Hồ quang quý, chu văn lanh
đoàn hoài sơn, Mai văn lưu

Cơ sở

Quang tử học
(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội


Cơ sở quang tử học

1

_________________________________________________________________

Chng 1

quang học của tia sáng
1.1. Các tiên đề của quang học tia sáng
Tiên đề 1.
Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray). Tia sáng được phát xạ từ
các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng
gặp đầu thu (detecter).
Tiên đề 2.
ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical
medium) đặc trưng bởi đại lượng

n 1
gọi là chiết suất (refractive index).


Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng.
Thời gian ánh sáng cần để đi từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài
quang trình.
Tiên đề 4.
Nguyên lý Fermat (Fermats principle). Các tia ánh sáng
truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó
trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực
trị so với quang trình bên cạch. ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc
độ thay đổi bằng không, tức là
B


0 n(r )ds



(1.2)

A

Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn. Tuy
nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu. Trong trường hợp này, chúng
ta có thể phát biểu:
Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức
là theo quang trình ngắn nhất.
Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính
trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều
quang trình khác nhau. Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục.
Hệ quả:

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương
phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết
suất n1 và n2 ) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau
gương nếu n1 n2 . Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Tia đi
vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ. Hướng truyền của tia
khúc xạ tuân theo định luật Snell:

n1 sin 1 n2 sin 2 .

(1.3)

Từ hệ thức này có thể phân ra hai trường hợp đặc biệt:
* Phản xạ ngoài ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất thấp hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc ra xa biên.
* Phản xạ trong ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất cao hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc vào gần biên.


Chương 1. Quang học của tia sáng
4
_______________________________________________________________________

n1
c

n1

n2 > n1

n2

(1.5)

trong đó, z1 , z2 tương ứng là vị trí của nguồn sáng và ảnh so với tâm
gương cầu (P). Vị trí cụ thể của ảnh hay dấu của z2 phụ thuộc vào cấu


Cơ sở quang tử học

5

_________________________________________________________________

trúc mặt gương (dấu của tiêu cự f ), âm khi mặt gương lồi và dương
khi mặt gương lõm.
Gương cầu như trong hình 1.4, thường được sử dụng để tạo chùm
tia tựa song song từ một nguồn sáng đẳng hướng (ví dụ đèn pin).
1.2.4 Gương ellip (Elliptical Mirror)
Một gương hình ellip (hình 1.5) phản xạ tất cả các tia sáng từ tiêu
điểm thứ nhất P1 đến tiêu điểm thứ hai P2. Quang trình của tất cả các
tia đi từ P1 đến P2 bằng nhau, tuân theo nguyên lý của Hero.

P1

P2

Hình 1.5 Phản xạ từ mặt gương Ellip.
1.2.5 Lăng kính (Prism)
Một lăng kính có góc ở đỉnh và chiết suất n sẽ lái tia ra tạo với
tia tới một góc


(1.7)

1.2.6 Biên cầu (Spherical Boundaries)
Giả sử có một biên cầu bán kính R giữa môi trường chiết suất n1
và n2 (hình 1.7). R dương khi biên lồi và R âm khi biên lõm. Sau khi
sử dụng định luật Snell và gần đúng cận trục, tức là, giả thiết
tg , chúng ta rút ra một số tính chất sau đây:
* Một tia sáng tạo với trục z một góc 1 gặp biên cầu tại một
điểm cách trục z một khoảng y. Tia này sẽ bị khúc xạ và đổi hướng
sao cho tia khúc xạ tạo với trục z một góc
n
n n
2 1 1 2 1 y
(1.8)
n2
n2 R

Hình 1.7 Khúc xạ qua biên cầu lồi (R>0).
* Tất cả các tia xuất phát từ điểm gốc P1=(y1, z1) trên mặt
phẳng z=z1 sẽ gặp nhau ở điểm P2=(y2, z2) trên mặt phẳng z2 và thoả
mãn các hệ thức sau:
n1 n2 n2 n1


z1 z 2
R

và


Thấu kính cầu được giới hạn bởi hai mặt cầu có bán kính cong R1
và R2 có độ dày và chiết suất n (hình 1.8).

