BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HOA

SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG VÀO GIẢI
CÁC BÀI TẬP TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Phạm Ngọc Thƣ

Sơn La, năm 2017


LỜI CÁM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Phạm Ngọc Thƣ, ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và
thực hiện làm khóa luận tốt nghiệp.
Em cũng xin chân thành cám ơn ý kiến đóng góp và những kinh nghiệm quý
giá của các thầy cô trong tổ bộ môn Vật lí, cùng các thầy cô trong khoa đã tạo
điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp và em không thể
quên gửi lời cám ơn đến các thầy cô trong trung tâm Thông Tin - Thƣ Viện của
Trƣờng Đại Học Tây Bắc.
Khóa luận tốt nghiệp của em còn rất nhiều thiếu sót về kiến thức và kĩ năng
nên em rất mong sự đóng góp nhiệt tình của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!.
Sơn la, ngày tháng

năm

2.2. Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến ........................................................... 25
2.2.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 25
2.2.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 26
2.2.3.Bài tập áp dụng........................................................................................ 42
2.3. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian .................................................................. 43


2.3.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 43
2.3.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 44
2.3.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 48
2.4. Phƣơng pháp biến phân ............................................................................. 51
2.4.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 51
2.4.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 51
2.4.3. Bài tập áp dụng. ...................................................................................... 55
2.5. Phƣơng pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers - Brillouin)
......................................................................................................................... 57
2.5.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 57
2.5.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 57
2.5.3. Bài tập áp dụng. ...................................................................................... 62
KẾT LUẬN...................................................................................................... 64
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 65
CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 66


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn khoá luận:
Trong nửa đầu thế kỉ XX, một trong các ngành phát triển và có các thành tựu
quan trọng đó là ngành Vật lý bằng việc hình thành những lý thuyết cơ bản của
Vật Lý học.
Cơ học lƣợng tử là một trong những lý thuyết cơ bản đó, nó nghiên cứu

cho từng phƣơng pháp.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Phân loại và giải các bài toán trong cơ học lƣợng tử bằng các phƣơng pháp
gần đúng trong cơ học lƣợng tử.
4.Đối tƣợng nghiên cứu:
Khóa luận sẽ nghiên cứu ba phƣơng pháp gần đúng trong cơ học lƣợng tử:
Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân và phƣơng
pháp gần đúng cổ điển WBK. Mỗi phƣơng pháp bao gồm một hệ thống lý thuyết
và bài tập đƣợc phân loại, sắp xếp theo mức độ và giải một cách chi tiết.
5.Phạm vi nghiên cứu:
Chỉ chú trọng nghiên cứu chƣơng “Phƣơng pháp gần đúng trong cơ học lƣợng
tử” nhất là các bài tập của chƣơng này.
6.Phƣơng pháp nghiên cứu:
Phân tích lý thuyết của các phƣơng pháp gần đúng (lý thuyết nhiễu loạn và
phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp gần đúng cổ điểnWent - Kramers Brillouin (WBK) ).


CHƢƠNG I: CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
1.1.Lý thuyết nhiễu loạn.
1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng
1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Giả sử Hamiltonian của một hệ lƣợng tử đƣợc viết dƣới dạng:

ˆ=
ˆ + 
ˆ .

0
1

1
n
n

(1.2)

Tìm:  n : Trạng thái của hệ có suy biến. n
 n : Năng lƣợng của hệ ở trạng thái n (năng lƣợng mức n) và có suy

biến.
Chọn hệ cơ sở không gian Hilber  n
Khai triển:  n = +

 C  
k n


nk

.

k



 n m  n,m
thỏa mãn: 
n n  1

n

1
n  là phần bổ chính bậc 1 của năng lƣợng ở mức thứ n.
2
n  là phần bổ chính bậc 2 của năng lƣợng ở mức thứ n.

Thay (1.3), (1.4) vào (1.2) ta đƣợc:
ˆ + 
ˆ )[  +
(
n
0
1

 C  
k n

1
nk

k

+

  C  
2

k n

= ( n0 + n1 +  2n2 +…) [ n +


của phƣơng trình (1.5):

ˆ  C1  + 
ˆ  +
ˆ  =  0  +  0  C1  + 1  .

0
nk
k
n
nk
k
0
n
1
n
n
n
n
n
k n

k n

Thay phƣơng trình (1.1) và giản ƣớc hai vế ta thu đƣợc:

ˆ  C1  + 
ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1  .

0


0
k

k

ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1  .
+
n
nk
k
1
n
n
n
k n

(1.7)

Chuyển vế và nhân trái hai vế với bra n , ta đƣợc:
1
ˆ  +
ˆ n  n n = n 
1
n

     C 
k n

0

n

0
k

k n

0
n

1
nk

k k .

