SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Mục Lục
Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

2

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN

2

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP

3

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

1. Tính đơn điệu của hàm số

3

2. Định lý

3

3. Tính chất

3


16

Loại 2. Hệ phương trình có chứa căn thức

18

Loại 3. Hệ phương trình có chứa mũ và logarit

20

Loại 4. Hệ phương trình có chứa lượng giác

23

Bài tập áp dụng

25

IV. HỆ QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

25

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

26

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

27


CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Nghiên cứu đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

và hệ phương trình” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về phương trình và hệ
phương trình qua đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng
học tập của các em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp
giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp
phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự
đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12.
Trong chương trình hoc ở sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương
trình và phương trình chỉ đề cập đến một vài phương pháp giải cơ bản và thường gặp.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 2


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán hay, bài toán thương gặp trong các đề thi tuyển sinh thì
các phương pháp trên lại không giải được. Nên việc đưa thêm một số phương pháp mới
vào giảng dạy cho học sinh để các em nắm bắt được các giải một số bài toán khó hơn,
hay hơn…
III.

TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tính đơn điệu của hàm số


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 Nếu y = f(x) liên tục và nghịch biến trên K thì phương trình f u   0 có nhiều nhất
một nghiệm trên K
 Nếu f(x) liên tục và đơn điệu tăng trên K, g(x) liên tục và đơn điệu giảm trên K thì
phương trình f  x   g  x  có nhiều nhất một nghiệm trên K
 Nếu f(x) liên tục và đơn điệu giảm trên K, g(x) liên tục và đơn điệu tăng trên K thì
phương trình f  x   g  x  có nhiều nhất một nghiệm trên K
 Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên K thì phương trình f(x) = 0 sẽ không
có quá hai nghiệm thuộc K
B. VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Loại 1: Phương trình có chứa căn thức.
4x  1  4x2  1  1  0

Bài 1. Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện:

 4x  1  0
 2
4x  1  0

 x

1
2

1

2

Nhận xét: Ở phương trình này ta chứng minh vế trái là một hàm đồng biến trên miền xác
định. Sau đó nhẩm được nghiệm thỏa mãn, từ đó suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất
của phương trình. Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác.
Bài 2. Giải phương trình sau:

x3  4 x  5  x  1  0

(1)

Giải:
Điều kiện: x  1
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 4


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
Xét hàm số f ( x)  x  14x  5  x  1 với x 1; 

f '( x)  3x2  4 

có

2 x 1

 0, x  0


x 512
 x4x125 x344x4x5 8 4x  5


  2x  1  3 2x  1 
3





3

4x  5  3 4x  5

1

 5
t    ;  
Xét hàm số : f t   t  3t với  4
 5
5
t    ;  
f '  t   3t 2  3  0, t  
 4
4 nên hàm số f(t) đồng biến với
Ta có:
3



suy ra u = v. khi đó ta giải phương trình u = v. Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì
vẫn còn phương pháp khác

Bài 4. Giải phương trình:
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

x 3  3x 2  4 x  2   3 x  2  3x  1
Trang: 5


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giải

1
x3  4 x 2  2 x x2 3x  1  3x 3x  1  x 2  2 x  2
3
Điều 3kiện:2
 x  3x  3x  1   x  1    3x  1  1 3x  1





  x  1   x  1 
3





suy ra u = v. khi đó ta giải phương trình u = v. Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì
vẫn còn phương pháp khác
Bài 5. Giải phương trình:
Giải:
3



x3  3x 2  3x  1  3 3 3x  5



x  3x2  3x 1  3 3 3x  5  x3  3x2  3x  1  3  x  1  3x  5  3 3 3x  5

  x  1  3  x  1 
3



3

3x  5



3

 3 3 3x  5

(1)


Trang: 6


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

16 x3  24 x 2  16 x  3  5 3 3x  2

Bài 6. Giải phương trình:

16 x3  24 x 2  16 x  3  5 3 3x  2

 2  8 x3  12 x 2  6 x  1  10 x  5    6 x  4   5 3 3 x  2
Giải
 2  2 x  1  5  2 x  1  2  3 x  2   5 3 3 x  2
3

