Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1

1


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 01
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa
khái niệm này với đạo hàm.

⇔∀x1, x2∈ K: x1< x2
Đ1.
⇒ f(x1)
0
đồng
biến
trên
(–
các hàm số đã cho?
x1 − x2
∞; 0), nghịch biến trên (0; ⇔
,
+∞)
∀x1,x2∈ K (x1≠ x2)
y

5

x

-8


⇔∀x1, x2∈ K: x1< x2
∞; 0), (0; +∞)
⇒ f(x1) >
H3. Nhắc lại phương pháp
f(x2)
xét tính đơn điệu của hàm
f ( x1 ) − f ( x2 )
0 ⇒ HS đồng biến
• GV hướng dẫn HS nêu y′< 0 ⇒ HS nghịch biến
nhận xét về đồ thị của hàm
số.
y
y=

1
x

x
O

Nhận xét:

∀x ∈ K

• Nếu f '(x) < 0,
thì y = f(x) nghịch biến
trên K.
Chú ý: Nếu f ′(x) = 0,
3

3


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

∀x ∈ K

thì f(x) không đổi trên K.
15
'

Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số
• Hướng dẫn HS thực • HS thực hiện theo sự VD1: Tìm các khoảng đơn
điệu của hàm số:
hiện.
hướng dẫn của GV.
H1. Tính y′ và xét dấu y′ ? Đ1.
a) y′ = 2 > 0, ∀x

a)

Tiết 02
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa
khái niệm này với đạo hàm.
− Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
2. Kĩ năng:
− Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó.
3. Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic
và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
2. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về đạo hàm ở lớp 11.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ: (5')
y = 2 x4 + 1

H. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
?
Đ. Hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), nghịch biến trong khoảng (–∞; 0).
2. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Nội dung
10 Hoạt động 1: Tìm hiểu thêm về mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của
'
hàm số

5

điệu của hàm số
• GV hướng dẫn rút ra qui
1. Qui tắc
tắc xét tính đơn điệu của
1) Tìm tập xác định.
hàm số.
2) Tính f′(x). Tìm các điểm
xi (i = 1, 2, …, n) mà tại
đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
3) Săpx xếp các điểm xi
theo thứ tự tăng dần và
lập bảng biến thiên.
4) Nêu kết luận về các
khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.

15
'

Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số
• Chia nhóm thực hiện và • Các nhóm thực hiện yêu
gọi HS lên bảng.
cầu.
a) đồng biến (–∞; –1), (2;
+∞)
nghịch biến (–1; 2)
b) đồng biến (–∞; –1), (–1;
• GV hướng dẫn xét hàm +∞)
số:



trên
.
H1. Tính f′(x) ?

VD4: Chứng minh:
Đ1. f′(x) = 1 – cosx≥ 0
(f′(x) = 0 ⇔ x = 0)
⇒ f(x) đồng biến trên
 π
0; 2 ÷


0 < x
sin x

trên khoảng

 π

2. Kĩ năng:
− Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó.
3. Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic
và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
2. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu của hàm
số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Nội dung
15
Hoạt động 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
'
H1. Nêu các bước xét tính Đ1.
1. Xét sự đồng biến,
đơn điệu của hàm số?
nghịch biến của hàm sô:

3
 −∞; ÷

2

H2. Nhắc lại một số qui a) ĐB:
3


d) ĐB:

NB: a)
b)

( −∞; 0 )

c) ĐB:
NB:

,

,

y = 4 + 3 x − x2
y = − x3 + x2 − 5
y = x4 − 2 x2 + 3
y=

3x + 1
1− x

y=

x2 − 2 x
1− x

d)
e)
f)

trên khoảng được chỉ ra:
1− x
y' =

( 1 + x2 ) 2

y=

a)

y′ = 0 ⇔ x = ± 1
b) D = [0; 2]
y' =

NB:

1− x

b)

2

2x− x

15
'

x +1

, ĐB:

chứng minh bất đẳng thức.
 2
a)
.
– Xác lập hàm số.
– Xét tính đơn điệu của y ' = tan 2 x ≥ 0, ∀x ∈ 0; π 
 2 ÷

hàm số trên miền thích
hợp.
y′ = 0 ⇔ x = 0

3. Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a)

π

tan x > x  0 < x ÷

2

.

tan x > x +

b)

x 
π

y ' = tan 2 x − x 2 ≥ 0, ∀x ∈ 0; ÷
 2

y′ = 0 ⇔ x = 0

 π
 0; 2 ÷


⇒ y đồng biến trên
⇒ y′(x) > y′(0)
9

với
9


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

0< x

và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
2. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu của hàm
số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ: (5')
y=

H. Xét tính đơn điệu của hàm số:
4

 −∞; ÷, (3; +∞)
3


x
( x − 3) 2
3

?

