SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Trịnh Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
1


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ....3
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...3
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...3
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….4
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….4
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…4
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...4
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........17

học phổ thông kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phần
giúp học sinh nắm vững công thức, các phương pháp giải toán và vận dụng linh
hoạt các kiến thức đó. Thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, gây động cơ để
học sinh học tập tích cực từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hình
chủ đề ứng dụng tích phân ở trường trung học phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính diện tích hình phẳng bằng
tích phân, các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán này và cách
khắc phục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

3


- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12Đ,
12E,12G trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.

- Học sinh thường không giải được hoặc giải sai bài toán tính tích phân
của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đối với những hình phẳng mà đề bài chỉ cho giới hạn bởi 2 hoặc 3
đường, học sinh thường lung túng trong việc xác định cận để lấy tích phân.
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình
phẳng cần tính diện tích. Do đó thường giải sai hoặc không có phương hướng để
giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có sẵn hình ( hoặc học sinh đã vẽ được hình),
các em thường vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc,
không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị để xét dấu
biểu thức, kĩ năng chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích.
- Khi gặp những bài toán có liên hệ thực tế, học sinh thường không nhìn
thấy được mối liên hệ giữa diện tích hình phẳng cần tính với tích phân, không
tìm được hàm số phù hợp với hình phẳng cần tính diện tích.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt. Đặc
biệt là kĩ năng xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, kĩ năng vẽ đồ thị và
đọc đồ thị hàm số.
- Xây dựng một hệ thống các ví dụ minh họa có phân tích kèm lời giải chi
tiết với các cách khác nhau. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh thường gặp phải. Từ
đó rèn luyện cho học sinh tính chính xác, linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Tăng cường các bài toán có nội dung thực tế để học sinh thấy được ý
nghĩa của tích phân trong đời sống, từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học
tập môn toán.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận
thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ
tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4

a

+) Giải phương trình f ( x) = 0. Tìm các nghiệm x1 , x2 , ...xk thuộc khoảng
( a ; b) .
+) Chia đoạn để tính tích phân.
b

x1

x2

a

a

x1

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +

∫

b

f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x) dx
xk

+) Xét dấu f ( x) trên từng khoảng (a ; x1 ), ( x1; x2 ),...( xk ; b) để khử dấu giá
trị tuyệt đối và tính tích phân.
Một số trường hợp đặc biệt, nếu f ( x) là hàm số bậc nhất ta sử dụng định
lí về dấu của nhị thức bậc nhất; nếu f ( x) là hàm số bậc hai, ta sử dụng định lí về


b

f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x) dx
xk

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... + ∫ f ( x)dx .

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ a ; b ] để suy ra dấu của
f ( x).
+) Nếu trên đoạn [ a ; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành
b

b

a

a

thì f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a ; b ] . Suy ra S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )dx.
+) Nếu trên đoạn [ a ; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành
b

b

a

a

thì f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a ; b ] . Suy ra S = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x )dx.

C. S H = ∫ − x dx.

2
D. S H = ∫ x dx.

1

0

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

đoạn [ a; b ] . Xét hình phẳng H giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x ), trục hoành, hai
đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ
bên). Gọi S H là diện tích của hình phẳng H .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
b

A.

b

S H = ∫ f ( x) dx.

B. S H

a

a


x

O
b

công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây?
0

b

a

0

0

b

a

0

A. S D = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx.
C. S D = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x)dx.

0

b

a

2
A. k = ln 4 .
3

S1

B. k = ln 2

x
O

8
.
3

C. k = ln

S2

k

ln 4

D. k = ln 3 [3].

Câu 5. Cho đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy
như hình vẽ bên. Gọi S là phần diện tích được tô đậm. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?