(1.9)

Sử dụng điều kiện trực giao và chuẩn hóa của trạng thái nhiễu loạn khi
k  n, từ phƣơng trình (1.9) ta thu đƣợc :
1

Cnk

ˆ 
k 
1
n
.
=
0

 .
0
0



ˆ  ˆ  k



k



n

* Tƣơng tự, ta xét gần đúng bậc hai của phƣơng trình (1.5) cho hệ số  2 ở
hai vế bằng nhau để tìm ra phần bổ chính bậc hai của mức năng lƣợng n:
2
ˆ n  =

ˆ 
k 
1
n






ˆ ˆ 



n

k



1.

0
0
ˆ n  ˆ k  khi n  k

Ý nghĩa:
* Yếu tố ma trận của toán tử nhiễu loạn phải có giá trị nhỏ hơn khoảng cách
giữa các mức năng lƣợng bất kì của các trạng thái không nhiễu loạn.
1
ˆ  trong gần đúng bậc 1, phần bổ chính của các mức năng
* ˆ n  = n 
1
n

lƣợng bằng trị trung bình của năng lƣợng nhiễu loạn trong trạng thái không
nhiễu loạn.


1.1.1.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến.


C

ˆ  = ( ˆ + 
ˆ )  = ˆ 

n
n
n
n
0
1
Với  n =

s

C
k 1

k

k 1

k

nk .

(1.13)

nk

n
lk
Nhân trái 2 vế với bra nl và sử dụng điều kiện trực giao ta đƣợc:
s

 Ck n lk +
0

k 1

s

s

k 1

k 1

 Ck nl ˆ 1 nk = n  lk .

ˆ 
  nl 
1
nk
với:  lk
0
  n  n   n

s



Kết luận:
- Khi có nhiễu loạn, mức năng lƣợng ban đầu n0 sẽ tách thành s mức năng
lƣợng khác nhau: n  n   nj ( j = 1, 2, 3…s).
0

- Năng lƣợng kích thích này không bền nên chúng bị phát xạ và nếu sử dụng
máy thu ta đƣợc s vạch phổ năng lƣợng khác nhau.
- Thay một giá trị  nj vào phƣơng trình (1.15) ta thu đƣợc một bộ giá trị Ck .
Vectơ trạng thái của hệ nhiễu loạn suy biến là:  nj   Ck  nj  nk .
s

k 1

1.1.2.Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian.

ˆ 
ˆ 
ˆ .
Hamiltonian phụ thuộc thời gian của hệ có dạng: 
0
1 t 
t

(1.16)

ˆ
Trƣớc hết, ta khai triển các vectơ riêng   t  của Hamiltonian toàn phần 
t
(1.16) theo trạng thái dừng riêng n của:


ˆ  0 hệ có nhiễu loạn:
*Khi 
1

 i t 
 t    Cn t  exp   n  n .


n

(1.18)

Thay khai triển (1.18) vào phƣơng trình Schrodinger:
 dCn t 


 i t 
ˆ C exp   in t   .1.19 
 n Cn t   exp   n  n   n  

 n
1 t   n  t 

dt




n 

- Khi t = 0: hệ chịu tác dụng của nhiễu loạn nhỏ 
- Khi t > 0: Cn t  khai triển thành chuỗi nhiễu loạn Cn  Cn0  Cn1  Cn2  ... 1.22 .
Thay các phƣơng trình (1.20), (1.21) vào (1.22): phƣơng trình đối với Cn t  trong

dCm t 
1

gần đúng bậc một ( m  i): i

1
m t 

Có nghiệm: C



Cm t   mi 

i

i

dt

 i   m  i  
ˆ  .
  ni exp  
t  m 
i
1 t 


Nghiệm dùng đƣợc khi C1m t 

1và lúc này hệ sẽ nhận tác động từ bên ngoài,

ta nói hệ nhiễu loạn.

ˆ của một
Theo tiên đề về phép đo của cơ học lƣợng tử, xác suất để phép đo 
2

hệ ở thời điểm t nhận giá trị  m đƣợc xác định bởi: im  Cm t  .
Khi tất cả chuyển sang trạng thái lƣợng tử thì: i t    im   Cm t  .
2

m

m

Xét hệ chịu tác động của nhiễu loạn tuần hoàn.
it
 it
ˆ  2
ˆ sin  t    1  
ˆ

1
  1 e  e  .
1 t 
i

1
m t 

2i

t



ˆ  dt sin teimi t .
m 
1
i

0

Thay 2isin t  eit  eit (công thức Euler).