Hình 1.8 Thấu kính tạo bởi hai biên cầu lồi.
Thấu kính thủy tinh trong không khí được xem như kết hợp
giữa hai mặt biên cầu, không khí-thủy tinh và thủy tinh-không khí.
Thấu kính mỏng được định nghĩa khi độ dày tại trục chính rất nhỏ,
sao cho, y1 của tia tới bằng y2 của tia ló và bằng y. Khi đó
* Hệ thức giữa góc tới và góc ló
2 1

y
f

(1.11)


Chương 1. Quang học của tia sáng
8
_______________________________________________________________________

trong đó, f gọi là tiêu cự thấu kính.
* Tiêu cự của thấu kính
1
f


n 1 1 1
R1 R2


tức là n(r ) . Theo tiếng Anh, thuật ngữ Graded-Index Medium được
viết tắt là GRIN medium, mô tả môi trường có chiết suất thay đổi. Do
đó, từ đây chúng ta gọi môi trường này là môi trường GRIN. Đây là
loại vật liệu được chế tạo bằng cách cấy thêm các phụ gia với nồng


Cơ sở quang tử học

9

_________________________________________________________________

độ được khống chế theo không gian. Trong vật liệu GRIN ánh sáng
không truyền theo đường thẳng mà truyền theo quỹ đạo cong (curve
trajector).
1.3.1 Phương trình tia (the ray equation)
Quỹ đạo của tia sáng trong môi trường không đồng nhất có chiết
suất n(r) tuân thủ nguyên lý Fermat
B


n(r )ds 0 .


A

Nếu quỹ đạo được xác định bởi ba hàm x(s), y(s), z(s), trong đó, s
là độ dài của quỹ đạo (hình 1.10), thì sau khi sử dụng phép tách biến
ta có hệ phương trình đạo hàm riêng sau
d dy n


Hình 1.10 Quỹ đạo tia trong môi trường GRIN
mô tả bởi x(s), y(s) và z(s).
1.3.2 Phương trình cho tia gần trục
Đối với các tia gần trục thì dsdz (hình 1.11), do đó, hệ phương
trình (1.13) được rút gọn như sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
10
_______________________________________________________________________

d dx n
n
,
dz dz x

d dy n
n
dz dz y

(1.15)

Hình 1.11 Quỹ đạo của tia gần trục trong GRIN.
Khi chiết suất n( x, y, z ) cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng
có thể giải được cho hai quỹ đạo x( z ) và y ( z ) .
Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là,
chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sẽ có
d 2 x / dz 2 0 và d 2 y / dz 2 0 , tức là x và y là hàm tuyến tính của z,
suy ra, quỹ đạo là đường thẳng.


(1.16)

trong đó, n0 là chiết suất tại trục, là hằng số mô tả tốc độ giảm của
chiết suất, là bán kính hướng tâm.

Hình 1.13. Tia kinh tuyến (a) và tia xoắn ốc (b)
trong sợi quang GRIN.
Phương trình tia của sợi quang GRIN như sau:
d2y
d 2x
2



x
2 y
,
(1.17)
2
2
dz
dz
2 2
2 2
2
với giả thiết x y 1 , tức là chiết suất giảm chậm từ
trục.
Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ
2 / . Vị trí ban đầu x0 , y0 và góc tại z là x 0 dx / dz và

(1.19)
y z y0 cos z
và tia truyền theo quỹ đạo xoắn ốc nằm trên mặt của ống trụ có bán
kính y0 (hình 1.13b). Cả hai trường hợp này, quỹ đạo vẫn nằm trong
sợi quang, do đó, sợi quang được ứng dụng như linh kiện dẫn ánh
sáng. Sợi quang này sẽ được ứng dụng trong thông tin quang.