 2  2 x  1  5  2 x  1  2
3



3

3x  2



3


 xx 12
x 1  0
 2

 x  1  3
8 x  4 x  1  0

4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

x  1; x 

1  3
4

Nhận xét: Ở phương trình này ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau đó xét
hàm đặc trưng của nó. Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến trên miền xác đinh. Từ đó
suy ra u = v. khi đó ta giải phương trình u = v. Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì
vẫn còn phương pháp khác
Bài 7. Giải phương trình:

3

6 x  1  4 x  8 x3  1

3
6 x  1  4 x  8 x 3  1   6 x  1  3 6 x  1  8 x 3  2 x
Giải




SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Khi đó
phương1trình (*) trở 1thành:
3
4cos t - 3cos t 

2

 cos 3t 

2

 3t  



3

5
7
t  ;t 
;t 
t 0; 
9
9
9
Mà

suy ra u = v. khi đó ta giải phương trình u = v. Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì
vẫn còn phương pháp khác

Bài 8. Giải phương trình:

 4 x  2 

 



1  x  x 2  1  3x 2  9 x 2  3  0

Giải
Nếu x  0 1thì phương trình vô nghiêm.
Nếu

x

2 thì phương trình vô nghiêm.

 1 
  ;0



Vậy phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm thuộc  2 
  2 x  1  4  4 x  4 x  2   3 x  2  9 x  3 

 4x  2 






t 3 2
với t  0
t
f ' t   t  3  2 
 0, t  0
2
3

3
Ta có:
nên hàm số f(t) đồng biến trên  0; 

Xét hàm số:

Mà phương trình (1) có
dang: f (2x 1)  f  3x 
1
 2 x  1  3x  x  

5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

x



(1)

Loại 2: phương trình có chữa logarit, mũ.
Giải
x 1

x2
Điều kiện: x  3x  2  0 
.
2



Đặt
2
2
Lúc đó : 3x  1x 1u1  1 u . Khi đó phương trình (1) trở thành
u 1
u  x2  3x  2

u0

2

log3 (u  2)   
 5

 2  0  log3 (u  2)  5


2
2

3 5
2 thỏa mãn điều kiện

x1
x x
2
Bài 10. Giải các phương trình sau: 2  2  ( x  1)  0
2

Giải
x1
x x
2
x 1
x x
2
Ta có: 2  2  ( x  1)  0  2  x  1  2  x  x (1)
t
Xét hàm số f (t )  2  t với t 
/
t
Đạo hàm : f (t )  ln2.2  1  0, t  . Suy ra hàm số đồng biến trên .
2
2
Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( x  x)  x  1  x  x  x  1
Vậy x  1 là nghiệm của phương trình
2

  x  1 

Giải

 2x 1 
2
 log 3 
  3  x  1   2 x  1
2
 3  x  1 
2
2
 log 3  2 x  1   2 x  1  log 3 3  x  1   3  x  1  (1)

 


Xét hàm số: f t1  log3 t  t với t  0
f ' t  
 1  0, t  0
t ln 3
Ta có:
nên hàm số f(t) đồng biến trên  0; 



f (2 x  1)  f 3  x  1
Mà phương trình (1) có dang:
 x  2 (n)
2

có:
 log 3 3x  3x  log 3 1  2 x   1  2 x 

1

Xét hàm số: f t1  log3 t  t với t  0
f ' t  
 1  0, t  0
t ln 3
Ta có:
nên hàm số f(t) đồng biến trên  0; 
x
Mà phương trình (1) có dang: f (3 )  f  2x 1
 3x  2 x  1  3x  2 x  1  0 (*)
x
Xét hàm số g ( x)x 3  2 x  1
1
g '( x)  3 ln 3  2; g ''( x)  3x ln 3 3  0, x  
2
Khi đó:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 10


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nên phương trình g ( x)  3  2 x  1  0 có nhiều nhất hai nghiệm
Mà g (0)  g 1  0

x

 x2  x

f t   2t  t

  x  1

2

(1)