C m t 

t
ˆ  t
m 
i mi  t
i mi  t  
1
i




 mi


(1.23)

Khi đó sẽ có hai khả năng xảy ra:
Khi mi    0  m  i   : Quá trình chuyển từ trạng thái i  m thực
chất là quá trình phát xạ năng lƣợng bằng  .
Khi mi    0  m  i   : Quá trình chuyển từ trạng thái i  m thực
chất là quá trình hấp thụ năng lƣợng bằng  .
Trên thực tế trong biểu thức (1.23) chỉ có một phân thức hoạt động:
- Quá trình phát xạ năng lƣợng thì phân thức một hoạt động.
- Quá trình hấp thụ năng lƣợng thì phân thức hai hoạt động.
Xác suất chuyển dời từ trạng thái i về trạng thái m.
2

 i  m  C m t  
Ta có: e 

i mi  t

2

ˆ 
m 
1
i
2

2

i
2

e

2

2

sin 2  mi  
 mi   
 2 

2

t
2.


Vì

sin 2  mi   
  mi   


2



t

Do vậy     a *ma n mn khi m = n thì     a n .
2

n,m

n

ˆ    a a U 
ˆ U   a  a  U U   a 2 .

n
n
m n
m
n
m n n
m
n
m,n

m,n

n


ˆ 
 
n

a n n

ˆ
 
 i

:     1,  2

.

 0.

  1 ,  2

  1 ,  2

 ˆ   1,  2 
   1,  2 

năng

lƣợng này rất gần với năng lƣợng trạng thái cơ bản của hệ.
Nhƣ vậy, để tính năng lƣợng của hệ ở trạng thái cơ bản đƣợc quy về việc tính
đạo hàm của năng lƣợng trung bình theo các thông số chƣa biết. Phƣơng pháp
này là phƣơng pháp biến phân.
1.3.Phƣơng pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers Brillouin)
Xét chuyển động của hạt trong hố thế độc lập với thời gian. Phƣơng trình
Schrodinger ở trạng thái dừng:
 2 2
  r   V r  r     r  .
2m




h
h

.
p
2m(E  V r  )

Phƣơng pháp WKB gồm có nghiệm phức của (1.25) :
  r   A  r e

iS r 

.

(1.26)

Trong đó A r  là biên độ và S r  là pha, hàm sóng là thực và không xác định.
Thay (1.26) vào (1.25) ta đƣợc:
 r e


iS r 



1
2






2

 P2r   2m(E  V r  ).



(1.28)



2 A r  . S r   A r 2S r   0.
Trong (1.28) chúng ta bỏ qua các số hạng chứa
hệ cổ điển (nhƣ (



)  2  r 





2

S r  ,P2r  ).


Ta tính nghiệm của (1.30) và (1.31), bằng cách lấy tích phân của phƣơng trình
(1.30) ta đƣợc:





S x     2m E  V x  dx    P x dx.

(1.32)

Rút gọn phƣơng trình (1.31) về:

d 
2ln A x   ln P x    0  A  x  

dx 

C

.

(1.33)

P x 

Trong đó C là hằng số bất ký. Vì vậy (1.32) và (1.33) là pha S x  và biên độ

A x  của hàm sóng WKB ở phƣơng trình (1.26).
Thế (1.33) và (1.32) vào trong (1.26) chúng ta thu đƣợc 2 nghiệm gần đúng của


CHƢƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT
SỐ PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
2.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
2.1.1.Phương pháp:
Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Bƣớc 1: Xác định năng lƣợng và tính chất của hàm sóng khi chƣa nhiễu loạn.

ˆ  =  0   .

0
n
n
n
Bƣớc 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2…cho năng
lƣợng.
1
ˆ  : Năng lƣợng bổ chính bậc 1.
ˆ n   n 
1
n

2
ˆ n   
k n

ˆ 
k 
1
n

Khi chƣa có năng lƣợng: H0  a a.
Vectơ riêng của  0 đƣợc xác định bằng phƣơng trình Schrodinger:


H0 n  a a n  n n
 En   n.
0


 a n  n n 1
Trong đó:  

a n  n  1 n  1

;k  n  1
;k  n  1

Bước 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2..cho năng
lượng.
Phần bổ chính bậc 1 của năng lƣợng ở trạng thái n:
1
En   n H1 n    n a   a n     n

n 1 n 1  n

n n  1 

    n  1n,n 1  n n ,n 1   0.
Phần bổ chính bậc 2 của năng lƣợng ở trạng thái n:



0

 2 22 n 2 




2 2



  k n,k 1
E n   E k 1
0

2  n 2  1
 

2

0



  k  1n,n 1
E n   E n 1
0

0



 Aa
Đặt:  

A  a  

ˆ không có số hạng tuyến tính theo A,A  .
với  là số thực đƣợc chọn sao cho H
 H    A      A        A    A   

   A A  2    A  A   2     A   A 
 A A   2   2          A  A .