1.4. Quang học ma trận
1.4.1 Ma trận truyền (transfer matrix)
Một hệ quang là một tập hợp các linh kiện quang học (môi trường
truyền, gương, thấu kính, bản chia, ) xếp kế tiếp nhau giữa hai mặt
phẳng ngang tại toạ độ z=z1 và z=z2. Hai mặt phẳng này được gọi là
mặt phẳng vào và mặt phẳng ra. Hệ này sẽ tác động lên tia sáng đi
qua nó. Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với
trục của hệ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14).
Với phép gần đúng cận trục, khi góc lệch của tia sáng so với trục
đủ nhỏ sao cho sin, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu
ra được viết như sau:
y 2 Ay1 B1
(1.20)


Cơ sở quang tử học

13

_________________________________________________________________

2 Cy1 D1


_______________________________________________________________________

y2 1 d y1
0 1
1
2

hay ma trận truyền có dạng
A B 1 d
M


C D 0 1

(1.23)

* Khúc xạ trên biên phẳng
Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và
n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell. Trong gần đúng
cận trục, n sin n , còn vị trí của tia không đổi, y1 y2 , do đó, ma
trận truyền có dạng sau:
1
M 0



0
n1
n2



(1.26)


Cơ sở quang tử học

15

_________________________________________________________________

trong đó, f là tiêu cự thấu kính, f > 0 khi thấu kính lồi và f < 0 khi
thấu kính lõm.
* Phản xạ trên mặt gương phẳng
Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia
cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:
1 0
M

0 1

(1.27)

* Phản xạ trên gương cầu
Xem gương cầu như một thấu kính mỏng có tiêu cự f 2 / R ,
trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:
1 0

M 2
(1.28)
R 1


Đây là ma trận có thể dùng phương pháp lặp để xác định (ym, m)
từ (ym-1, m-1) bằng máy tính.
Từ (1.30) ta dẫn ra hệ thức truy toán cho vị trí của tia

ym2 2bym1 F 2 y m1

(1.31)

Hình 1.15 Hệ quang tuần hoàn.
trong đó
b

A B
2

(1.32)

F 2 AD CB detM

(1.33)

Det[M] là định thức của ma trận M.
Hệ thức truy toán trên chỉ dùng để giải bằng máy tính, sau đây là
phương trình tính chính xác vị trí của tia sau khi đi qua hệ tuần hoàn

ym ymax sin(m 0 )

(1.34)
Để ym là hàm điều hòa, thì cos 1b phải là số thực. Điều này yêu

Một tia sáng truyền qua hệ liên tục, gồm nhiều hệ quang giống
nhau có ma trận truyền (A,B,C,D) với AD-BC=1, theo một quỹ đạo
tuần hoàn khi điều kiện ổn định A D / 2 1 thỏa mãn. Vị trí của
tia sau chu kỳ thứ m sẽ là y m y max sin(m 0 ) , m=0,1, 2,,
trong đó, cos 1 A D / 2 . Giá trị ymax và 0 được xác định từ
giá ban đầu y0 và y1=Ay0+0d, trong đó, 0 góc lệch ban đầu của tia.
Góc của tia liên hệ với vị trí của nó qua hệ thức m ym1 Aym / B
và tuân theo hàm điều hòa m max sin(m 1 ) . Trong gần đúng cận
trục thì max 1 . Quỹ đạo của tia có chu kỳ s khi / 2 là phân số
q/s, trong đó, q là số tự nhiên.