Xét hàm số:
với t 
t
Ta có: f ' t   2 ln 2 1  0, t  nên hàm số f(t) đồng biến trên
f ( x  1)  f  x 2  x 
Mà phương trình (1) có dang:
 x 1  x2  x  x2  2x  1  0  x  1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  1
22  32  2 x  3x 1  x  1
x

Bài 14. Giải phương trình:
Giải
Ta2 có:2

x


Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 11


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 15. Giải phương trình:
Giải

2x  3log2 3x 1 1

1
3
Điều
kiện:
2 x  3log 2  3x  1  1  2 x  3 x  3log 2  3 x  1  3 x  1
x

 3log 2 2 x  2 x   3log 2  3 x  1   3 x  1

1

Xét hàm số: f t3  3log2 t  t với t  0
f ' t  
 1  0, t  0
t ln 2
Ta có:
nên f t  đồng biến với t  0
f (2x )  f 3x 1


x

3
x

1

 2016 x 3 x 1
6
2
6
2
Giải: x  x  1
x  x 1

log 2016

2
6
2
4x2  2
2016 x  x 1
 6

 4 x 2  2 20164 x  2  x 6  x 2  1 2016 x  x 1
2
4 x2  2
x  x  1 2016
6



SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đặt u  2cos v với

0v



2 khi đó ta được:
1
1
 2k
8cos v3  6cosv  1  0  4cos v3  3cosv =  cos3v =  v   
2
2
9
3

0v



2 nên

v





; x   2 cos


9

x2  4 x  5
 2 2x  3
2x  3

Giải

3
x
x 2 4 x  5
 log 2
 2 2x  3
 x  2 kiện:
2
Điều
2x  3
2



2
2
  x  2   1  log 2  x  2   1  2 2 x  3  1  l og 2 2 x  3



  x  2   1  2 2 x  3  x 4  8 xnên
 26hàm
x 2  32
 13đồng
 0 biến trên

 

f ( x  22  1)  f 2 2 x  3
  phương
x  1 x3 trình
7 x 2 (1)
19 xcó
 13
 0   x  1 x 2  6 x  13  0
Mà
dang:





2





 x  1 (n)
 2


Mà f (1)  0 từ đó phương
 trình (1) có nghiệm duy nhất t  1.
sin x  1  x   k2
2
Do đó:

Bài 19. Giải phương trình:

 
x   0; 
sin 2 x  cosx - 1= log 2 s inx
 2
với

Giải   
x   0; 
 2  nên 0  sin x  1;0  cos x  1
Vì
sincó:
2 x  cos x  1  log 2 sin x  log 2 cos x  sin 2 x  cos x  1  log 2 sin x  log 2 cos x
Ta
 log 2 cos x  cos x  log 2 sin 2 x  sin 2 x 1

Xét hàm số: f t1  log2 t  t với t  (0;1]
f ' t  
1
t ln 2
Ta có:
t  (0;1]  0  t  1  0  t ln 2  ln 2  ln e  1

Bài 20. Giải phương trình:

1981

sin

x



2

x


6

6


1
 sin 2017 x  cos 2017 x
1981
cos x

Giải
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 14


Xét hàm số:

1981

Nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
Mặt khác f t   0 khi x [-1;0)
Và f t   0 khi x  (0; 1]
Mà phương trình (1)có dang: f (sinx)  f  cosx 
 sin x  cos x  x 

4

 k (n)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

2016

2

x


4

 k

2016sin x  2016cos x  cos2x
2


2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

x


4



k
2

Kết luận: Việc chứng minh hàm số đơn điệu hoặc đồ thị hàm số lồi (lõm) trên miền xác
định cũng như tìm hàm đặc trưng của phương trình không phải là một việc đơn giản.
Cần phải cho học sinh làm một số bài tương đối thì các em mới định hình đươc phương
pháp và nhận được dạng. Tuy nhiên đây không phải là phương pháp duy nhất để giải
phương trình. Có nhiều phương pháp khá hay để giải, việc chon phương pháp phù hợp
là điều cần thiết.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 15


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài tập vận dụng
Giải các phương trình sau:

x  3 x1x3  3x12  x  12
1
e
e 

2x  1 x  1
2 x 1

log tan x
3
6) tan x  2.3 2

8)

32sin x3  3sin x  10.3sin x2  3  sin x  0

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Loại 1: Hệ phương trình đa thức hai ẩn.