ˆ không có số hạng tuyến tính theo A,A  .
Do chọn  để H
    0    
ˆ  A.A   2    A.A    2 .
Thay vào (*) ta đƣợc: H

Ta có phƣơng trình trị riêng:

H n   A.A    2  n  E n n
 E n    n   2   n   2  E n   E n  .
0

2

Nhận xét: Năng lƣợng chỉ gây ra bổ chính bậc 2 khác không. Còn các bổ chính
bậc khác đều bằng không.

1

Phần bổ chính bậc 2 của NL ở trạng thái cơ bản:

E0   

k H1 0

2

k 0

 0

2

 0

E0  Ek

 b2 

2

kx0

 
 
k 0 E 0  E k
0


.

2m

2m

1


0
E0    n   
2 2

1 3 

0
E1    n   
2
2

 2

E 0

b2
 1 
2
2m






Giải chính xác.
Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian.
Từ toán tử Hamiltonian biến đổi để phƣơng trình không còn phụ thuộc vào x .
2

p2 1
p2 1
b 
b2
2 2
2
H
 m x  bx 
 m  x 
.
 
2m 2
2m 2
m2  2m2

Bước 2: Đặt ẩn sao cho việc giải phương trình là đơn giản nhất.


 Pp
 dP  dp


  

Kết luận: Từ kết quả của   và   thì hoàn toàn phù hợp trong cả hai
trƣờng hợp là giải bằng lý thuyết nhiễu loạn và giải chính xác. Phƣơng pháp
nhiễu loạn đƣợc nghiệm đúng khi tính đến bổ chính bậc 2 của năng lƣợng.
2.1.3.Bài tập áp dụng
Bài 3: Xét hạt khối lƣợng m trong hố thế vô hạn một chiều
0
V x   


khi 0  x  a
khi x  0, x  a

a

Hạt chịu tác dụng của nhiễu loạn: W x   A0  x   . So sánh với cách giải
2

chính xác “Chứng tỏ rằng các mức năng lƣợng khả dĩ đƣợc xác định bởi một
2
k
 ka 
 ka 
trong các phƣơng trình sau đây sin    0 hoặc tg    
với
m0
 2 
 2 



;n  2m  1

m  0,1,2,3...

* So sánh với giải chính xác:
1

E n 

k 0 x 2mA0 2 2A0

. 
.
m
a 2 m
a

2

Bài 4: Dao đô ̣ng tƣ̉ điề u hòa mô ̣t chiề u có Hamiltonian : H  H0  V
với: H0  

1
p2 1
 m2 x 2 và V  m2 x 2 là thế nhiễu loạn,  là hằng số.
2
2m 2

a. Hãy tính bổ chính các mức năng lƣợng đến bậc 2.

.

Đáp án:

1

0
a. Năng lƣợng chƣa nhiễu loạn: En    n    .
2

 2n  1 
1
Năng lƣợng bổ chính bậc 1: En   
  .
 4 
 2n  1  2
2
Năng lƣợng bổ chính bậc 2: En    
 .
 18 
b. Năng lƣợng khi tính đến các bổ chính:


1   2n  1 
 2n  1  2 
 0
1
 2
E n   n    
  






1  0
1
0
E1  E2  
2
2

 E   E  
0
1

0
2

2

  2  là
2

 cos 
  sin    1 .



- Vecto riêng ứng với E1 


2

- Với tan  

 0

E

0

E 2  E1 

0 
2

0 

 E1



2

 4   

.
2

Câu b.

E 2  E1 

* So sánh với giải chính xác:

E1   E 2  
0

E

0

 E   E  
0
1

2

0
2

2

 0
 2 2
 E1   0
0
 4 2  2
E 2  E1 



2

kVn

2

En   Ek 
0

0

ma 2 V02

;k  1.
16 1  k 2  2 2

* So sánh với giải chính xác:

V0
ma 2V02
0
1
2
En 

 En   En   En  .
2
2 2
2 16 1  k  
2.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến

Bƣớc 3: Áp dụng phƣơng pháp nhiễu loạn cho trƣờng hợp suy biến và không
suy biế n (các công thức bổ chính).
1
ˆ  : Năng lƣợng bổ chính bậc 1.
ˆ n   n 
1
n