Hình 1.16 Chuỗi chu kỳ của các thấu kính.
Ví dụ: một hệ gồm nhiều thấu kính tiêu cự f, đặt cách nhau một
khoảng d (hình 1.16). Như vậy, hệ quang đơn vị gồm một khoảng
không gian d và thấu kính. Hệ này có A=1, B=d, C=-1/f và D=1-d/f.
Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f và giá trị định thức bằng 1. Điều
kiện ổn định tia b 1 hay 1 b 1 sẽ cho ta

0d 4f

(1.37)
tức là, khoảng cách giữa hai thấu kính phải nhỏ hơn bốn lần tiêu cự.
Với điều kiện này thì vị trí của tia tuân thủ hàm điều hòa sau:
d
ym ymax ( m 0 ), cos 1 (1
)
(1.38)
2f
Nếu d=2f, / 2 , khi đó chu kỳ lặp của quỹ đạo là / 2 1/ 4
(hình 1.17a). Do đó, quỹ đạo của một tia bất kỳ sẽ là một đường lặp

0 1 1 1
R1 R2

(1.40)

là điều kiện ổn định của buồng cộng hưởng quang học cầu, trong đó,
L là độ dài buồng cộng hưởng. Thay các giá trị của L và R1, R2, chúng
ta tìm được chu kỳ ổn định của buồng cộng hưởng quang học. Vấn
đề này, được đề cập trong các giáo trình laser.


Cơ sở quang tử học

19

_________________________________________________________________

Chng 2

quang học sóng của ánh sáng
Quang học tia, nghiên cứu trong chương 1, cho chúng ta biết
đường đi của một tia sáng trong không gian nói chung và trong từng
không gian nói riêng. Mỗi không gian thành phần, có những đặc
trưng riêng biệt về cấu trúc vật lý như: kích thước, hình dáng và đặc
biệt là chiết suất so với không gian thành phần bên cạnh và được gọi
là một hệ quang học. Nhờ các hệ quang học này, chúng ta có thể lái
chùm tia ánh sáng đi theo một quỹ đạo đã xác định sẵn, đồng thời
biết được quỹ đạo của tia sáng khi đi qua các hệ quang đã cho. Tuy
nhiên, với quang học tia, chúng ta chưa thể hiểu được bản chất của
quá trình truyền ánh sáng trong môi trường, hơn nữa, chúng ta cũng

phấn bố của cường độ điện từ trường trong không gian và trong thời
gian. Mật độ công suất quang cũng được thể hiện thông qua hàm
sóng. Nhưng trước tiên, chúng ta phải có những tiên đề về mẫu sóng
vô hướng, hay còn gọi là quang học sóng. Quang học sóng sẽ xây
dựng nền tảng cơ bản để mô tả các hiện tượng quang học mà quang
học tia không thể giải thích được, bao gồm hiện tượng giao thoa, tán
xạ và truyền lan của ánh sáng trong môi trường.
2.1. Các tiên đề của quang học sóng
2.1.1 Phương trình sóng
Ngoài dạng tia, ánh sáng cũng truyền lan ở dạng sóng. Trong
chân không, ánh sáng truyền lan với vận tốc c0. Một môi trường đồng
nhất, ví dụ như thủy tinh, được đặc trưng bởi một hằng số duy nhất,
đó là chiết suất n ( n 1 ). Vận tốc ánh sáng sẽ giảm khi đi qua môi
trường chiết suất n

c

c0
n

(2.1)

Đây còn gọi là vận tốc ánh sáng trong môi trường.
Bằng công cụ toán học, sóng ánh sáng được đặc trưng bởi hàm

thực của vị trí trong không gian r ( x, y, z ) và thời gian t , ký hiệu là

u (r , t ) và được gọi là hàm sóng. Từ đây, chúng ta không dùng dấu
véc tơ cho r, song phải hiểu r= (x,y,z) là véc tơ.
Hàm sóng thoả mãn phương trình sóng sau (chú ý rằng phương