3
3

1
x  y  1  0
 3 3
x  y  3y2  4y  x  2  0  2
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: 

Giải
3

t    2; 2 
Xét phương trình f t   t 1982t với 

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 16


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
  2; 2 
f '  t   3t 2  1982  0, t   2; 2 

nên f(t) là hàm nghịch biến trên tập 
f  x   f ( y)  x  y

Mà phương trình (3) có dạng:
2016
2016
Thay y  x vào phương trình (2) ta được: 2x  2  x  1  x  1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:  x; y   1;1 ;  x; y    1; 1

Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

 x 3  5 x  y 3  5 y
 8
4
 x  y  1

1
2

 y
 4 1  5
(vn)
y 
2



Vậy hệphương
1  5trình
1có
 nghiệm:
5
4
4

 x; y   



2

;

2

 ;  x; y     4




1
2
x  y  x  y 
2


 x  13  12  x  1   y  13  12  y  1

2
2
 
1 
1
 x     y    1
2 
2


1  x 

1
2

1
1
3
1
3
1
1   x 


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

 x; y   

1 3
3 1
;   ;  x; y    ;  
2 2
2 2

 x3  y 3  2016  x  y   0
 2
x  xy  y 2  1


Bài 5. Giải hệ phương trình:

1
2

Giải:
3
3
3
3
Từ phương trình (1) ta có: x  y  2016  x  y   0  x  2016x  y +2016 y 3
3
Xét phương trình f t   t  2016t với t 
f ' t   3t 2  2016  0, t 

 x  1  y  1  x3

4
 x  1  y

x 1 0
x  1


y0
y  0
Điều kiện: 

Giải:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 18


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2

 x  1   x  1  1  x3
 x  1  y  1  x3


4
4


Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

 3  x2  2 x  3  y

 3  y2  2 y  3  x

x  0

y0
Giải: Điều kiện: 
 3  x2  2 x  3  y

3  y2  2 y  3  x
Ta có: 
2
2
Trừ vế theo vế ta có: 3  x  3 x  3  y  3 y

(1)

Xét
hàm sốt f (t ) 3 3  t  3 t . Miền xác định: D   0; 
/
2

f (t ) 

3  t2


Suy ra phương trình có nghiệm x  1 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm  x; y  1;1

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 19


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
4
10
6

 x  xy  y  y

4x  5  y2  8  6
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: 

Giải
Điều kiện:

x

1
 2

5
4



4
1
5

 0, x  
4
4x  5 2 x  8

Mà g(1) = 0 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:  x; y   1;1
Loại 3: Hệ phương trình có chứa mũ và logarit

Bài 9. Giải hệ phương trình sau:

x
y

2  2  y  x
 2
2

 x  xy  y  12

Giải 2 x  2 y  y  x


(1)
 2
2

 2
e
y 1

3log  x  2 y  6   2 log  x  y  2   1
3
2


(1)
(2)

Giải:

x  2 y  6 > 0

Điều kiện:  x  y  2  0 (*)
2
2
2
2
x2  1
(1)  e y  x  2
  x 2  1 e x   y 2  1 e y **
y 1
Ta có:
t
Xét hàm số: f (t )  t 1 e với t  0

f '(t )  et  t 1 et  t  2 et  0, t  0

 log 2  3  1  u  3  1  2  
     1  0  4 
2

 3 

3

u

 2   1 u
g (u )  
    1
3   3 

Xét hàm số:
với u 
u
u
 2
2 1
1
g '(u )  
ln


  ln  0, u 
3 3
3
 3 



Giải
Điều kiện: x  0; y  0
Ta có:
1
8y 

1  2x 1  4
2

2

2







 3 2 y  x  2.2 x  3 x  2.2 4 y   3 4 y (*)
2

2

t
Xét hàm số: f  t  t 22.2  3 3t với t  0
f '  t   4t.2 ln 2 
 0, t  0

Xét hàm số: 2
15
g '( y )  50 y.2 25 y ln 2 
 0, y  0
2 5y
g ( y )  225 y 
2

nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; )