(


2
2
D. S = ∫ R − R − ( x − R ) dx [3].
0

Hoạt động 2. Rèn luyện kĩ năng tính diện tích thông qua các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 2 x − 2,
trục hoành, đường thẳng x = 0, x = 2. [2].
Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích đã hội tụ đủ bốn đường. Vậy để giải
bài toán, ta có ngay công thức tính , chỉ cần xét dấu f ( x) và sau đó tính tích
phân.
Lời giải:
Cách 1. (Xét dấu f ( x) để khử dấu giá trị tuyệt đối).
2

Diện tích S của hình phẳng cần tính là: S = ∫ f ( x ) dx.
0
2

Ta có − x + 2 x − 2 = 0 vô nghiệm. Suy ra − x + 2 x − 2 < 0, ∀x ∈ ¡ .
2

2

2

x3
8
⇒ S = ∫ ( x − 2 x + 2)dx = ( − x 2 + 2 x) = .

2

3
Cách 1. Diện tích cần tìm là: S = ∫ x − 1dx.
0

Xét dấu f ( x) trên đoạn [0; 2] ta có f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;1] và f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 1; 2] .
1

2

1

2

⇒ S = ∫ x − 1dx + ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x 3 − 1)dx
3

3

0

3

1

0

1


1

2


 x4

x4 
7
=  x − ÷ +  − x÷ = .
4 0  4

1 2
Nhận xét: Phương pháp dùng đồ thị chỉ nên sử dụng đối với các bài toán đã có
sẵn hình vẽ.
Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = x.ln x, trục
Ox và đường thẳng x = e.
Lời giải.
x = 0
Ta có x.ln x = 0 ⇔ 
x = 1
Nghiệm x = 0 không thỏa mãn điều kiện x > 0.
e

e

1

1


e

e

x2
x2 1
x2
x
x2
x2
e2 + 1
⇒ ∫ x.ln xdx = ln x − ∫ . dx = .ln x − ∫ dx = ln x −
=
2
2 x
2
2
2
4 1
4
1
1
1
1
1
1
e2 + 1
Vậy S =
.
4

tư thứ nhất. Đó là hình bị giới hạn bởi
b 2
a − x 2 , trục
đồ thị hàm số y =
a
hoành, trục tung và đường thẳng
x = a.
a

b 2
a − x 2 dx .
a
0

Vậy S = 4 ∫

 π
Đặt x = a sin t , t ∈ 0 ;  , ta có dx = a cos tdt.
 2
π
x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = .
2

10


π
2

π

∫0
a ∫0
2

0
Vậy diện tích elip là S = π ab.
Nhận xét: Đối với một số hình phẳng, đặc biệt là các hình giới hạn bởi
đường tròn, elip, hypebol, parabol,..ta cần tìm phương trình của đường cong.
Với elip, nửa đường cong nằm phía trên trục Ox có phương trình
b 2
y=
a − x 2 , nửa đường cong nằm phía dưới trục Ox có phương trình
a
b 2
y=−
a − x2 .
a
Như vậy, với bài toán tính diện tích hình phẳng, cần phải xác định đầy đủ
cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó rồi mới sử dụng công thức tính diện tích.
2.3.2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x), đường
thẳng x = a, x = b.
• Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = f ( x ), y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng
⇒S=

b

x = a, x = b ta có công thức sau: S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx [1].
a


x 2 x3 
9
S = ∫ 2 − x + x dx = ∫ (2 + x − x )dx =  2 x +
− ÷ = .
2
3  −1 2

−1
−1
2

2

2

2

Cách 2 ( sử dụng đồ thị).
Từ đồ thị ta có:
2


x 2 x3 
9
S = ∫ (2 + x − x 2 ) dx =  2 x +
− ÷ = .
2
3  −1 2

−1

đường thẳng x = y + 2, trục hoành và đường thẳng y = 2. Khi đó, diện tích cần
tìm là:
2

 y2
y3 
10
S = ∫ ( y + 2 − y 2 )dy =  + 2 y − ÷ = .
3 0 3
 2
0
Như vậy, với một số bài toán, ta có thể coi hình phẳng cần tính diện tích bị giới
hạn bởi các đường x = h( y ), x = ϕ ( y ), đường thẳng y = c, y = d (c < d ). Khi đó
2

d

diện tích cần tìm là: S = ∫ h( y ) − ϕ ( y ) dy.
c

Ví dụ 3. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = x 2 − 4 x + 3 , y = x + 3 ( hình vẽ bên dưới). Tính diện tích của H .
Phân tích: Ở bài toán này, sau khi tìm được hoành độ giao điểm ta có công thức
5