là toán tử Laplace.
Bất kỳ một hàm nào thỏa mãn phương trình (2.2) đều biễu diễn
cho một sóng quang học nào đó.
Phương trình sóng (2.2) là tuyến tính cho nên nguyên lý chồng
chất có thể áp dụng, tức là nếu
u1 (r , t ) và u2 (r , t )
mô tả cho hai sóng quang thì
u (r , t ) u1 (r , t ) u 2 (r , t )
cũng có thể mô tả một sóng quang nào đó.
Phương trình sóng có thể áp dụng gần đúng trong môi trường mà
chiết suất phụ thuộc vị trí, nếu chiết suất chỉ thay đổi trong khoảng
cách không gian cỡ bước sóng rất nhỏ. Môi trường như vậy gọi là
môi trường đồng nhất địa phương. Với những môi trường này, chiết
suất trong (2.1) và vận tốc trong (2.2) có thể biễu diễn dưới dạng
sau: n r , c(r ) .
2.1.2 Cường độ, công suất và năng lượng
Cường độ quang được định nghĩa như công suất quang của sóng
trên một đơn vị diện tích (đơn vị là W/cm2) và tỉ lệ thuận với trung
bình bình phương hàm sóng

I (r , t ) 2 u 2 (r , t )

(2.3)

Ký hiệu . là lấy trung bình trong khoảng thời gian lớn hơn nhiều
so với chu kỳ quang học, nhưng nhỏ hơn so với khoảng thời gian
quan tâm, ví dụ như độ rộng của một xung ánh sáng. Độ rộng của
một chu kỳ quang rất ngắn. Ví dụ, ánh sáng bước sóng 600 nm có
chu kỳ quang học 2 1015 s 2 fs (femto giây).

2.2.1 Hàm sóng đơn sắc
Trong hình 2.1 là mô tả sóng đơn sắc và các đại lượng của nó.

Hình 2.1 Mô tả sóng đơn sắc tại vị trí xác định r.
(a) Hàm sóng theo thời gian; (b) Biên độ phức U a exp( j)
gọi là biên pha cố định; (c) Hàm sóng phức U (t ) U exp( j 2t )
là biên pha quay với vận tốc góc 2 .
Một sóng đơn sắc (sóng có một bước sóng lý tưởng) đặc trưng bởi
hàm sóng thay đổi điều hòa theo thời gian (xem hình 2.1)

u (r , t ) a (r ) cos2t r

(2.6)


Cơ sở quang tử học

23

_________________________________________________________________

trong đó, a(r) là biên độ, (r) là pha, là tần số (số chu kỳ/s hay Hz),
=2 là tần số góc (radian/s).
Cả biên độ và pha đều phụ thuộc vào vị trí, nhưng hàm sóng là
hàm điều hoà theo thời gian với tần số tại tất cả các vị trí. Tần số
của sóng quang học nằm trong vùng từ 3.1011 đến 3.1016 Hz.
2.2.2 Hàm sóng phức (biễu diễn phức)
Để cho thuận tiện, chúng ta có thể biểu diễn hàm sóng thực
u (r , t ) của sóng đơn sắc qua hàm phức:


gọi là biên độ phức (chỉ phụ thuộc vào vị trí).
Khi sử dụng biên độ phức thì biên độ thực có thể biểu diễn qua
biên độ phức như sau


Chương 2. Quang học sóng của ánh sáng
24
_______________________________________________________________________

u(r, t ) Re U (r ) exp( j 2 t )


1
U (r)exp( j 2 t ) U *(r)exp( j 2 t ) (2.10)
2

Tại mỗi vị trí xác định r , biên độ phức U (r ) là biến phức, độ lớn
U (r ) a(r ) là biên độ của sóng và biến arg U (r ) (r ) là pha của
sóng. Hàm sóng phức U (r ) được mô tả bằng hình học bởi pha quay
với vận tốc góc 2 rad/s (hình 2.1c). Giá trị ban đầu tại t=0 là
biên độ phức U (r ) .
2.2.4 Phương trình Helmholtz
Thay U (r , t ) U (r ) exp j 2t vào phương trình (2.9), ta nhận
được phương trình vi phân
2 k 2 U (r ) 0
(2.11)
gọi là phương trình Helmholtz, trong đó,