MỤC LỤC
Mục

Nội dung
1. MỞ ĐẦU

Trang
1

1.1.

Lý do chọn đề tài……………………………………………………………

1

1.2.

Mục đích nghiên cứu………………………………………………………

1

1.3.

Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………..

2

1.4.

Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

16

Kết luận………………………………………………………………………..

16

Kiến nghị………………………………………………………………………

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
1. THCS: Trung học cơ sở
2. THPT: Trung học phổ thông
3. TW: Trung ương


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học cơ bản, được rất nhiều người quan tâm và
nghiên cứu. Với vai trò là môn học công cụ để phát triển tư duy logic, môn toán
góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Do vậy, dạy Toán như thế nào để học sinh nắm vững kiến thức cơ bản một
cách có hệ thống và nâng cao, phát triển để các em hứng thú say mê trong học
tập là câu hỏi mà mỗi nhà giáo luôn phải đặt ra và tìm mọi cách để trả lời.

- Qua các dạng toán này giúp cho học sinh được ôn lại các kiến thức đã học
ở các lớp dưới. Đặc biệt là được ôn lại nội dung của chương III: Góc với đường
tròn.
-Qua mỗi bài tập giúp cho học sinh biết cách nhận xét, sử dụng giả thiết bài
toán tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài. Qua gợi mở của giáo viên, học
1


sinh tìm nhiều hướng giải khác nhau. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải
hợp lý nhất, phù hợp nhất đối với các em. Cuối cùng học sinh phát hiện ra được
cách giải tương tự và khái quát thành các phương pháp chứng minh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hóa trong năm
học 2016 – 2017.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi vận dụng kết hợp một số phương pháp sau:
- Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu.
- Phương pháp phân tích đi lên.
- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh.
- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu
hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần
bằng nhiều hình thức khác nhau.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên đề
theo nội dung đề tài.
- Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Qua thực tế trước khi thực hiện áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra
tình hình, thực trạng học tập môn Hình của học sinh lớp 9A3 và 9A4 trường
THCS Lê Lợi thông qua việc kiểm tra miệng lý thuyết, thăm dò sở thích của học
sinh và bằng bài kiểm tra:
Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường tròn.
Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD cắt
đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại N. Hai dây AF và BE cắt
nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Qua khảo sát tôi nhận thấy trong khi chứng minh tứ giác nội tiếp các em
còn mắc những sai lầm đáng tiếc vì thế nên có kết quả còn thấp cụ thể như sau :
Bảng khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Bảng 1:
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Tổng
9 - 10
7- 8
5-6
3-4
0–2
số
SL
TL
TL
TL

10

12.8

Từ kết quả khảo sát trên tôi thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên
là 51,3%, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu còn cao 48,7%. Tỉ lệ học sinh đạt điểm
khá giỏi rất ít. Học sinh còn lúng túng trong cách chứng minh, trình bày chứng
minh chưa thật sự chặt chẽ và chủ yếu học sinh mới sử dụng định nghĩa để
chứng minh được tứ giác nội tiếp mà chưa có cách làm nào khác được sử dụng.
Do đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở, tìm tòi và đã mạnh dạn đưa ra
4


để chia sẻ, cũng như mong muốn các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôi
hoàn thiện đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm
nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố
Thanh Hoá”.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
- Qua các tiết dạy trên lớp, tiết ôn tập, giáo viên tiến hành khảo sát, so sánh,
đối chiếu qua thực tế bài tập học sinh làm và các bài kiểm tra.
- Giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho
một bài toán.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát,
đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải.
- Qua các ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng
minh.
- Học sinh học lí thuyết một cách chủ động, chủ yếu là chương III: “Góc
với đường tròn”.
A. Lý thuyết.
Học sinh được ôn tập về các kiến thức ở các lớp (Thông qua các bài tập),

+ Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc;
5


+ Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích;
B. Bài tập minh hoạ:
Chú ý:
Để học sinh có thể chứng minh tốt một bài toán hình, chúng ta cần tích
cực rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau:
- Kỹ năng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận.
- Kỹ năng suy luận và chứng minh, kỹ năng tính toán.
- Kĩ năng suy luận ngược từ cuối để tìm ra cách chứng minh bài toán
Hình vẽ đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, do đó khi vẽ
hình cần lưu ý cho học sinh:
- Hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh dễ tìm ra lời giải. Tránh vẽ hình
vào các trường hợp đặc biệt.
- Khi vẽ hình thì phải vẽ hết các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Sau khi vẽ hình xong nên đánh dấu các giả thiết lên hình vẽ. Như vậy việc
chứng minh sẽ đơn giản, dễ dàng hơn.
Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường
tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD
cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai dây AF và BE
cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Chứng minh:
a) Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.

