1 , x2 , ..., xk ) ta đặt x =

|xj |2 .

Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong
toán tử A. Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện.

A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αn Axn
với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ X và mọi α1 , α2 , ..., αn ∈ K .
Nếu X = Y thì ta nói A là một toán tử trong X .
Ví dụ 1.3. Xét trường hợp X = Y = C [a, b]. Toán tử xác định theo công
thức
b

Ax =

K(t, s)x(s)ds
a

với K(t, s) là một hàm số liên tục theo các biến t và s trong hình vuông

a

t, s

b được gọi là toán tử tích phân với hạch là K(t, s).

Định nghĩa 1.9. Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0 ; n → ∞ luôn kéo theo Axn → Ax0 ; n → ∞.

6



7


(x, x), ∀x ∈ X xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh ra bởi
tích vô hướng.
Định nghĩa 1.13. Ta gọi tập H = φ gồm các phần tử x, y, z, ... nào đấy
là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường K ;
2. H được trang bị tích vô hướng (., .);
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x).

Nếu K = R hoặc K = C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian
Hilbert thực hoặc phức.
Ví dụ 1.4. Trên không gian Rn với hai phần tử x = (x1 , ..., x2 ), ta trang
n

bị tích vô hướng (x, y) =

xi yj . Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là
i=1
n

x =

(x, x) =
i=1

x2i .

trình đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm
số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm số
đó

F x, y(x), y (x), ..., y (n) (x) = 0
hay viết gọn là

F x, y, y , ..., y (n) = 0

(1.2)

Trong đó x là biến độc lập và y là hàm cần tìm.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình.
Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu thay y =
9


ϕ (x), ..., y (n) = ϕ(n) (x) vào thì ta được phương trình đồng nhất thức.
Hàm số y = ϕ(x, c)(c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được
gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:
1. ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra

c = ϕ(x, y).
2. Hàm y = ϕ(x, c) thỏa mãn (1.2) khi (x, y) chạy khắp D với mọi x ∈ R.

1.4.2. Bài toán biên của phương trình vi phân
Một số khái niệm


 α(0) ... α(n−1) β (0) ... β (n−1)
 2
2
2
1


 ...


 (0)
(n−1)
(0)
(n−1)
αm ... αm
βm ... βm

10












Phương trình (1.2) cùng các điều kiện (1.6) lập thành bài toán biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.
Trong các trường hợp khác ta gọi là bài toán biên không thuần nhất. Đôi
khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) = 0.
Định nghĩa tổng quát về bài toán biên trên đây bao gồm cả bài toán biên
(k)

Cauchy thông thường (khi βj

= 0; ∀k, j ).

Ta thấy ϕ(x) = 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất, nghiệm đó gọi là
nghiệm tầm thường.
Nếu ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕi là các nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ
hợp tùy ý của chúng c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + ... + ci ϕi cũng là nghiệm của bài toán
đó.
11


Điều kiện giải được của bài toán biên
Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (1.2) và hệ nghiệm cơ
bản ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán
biên (1.2) −(1.3) và (1.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci
trong biểu thức ϕ = ϕ0 + c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + ... + cn ϕn sao cho điều kiện (1.6)
được thỏa mãn. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là
ma trận





có cùng hạng với ma trận

 V1 (ϕ1 )


 V (ϕ )
 2 1


 ...



Vm (ϕ1 )



V1 (ϕ2 ) ... V1 (ϕn ) 


V2 (ϕ2 ) ... V2 (ϕn ) 



...
... 



Vm (ϕ2 ) ... Vm (ϕn )

(1.9)

ψj y(a), y (a), ..., y (n−1) (a) = 0 ; j = L + 1, L + 2, ..., n.

(1.10)

Nếu các phương trình (1.8), (1.9), (1.10) là tuyến tính đối với y(x), y (x),

y (x), ..., y (n) (x) thì bài toán biên (1.8) − (1.10) là bài toán biên tuyến
tính.
Để đơn giản chúng ta thường xét bài toán biên tuyến tính với n = 2. Khi
đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng

L(y(x)) = y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x), a
l0 (y(a)) = α0 y(a) + β0 y (a) = γ0 ;
l1 (y(b)) = α1 y(b) + β1 y (b) = γ1 .
13

x

b;


trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số cho trước; α0 , β0 , γ0 , α1 , β1 , γ1
là những hằng số cho trước.

14


Chương 2

L(y) = y + p(x)y + q(x)y;
Γa (y) = α0 y(a) + β0 y (a);
Γb (y) = α1 y(b) + β1 y (b).
Trong đó

L(y) là toán tử tuyến tính từ C[2a,b] → C[a,b] , (với C[2a,b] là tập tất cả các
hàm xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp hai).

Γa (y), Γb (y) là phiến hàm tuyến tính từ C[1a,b] → R.
Bản chất của phương pháp Galerkin là ứng dụng của giải tích hàm vào
giải phương trình vi phân.
Giả sử trên đoạn [a,b] cho dãy hàm {ϕn (x)}n=1.∞ thỏa mãn các điều kiện
sau:
1. ϕi (x) và ϕj (x) trực giao với nhau, với i = j , tức là:

2.

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

= 0 nếu i = j;

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

= 1 nếu i = j.





 Γa (ϕi ) = 0
+ ϕi (x), i = 1, n thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất, tức là


 Γb (ϕi ) = 0
Xét đại lượng không khớp
n

ck L(ϕk ) − f (x)

R(x, c1 , ..., cn ) = L(ϕ0 ) +
k=1
b

R2 (x, c1 , ..., cn )dx là nhỏ nhất. Khi đó

Ta chọn ci , (i = 1, n) sao cho
a

R(x, c1 , ..., cn ) trực giao với tất cả các hàm ϕi (x). Điều kiện trực giao
tương đương với
b

ϕi (x)R(x, c1 , ..., cn )dx = 0, (i = 1, n)
a

b

a

a

[−L(ϕ0 ) + f (x)]ϕi (x)dx.
a

Đặt
17

(2.1)