SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HOẰNG HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HƯỚNG GIẢI QUYẾT CÁC
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Hoằng Thắng
SKKN MÔN: TOÁN

THANH HÓA NĂM 2017

1


Mục lục
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng vần đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản

mình có thể làm được bài tập đó, gây hứng thú cho người học. Được sự hướng
dẫn tìm tòi lời giải của giáo viên, học sinh sẽ có một cách hiểu biết không
những về bài toán mình đang làm mà cả những bài toán có dạng tương tự.
Mỗi một bài toán có một nội dung toán học đòi hỏi trình độ tư duy khác
nhau của học sinh. Do đó cũng đòi hỏi người giáo viên một sự hướng dẫn tìm
tòi lời giải theo những hướng khác nhau.
Để giải bài toán bất đẳng thức, học sinh phải thực sự tư duy, đào sâu suy
nghĩ để tìm ra hướng đi. Sau khi tìm được hướng đi học sinh sẽ cảm thấy yêu
thích môn toán hơn. Đây chính là lý do tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh
tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về giải toán bất đẳng thức.
Rèn cho học sinh khả năng phân tích xem xét bài toán. Mặt khác cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải, để học sinh phát huy được khả năng tư duy
linh hoạt, nhạy bén khi giải bất đẳng thức, tạo được lòng say mê sáng tạo, ngày
càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bất đẳng
thức. Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú khi học môn toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 – Trường THCS Hoằng Thắng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu qua tài liệu, SGK, SGV, SBT Toán 8, 9
- Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến bất đẳng thức.
- Nghiên cứu qua thực hành trên lớp qua bài giải của học sinh
Bằng phương pháp thực nghiệm trên cơ sở học sinh khá giỏi lớp 9A và
các phương pháp khác: Phương pháp quan sát, phương pháp điều tra giáo dục,
phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động, phương pháp nghiên cứu tổng
kết kinh nghiệm gíáo dục, phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm


-7

* Hướng giải quyết:
Vì trong đa thức có chứa các đơn thức x2; y2; z2; yz; 4x; 3y nên nghĩ đến
vận dụng hằng đẳng thức (A

B)2, thêm chút khéo léo giúp chúng ta đến: x2 +

y2 + z2 –yz -4x – 3y = (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – 7
* Bài giải cụ thể:
x + y2 + z2 –yz - 4x – 3y
2

= (x2 – 4x + 4) + ( y2 – yz + z2) + ( y2 – 3y + 3) -7

4


= (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – 7

-7 với mọi x, y, z

R (đpcm)

* Nhận xét: Với định hướng cách giải như trên đa số học sinh khá giỏi đều
giải được bài tập này. Các em bớt lo lắng, suy nghĩ là bài toán bất đẳng thức
khó nên không thể giải được.
Bài tập 2
Cho các số a, b, c đều lớn hơn



+2

–5≥2

≥2

-2

+5

(1)

Chứng minh tương tự ta có:
≥2

-2

+5

(2)

5


≥2

-2

+5

+

+

>2

Tiếp tục tìm cách để xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
* Bài giải cụ thể
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
x + (y + z) ≥ 2
Do đó:
≥

(1)

6


Chứng minh tương tự ta có:
(2)

(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có
+

+

2

Dấu “=” xảy ra


Ta có

Do đó -1

x

3

xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1

0

-1

y

3

-1

z

3

Suy ra (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Và (3 – x)(3 – y)(3 – z)

0


2n + m

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2

(m + n + p)2 + m2 + n2

Bài tập 5
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a2 + 2b2

3c2

Chứng minh:
* Hướng giải quyết
Ta có bài toán quen thuộc: Cho x, y, z > 0

8


Chứng minh rằng

giúp nghĩ đến

chỉ còn tìm cách chứng minh

do vậy

là xong

*Bài giải cụ thể
Ta có (a – b)2 0


=

(2)

(đpcm)

* Nhận xét: Bài toán này giáo viên định hướng cho học sinh tháo gỡ nút
của bài thông qua bất đẳng thức quen thuộc. Dẫn đến việc giải bài toán nhẹ
nhàng hơn nhiều.
Bài tập 6:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy

1

9


a) Chứng minh rằng

dấu “=” xảy ra khi nào

b) Chứng minh rằng

dấu “=” xảy ra khi nào

* Hướng giải quyết
a) Phương pháp biến đổi tương đương giúp có được lời giải bài toán
b) Vì có (


=

Dấu “=” xảy ra

x=y

* Nhận xét: GV hướng dẫn học sinh vận dụng kết quả câu a) vào giải quyết câu
b) rất hay và dễ hiểu.
Bài tập 7
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

*Hướng giải quyết:
Dễ dàng nhận ra từ ab + bc + ca = 1 giúp có được P = 2(a + b + c). Từ a, b, c
dương và ab + bc + ca = 1; không khó khăn lắm để có được P
*Bài giải cụ thể:
Vì ab + bc + ca = 1. Ta có
a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c)
Tương tự ta có: b2 +1 = (a + b)(b + c); c2 + 1 = (a + c)(b + c)
Do đó: P =
=

+

+

=a+b+b+c+c+a

= 2(a + b + c) = 2

=2


Rồi “lồng ghép” vào tổng
+

+…+

=

+

thật đặc sắc

*Bài giải cụ thể:
Ta có

>

;

>

; …;

>

Do đó
+….+

=



) = (-1 + 9) = 4
Bài tập 9
12


Cho a, b, c là các số dương và a + b + c

1

Chứng minh rằng
* Bài giải cụ thể
Ta có a, b, c > 0 và a + b + c

1

1

(a + b + c)2

9

9(a2 + 2bc) + 9(b2 + 2ca) + 9(c2 + 2ab)

1

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Số liệu điều tra trước và sau khi thực hiện đề tài

13


Thông qua khảo sát chất lượng học sinh khá giỏi của lớp 9 trong 2 năm
học liên tiếp 2015-2016; 2016-2017 (số lượng: 10 em) ở dạng bài tập về chứng
minh bất đẳng thức. Tôi đã thu được kết quả như sau:
Năm học 2015-2016
Năm học 2016-2017
Số học sinh tham gia
Số HS giải
Số HS
Tỉ lệ
Tỉ lệ
(10 em)
được
giải được
Khi chưa có sự định
2
30%
3
30%
hướng giải của GV
Khi đã có sự định
5
50%
7

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Hoằng Thắng

TT

Tên đề tài SKKN

2

Xây dựng cách tìm lời giải
các bài Toán trong chương
ôn tập và bổ túc số tự nhiên
Toán 6
Giải bằng nhiều cách các
bài Toán 9

3

Khơi dậy hứng thú học môn
Hình học của HS THCS

4

Giải bằng nhiều cách một
số Bất Đẳng thức

1


hoặc C)

Năm
học
đánh
giá
xếp loại

C

2004-2005

B

2009-2010

C

2010-2011

C

2011-2012

C

2012-2013

15