j


=> ∆MFN là tam giác vuông tại F. Có FI là đường trung tuyến
=> IF = IN = IM (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông). (1)
Tương tự: IN = IM = IE (2)
Từ (1) và (2) suy ra IF=IE=IN=IM => Bốn điểm F, N, E, M nằm trên
đường tròn. Hay tứ giác FNEM nội tiếp.
Kết luận: Có những bài toán ta chứng minh tứ giác nội tiếp không cần tìm vị trí
của tâm, song một số bài toán ta có thể tìm được tâm cụ thể.
Có 2 cách để tìm vị trí tâm I của đường tròn thông qua các nhận xét sau
như sau:
- Ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn có đường kính là
cạnh huyền.
Ví dụ: Như bài tập trên, ta thấy tứ giác FNEM có góc NFM là góc vuông vậy
trung điểm I của cạnh NM chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
FNEM.
- Vẽ đường trung trực của 2 đoạn thẳng bất kì nối 2 đỉnh bất kì của tứ
giác, giao điểm của 2 đường trung trực đó chính là tâm của đường tròn . Đây
là cách làm được đối với tất cả các bài toán.
Ví dụ: Điểm I chính là giao điểm của hai đường trung trực của ME và EN. Khi
vẽ xong ta cần nhìn vào hình vẽ để xác định xem vị trí điểm I có gì đặc biệt
không? ở bài tập trên thì vị trí đặc biệt của điểm I là trung điểm của cạnh MN.
Phương pháp 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng
1800)
Nhận xét:
·
·
·
·
Ta phải chứng minh tổng 2 góc đối ( NEM
hoặc FNE
) bằng

=

·
FME
=

Lớn
sđ »AB

» nhỏ
EF

− sđ
2
+ sđ

» nhỏ
EF

2

(Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn).
(Tính chất của góc có đỉnh bên trong đường

tròn).
»

2 Sd AB
·
·

(Cùng phụ với góc FBD)
(2)
= FBA
·
·
(Cùng chắn cung nhỏ AF)
(3)
FBA
= FEA
·
·
Từ (1),(2),(3) suy ra FNM
= FEM
Như vậy 2 điểm N và E cùng nhìn đoạn thẳng FM dưới một góc không
đổi.
Nên tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Chú ý:
Cách làm này học sinh hay mắc sai lầm như sau: Học sinh chỉ ra “hai
đỉnh đối diện của một tứ giác cùng nhìn cạnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì
tứ giác đó nội tiếp”. Khẳng định này là sai. Điều này chỉ đúng khi góc nhìn đó là
góc vuông.
Nhận xét:
- Nhận xét mối liên hệ giữa các góc của tứ giác xem là góc gì của đường
tròn. Sau đó phân tích tìm hướng chứng minh.
- Ở câu b ta thấy rằng nếu sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng
quỹ tích cung chứa góc α để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp thì sẽ rất khó
khăn chính vì vậy ta lựa chọn sử dụng phương pháp thứ hai để chứng minh. Với
phương pháp này ta cũng có rất nhiều hướng đi để đưa tới kết quả tổng hai góc
đối diện của tứ giác bằng 1800
8

- Ta có: FDB
=

» nhỏ
− sđ BF
=
2

» nhỏ
1800 − sđ BF
=
2

nhỏ
sđ »AF
2

(1)

( T/c góc có đỉnh bên ngoài đường tròn).
sđ »AF
nhỏ
·
FEA
=
2

(2) (Tính chất góc nội tiếp).

·

2

(Tính chất góc nội tiếp).
»
nhỏ
BE

=

0
»
180sđ
− nhỏ
BE
2

(Tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài

đường tròn).
Lớn + 1800 −
sđ »AE
Suy ra: ·AFE + ·ACB =

» nhỏ
sđ BE

=

sđ »AB + 1800
= 1800 (1)

M
9
C
D


Chứng minh:
a) Cách 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD
Vì ∆ ACD vuông tại C nên CO = AO = OD =

AD
(Trong tam giác vuông
2

đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Tương tự BO = AO = OD =

AD
2

⇒ OA = OC = OD = OB ⇒ 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O.

Cách 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng 1800) .
Ta có DC ⊥ AC , BD ⊥ AB ⇒ ·ACD + ·ABD = 1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp
đường tròn.
Cách 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc α .
Ta có ·ACD = 900. , ·ABD = 900
⇒ Điểm B và C cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một góc bằng 90 0 nên tứ giác
ABDC nội tiếp đường tròn.

liên hệ để đi chứng minh.
- Trường hợp 2: Hình vẽ không có đường tròn.
Nếu hình vẽ không có đường tròn, ta sẽ sử dụng các giả thiết của đề để
chứng minh.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ
đường tròn đường kính CM. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt
đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp
b) ·ABD = ·ACD .
c) CA là tia phân giác của góc SCB.
Nhận xét:
Đây là bài tập mà hình vẽ có đường tròn.
·
Nhìn hình vẽ ta thấy có CAB
= 900 (gt), vậy chắc chắn còn 1 góc vuông tạo
bởi 3 trong 4 đỉnh đó (là góc CDB). Ta đi chứng minh cho góc CDB bằng 90 0 .
Góc CDB là góc gì của đường tròn? Học sinh dễ dàng nhận ra là góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn.
C
D
M