1
1
g  0
y
5
Mà  5 
Nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất
4 1
 x; y    ; 
5 5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

 x 2  3 x  ln  2 x  1  y (1)
 2
 y  3 y  ln  2 y  1  x  2 

Giải



Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 22


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Mà phương trình (3) có dạng f2( x)  f ( y)  x  y
2
khi x = y ta có phương trình: x  3x  ln  2x 11  x  x  2x  ln  2x  1  0 (4)
2
x
2
xét hàm số: g ( x)  x  2x  ln  2x 1 với

g '( x)  2 x  2 

2
2
1
 2x 1
 1  0, x  
2
 2 x  1 ln 2
 2 x  1 ln 2

1
( ; )
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 2

Xét hàm số f (t )  tan t  t với

2

f '(t )  tan 2 t  2  0, t nên f(t) là hàm đồng biến

t  1; t 


2

 k

 y f 0( x)  f ( y)  x  y
 y  0
y phương
1  1  trình
y  (3)
y  có
8
Mà
dạng
Thay
x = y vào phương trình (2) ta

 y  2  2 y  1  y  y  8
2  y  8  2 y  1
được:
8


9y2  64y  64  0  
8

 y  
(l )
9


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: x = y = 8

sin2x  2y  sin2y  2x (1)

(2)
2x  3y  
 x, y  0
Bài 13: Giải hệ phương trình sau: 
Giải
sin2x  2y  sin2y  2x  sin2x  2x  sin2y  2y 3
Từ phương trình (1) ta có:
Xét hàm số: f  t   sin2t  2t với t > 0
f '  t   2cos2t  2  0 ,t > 0
f t
0; 
nên   là hàm đồng biến trên khoảng 
f x  f  y  x  y
Mà phương trình (3) có dạng:  

5x    x 
5 (thỏa mãn)
Thay x  y vào phương trình (2) ta được:

t   m
f  t   tant  2016t
2
Xét hàm số:
với

f  t   tan2 t  2017  0, t   m
2

t   m
f t 
2
nên
là hàm đồng biến trên khoảng với nọi
f x  f  y  x  y
Mà phương trình (3) có dạng:  
x2017  x2015  2  0 * 
Thay x  y vào phương trình (2) ta được:
g x  x2017  x2015  2
Xét hàm số  
với x 
2016
2014
g'  x  2017x  2015x  0, x 
nên g(x) là hàm đồng biến trên tập
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 24

3

phương

 4x2  y2  2 3  4x  7
1) 

 x y  yx
 2
2
3)  x 2 4y  25
x  2x  6.log3  6  y  x

 2
 y  2y  6.log3  6  z  y
 2
 z  2z  6.log3  6  x   z
5) 
4
4

 x 1  x 1  y  2  y
 2
x  2 x  y  1  y 2  6 y  1  0
7) 

IV.

 3  x2  2 x  3  5  y  3

 3  y2  2 y  3  5  x  3
2) 






 x 3 y  y 4  28
 2
x y  2 xy 2  y 3  18 2
8) 

HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc đưa ra các phương pháp giải về phương trình
và hệ phương trình như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức. Từ đó học
sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán về giải phương
trình và hệ phương trình, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng,
năng lực tư duy và kỹ năng giải toán của học sinh được nâng cao, nhất là học sinh khá
giỏi. Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tương tự, trên
cơ sở đó học sinh có thể giải được các bài toán tổng hợp. Đối với bài kiểm tra các em
trình bày chặt chẽ logic, kết quả cao, với kết quả như sau :
Trong năm học 2013 - 2014, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát
và kết quả cụ thể như sau :
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang: 25