4 
 ;3 ÷
3 

Đ. ĐB:
, NB:
.
2. Giảng bài mới:

Trần Sĩ Tùng

0, f(x) > f(x0), ∀x ∈ S(x0,
H1. Xét tính đơn điệu của
h)\ {x0}.
hàm số trên các khoảng Đ1.
Chú ý:
bên trái, bên phải điểm Bên trái: hàm số ĐB a) Điểm cực trị của hàm
CĐ?
⇒f′(x)≥ 0
số; Giá trị cực trị của hàm
Bên phái: h.số NB ⇒f′(x) số; Điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
≤ 0.
b) Nếu y = f(x) có đạo
hàm trên (a; b) và đạt cực
trị tại x0∈ (a; b) thì f′ (x0)
= 0.
10
'

Hoạt động 2: Tìm hiểu điều kiện đủ để hàm số có cực trị
• GV phác hoạ đồ thị của •
các hàm số:
a) không có cực trị.
y = −2 x + 1
b) có CĐ, CT.
a)
y=


thì
x0 là một điểm CĐ của
f(x).
b) f′(x) < 0 trên

( x0 − h; x0 )

,

( x0 ; x0 + h)

f′(x) > 0 trên
thì
x0 là một điểm CT của f(x).

• GV hướng dẫn thông

Nhận xét:Hàm số có thể
đạt cực trị tại những điểm
mà tại đó đạo hàm không
xác định.
Hoạt động 3: Áp dụng tìm điểm cực trị của hàm số

qua việc xét hàm số

15
'

y= x


;
– Dựa vào bảng biến thiên y′ =
x = 1
để kết luận.

y′ = 0 ⇔

b)

y = f ( x) = x 3 − x 2 − x + 3
y = f ( x) =

c)

3x + 1
x +1

x = − 1
3


Điểm CĐ:

 1 86 
− ; ÷
 3 27 

,

(1; 2)

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 05
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm
số.
− Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị.
2. Kĩ năng:
− Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị.
3. Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic
và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
2. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu của hàm
số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ: (5')
y = x3 − 3 x + 1

H. Tìm điểm cực trị của hàm số:
?
Đ. Điểm CĐ: (–1; 3); Điểm CT: (1; –1).
2. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Nội dung

trình bày.
của hàm số:
y = x( x 2 − 3)
a) CĐ: (–1; 3); CT: (1; –
a)
1).
y = x 4 − 3x 2 + 2
b) CĐ: (0; 2);
b)

 

3 1
3 1
;− ÷
− ;− ÷ 
2 4  2 4


y=

x −1
x +1

CT:
,
c)
c) Không có cực trị
x2 + x + 1
y

d)

x−4
x−2

4. Hướng dẫn học bài ở nhà
-Về nhà xem lại nội dung lí thuyết và làm bài tập SGK

15

15


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 06
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm
số.

nêu qui tắc 2 để tìm cực trị
của hàm số?

(h > 0).
a) Nếu f′(x0) = 0, f′′(x0) >
0
thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f′(x0) = 0, f′′(x0)

4

3. Củng cố (5’)
Nhấn mạnh:
– Các qui tắc để tìm cực trị của hàm số.
– Nhận xét qui tắc nên dùng ứng với từng loại hàm số.
4. Hướng dẫn học bài ở nhà
-Về nhà xem lại nội dung lí thuyết và làm bài tập SGK

17

17


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 07
Bài 2: LUYỆN TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm

1
y = x+
c) CĐ: (–1; –2); CT: (1; 2)
x
1 3
c)
d) CT:
15
'

 ;
÷
2 2 

d)

y = x2 − x + 1

Hoạt động 2: Sử dụng qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số
• Cho các nhóm thực hiện. • Các nhóm thảo luận và 2. Tìm các điểm cực trị
của hàm số:
trình bày.
y = x4 − 2 x2 + 1
H1. Nêu các bước tìm Đ1.
điểm cực trị của hàm số a) CĐ: (0; 1); CT: (±1; 0) a)
18

18



π
+ (2l + 1)π
4

c) CĐ:

b)
c)
d)

y = sin 2 x − x
y = sin x + cos x

y = x5 − x3 − 2 x + 1

CT:
d) CĐ: x = –1; CT: x = 1
10
'

Hoạt động 3: Vận dụng cực trị của hàm số để giải toán
H1. Nêu điều kiện để hàm Đ1. Phương trình y′ = 0 có
số luôn có một CĐ và một 2 nghiệm phân biệt.
CT?
y ' = 3x 2 − 2mx − 2
⇔
= 0
luôn có 2 nghiệm phân
biệt.
⇔ ∆′ = m2 + 6 > 0, ∀m

H3. Kiểm tra với các giá
Đ3.
trị m vừa tìm được?
m = –1: không thoả mãn
m = –3: thoả mãn
3. Củng cố (3’)
Nhấn mạnh:
– Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
– Các qui tắc tìm cực trị của hàm số.
4. Hướng dẫn học bài ở nhà
-Về nhà xem lại nội dung lí thuyết và làm bài tập SGK

19

19


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Ngày dạy: ………… tại lớp: …
Ngày dạy: ………… tại lớp: …

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 08
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

yCÑ = y − ÷ =
 3  27

,

yCT = y(1) = 0 y(−2) = −9 y(1) = 0

;

,

.

2. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Nội dung
15
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
'
I. ĐỊNH NGHĨA
• Từ KTBC, GV dẫn dắt
Cho hàm số y = f(x) xác
đến khái niệm GTLN,
định trên D.
GTNN của hàm số.
max f (x) = M
• GV cho HS nhắc lại định • Các nhóm thảo luận và
D
nghĩa GTLN, GTNN của trình bày.
 f (x) ≤ M ,∀x∈ D


min f (x) = −3 = f (1)

(0;+∞ )

⇒
f(x) không có GTLN trên
(0;+∞)
10
'

Hoạt động 2: Tìm hiểu cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
• GV hướng dãn cách tìm
GTLN, GTNN của hàm số
liên tục trên một khoảng.

II. CÁCH TÍNH GTLN,
GTNN CỦA HÀM SỐ
LIÊN TỤC TRÊN MỘT
KHOẢNG
Dựa vào bảng biến thiên
để xác định GTLN, GTNN
của hàm số liên tục trên
một khoảng.
VD2: Tính GTLN, GTNN

H1. Lập bảng biến thiên Đ1.
của hàm số ?

của hàm số

 0; ÷
 2
toán ?
Đ2. Tìm x0 ∈
sao
21

VD3: Cho một tấm nhôm
hình vuông cạnh a. Người
ta cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập
tấm nhôm lại thành một
cái hộp không nắp. Tính
cạnh của các hình vuông
bị cắt sao cho thể tích của
khối hộp là lớn nhất.
21


Giải tích 12

Trần Sĩ Tùng

cho V(x0) có GTLN.
H3. Lập bảng biến thiên ?

Đ3.

2a3
maxV (x) =


Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 09-10
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTCỦA HÀM SỐ(tiếp)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
− Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập hợp số.
− Nắm được qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số.
2. Kĩ năng:
− Biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
− Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số.
3. Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic
và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
2. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về cực trị và GTLN,
GTNN của hàm số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ: (10')
H. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = − x2 + 3 x − 2

?

3 1
maxy = y ÷ =
R
2 4

-1

1

2

3

-2

• GV cho HS xét một số
VD. Từ đó dẫn dắt đến qui
tắc tìm GTLN, GTNN.
VD: Tìm GTLN, GTNN

-4
-6
-8

a)

min y = y(1) = 1
[ 1;3]

23

2. Qui tắc tìm GTLN,
GTNN của hàm số liên
tục trên đoạn [a; b]
• Tìm các điểm x1, x2, …,

• Tìm số lớn nhất M và số
nhỏ nhất m trong các số
trên.
M = max f (x), m= min f (x)
[a;b]

[a;b]

Chú ý theo dõi, thực hiện
Hướng dẫn HS giải VD giải VD theo hướng dẫn VD: Tìm GTLN, GTNN
của hàm số trên đoạn:
của GV
theo các bước
a) [–1; 2] b) [–1; 0]
c) [0; 2]
d) [2; 3]
Hoạt động 2: Kiểm tra 15 phút
Đề bài
Cho hàm số
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn
Đáp án
- TXĐ:
- Ta có ,
- Bảng biến thiên

Điểm
0,5
2,0
2,5


y = x3 − x2 − x + 2


1
x
=
−

y' = 0 ⇔
3

x = 1

a) [–1; 2]
c) [0; 2]

 1  59
y − ÷ =
 3  27

VD2: Tìm GTLN, GTNN
của hàm số

y(1) = 1

;
• Chú ý các trường hợp a) y(–1) = 1; y(2) = 4
min y = y(−1) = y(1) = 1
khác nhau.


⇒

min y = y(1) = 1
[ 0;2]

maxy = y( 2 ) = 4
[ 0;2]

d) y(2) = 4; y(3) = 17

⇒

min y = y(2) = 4
[ 2;3]

maxy = y( 3) = 17
[ 2;3]

3. Củng cố (5’)
Nhấn mạnh:
– Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn.
– So sánh với cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một khoảng.
4. Hướng dẫn học bài ở nhà
-Về nhà xem lại nội dung lí thuyết và làm bài tập SGK

25

25