S

A

N

B


= ·ACB

=> CA là tia phân giác của góc SCB (đpcm).
Kết luận:
- Vấn đề đặt ra là: Khi nào thì ta có thể chuyển dạng toán chứng minh hai
góc bằng nhau về bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp?
- Trả lời: Khi hai góc đó có các đỉnh là đỉnh của đường tròn, còn một cạnh
của góc là chứa cạnh của tứ giác, cạnh còn lại chứa đường chéo của tứ
giác.
Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích.
Lưu ý: Ngoài 3 phương pháp chứng minh chủ yếu trên có một phương
pháp chứng minh tứ giác nội tiếp nữa đó là phương pháp sử dụng tính chất
của phương tích:
Bổ đề: Cho tứ giác BCED. Gọi J là giao điểm của BE và CD, BC và DE cắt
nhau ở A. Khi đó: Nếu AB. AC = AD. AE hoặc BJ. JE = CJ. JD thì tứ giác
BCED nội tiếp.
C
B
J
A
D
E

Vận dụng giải bài toán sau:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi E và F là
hình chiếu của H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AEHF là hình chữ nhật.
b) AE.AB = AF.AC
c) BEFC là tứ giác nội tiếp.
C

Tương tự: AE. AB = AH2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC
c) Từ câu b suy ra BEFC là tứ giác nội tiếp.
Bài toán 5: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ tiếp tuyến MA và
MB với đường tròn, kẻ cát tuyến MCD. Gọi F là giao điểm của MD và AB; H, E
lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) MA2 = MC. MD
b) M, A, E, O, B cùng thuộc môt đường tròn.
c) ME. MF = MH. MO
Chứng minh:
A
C

M

D

E

F

O

H

B

∆ MDA (g.g)
a) Dễ dàng chứng minh ∆ MAC
2

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = a. Lấy điểm M tuỳ ý trên đoạn AB thoả mãn
AM>MB>0. Dựng về một phía AB các hình vuông AMCE và BMKQ. Nối A, K
và kéo dài cắt BC tại I.
a) Chứng minh : ∆BCM = ∆KMA
b) Chứng minh các tứ giác BQIK, AICE là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ một
đường vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tạ H.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp được một đường tròn.
b) Góc ADH có số đo không đổi khi C di động giữa A và B.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có Ax là tiếp tuyến.
Đường thẳng song song với Ax cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh rằng tứ giác
BCDE nội tiếp được.
Bài 4: Cho tam giác ABC(AB=AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường
cao AG, BE, CF gặp nhau tại H.
a) CMR: AEHF là tư giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp
tứ giác đó.
b) CMR: AF . AC = AH . AG
c) CMR: GE là tiếp tuyến của đườn tròn (I).
Bài 5: Tam giác ABC không có góc tù. Các đường cao AH và các đường trung
tuyến AM không trùng nhau. Gọi N là trung điểm AB. Cho biết BAˆ H = CAˆ M
Chứng minh rằng:
a) AMHN là tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo góc BAC.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ
một đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắ tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn.
b) Góc ADH có số đo không đổi khi C di động.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn
này tại I cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

3-4
0–2
số
SL
TL
TL
TL
TL
TL
HS
SL
SL
SL
SL
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
78

15

19,2

25

32,1

25

Trong quá trình giảng dạy cũng như kiểm tra mức độ của học sinh, tôi
nhận thấy rằng đa số học sinh ban đầu tiếp nhận dạng toán này còn gặp khó
khăn. Sau khi được áp dụng sáng kiến này tại trường THCS Lê Lợi nơi tôi công
tác thì: Với cách gợi mở, hướng dẫn như trên giúp học sinh tiếp thu kiến thức
một cách chủ động, không rơi vào trạng thái gò ép, giúp học sinh có hứng thú
khi học bộ môn này. Đa số các em đã hiểu cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Đối
với học sinh, không những làm tốt dạng toán trên mà còn giúp học sinh nắm sâu
hơn các kiến thức từ lớp 6. Vận dụng tốt vào chứng minh bài tập. Biết cách suy
luận từ bài toán cơ bản đến bài toán mới, từ dễ đến khó qua đó hình thành được
phương pháp chứng minh.
Đề tài “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng
cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh
Hoá” được tôi rút ra từ thực tế giảng dạy; do kinh nghiệm còn ít và sự hạn chế
của bản thân, trong quá trình đưa ra sáng kiến và vận dụng cho học sinh không
tránh khỏi những thiếu sót. Bản thân tôi cũng chỉ mới nghiên cứu các bài tập
trong phạm vi kiến thức sách giáo khoa, sách bài tập, trong các đề thi vào lớp 10
hàng năm. Sáng kiến này cần được mở rộng và khai thác nhiều với các kiến thức
rộng hơn nữa. Chính vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp, của hội
đồng khoa học các cấp để sáng kiến này hoàn thiện hơn nữa.
- Kiến nghị:
+ Kiến nghị cấp trên cần tổ chức nhiều hơn các hội nghị chuyên đề trao đổi
học tập kinh nghiệm giữa các trường THCS trong thành phố Thanh Hóa
nói riêng và trong tỉnh Thanh Hóa nói chung.
+ Cần tăng cường hơn nữa cơ sở vật chất trong nhà trường theo hướng hiện
đại.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tp. Thanh Hoá, ngày 01 tháng 04 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