2
tính diện tích hình phẳng: S = ∫ x − 4 x + 3 − ( x + 3) dx .
0

Tuy nhiên để tính được tích phân với hai lần dấu giá trị tuyệt đối không phải là

1.Đồ thị các hàm số y = x , y = 3 x .
2. Đồ thị các hàm số y = x 2 + 2, y = x, đường thẳng x = 0 và x = 2. [2]
3. Đường cong y 2 = 4 x , trục hoành và đường thẳng y = 2 x. [2]
4. Hai đường cong x = y 3 − y 2 và x = 2 y. [2].
+ ∫ ( ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3) ) dx =

2.3.3. Hình phẳng giới hạn bởi ba đường y = f ( x ), y = g ( x ), y = h( x).
Ví dụ 1. Gọi H là hình phẳng giới hạn
bởi parabol ( P ) : y = x 2 − 2 x + 2 và các
tiếp tuyến của ( P ) đi qua điểm A(2 ; − 2)
( hình vẽ bên). Tính diện tích của H .
Lời giải.
Phương trình tiếp tuyến của ( P) tại A là:
y = −2 x + 2, y = 6 x − 14.
Phương trình hoành độ giao điểm:
+ ) x 2 − 2 x + 2 = −2 x + 2 ⇔ x = 0
+) x 2 − 2 x + 2 = 6 x − 14 ⇔ x = 4
+) − 2 x + 2 = 6 x − 14 ⇔ x = 2
Diện tích cần tìm là:
2
4
16
2
S = ∫ ( ( x − 2 x + 2) − (−2 x + 2) ) dx + ∫ ( ( x 2 − 2 x + 2) − (6 x − 14) ) dx = .
3
0
2
Như vậy qua bài toán này cũng cần lưu ý với học sinh, để tính diện tích của
những hình phẳng giới hạn từ 3 đường cong trở lên, ta phải sử dụng đồ thị và
chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích. Đối với mỗi hình phẳng cần chia nhỏ,

x 2 = ⇔ x = 3 2.
x
2
x
2
= ⇔ x=2
4 x
x2 8
= ⇔ x = 2 3 4.
4 x
Vậy diện tích cần tìm là:

S=

2

∫ (x

3

2

2

2
− )dx +
x

23 4


x −1
, đường
x+2

2
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 1 ,

y = x + 5.
3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 2 x + 2, tiếp tuyến
với parabol tại điểm M (3; 5) và trục tung.
2.3.4. Các bài toán thực tế.
Ví dụ 1. ( Trích đề thử nghiệm thi THPTQG)
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài
trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m
8m
. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng
(như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là
100.000 đồng/1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu
tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Phân tích: Nhận thấy không thể tính diện tích của dải đất bằng các công thức
tính diện tích thông thường. Hơn nữa, do elip và dải đất cần tính diện tích có
14


tính đối xứng, có kích thước nên nếu chọn hệ tọa độ một cách hợp lý, ta sẽ xác
định được phương trình của elip và các đường còn lại. Do đó sẽ xác định được
công thức tính diện tích hình phẳng.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục lớn, trục Oy trùng với

Tính tích phân này bằng cách đổi biến x = 8sin t , t ∈ 0;  . Ta có
 2
Vậy số tiền là : T = 100000.80.(

π
3
+
) ; 7.653.000 đồng.
6
4

Nhận xét : Sau khi tìm được phương trình của elip, ta cũng có thể tính diện
4
5
2
tích hình phẳng theo một số cách khác. Chẳng hạn S = 4.∫ 64 − x dx, hoặc
8
0
8

5

5
8
S = π .8.5 − 4 ∫ 64 − x 2 dx, S = 4 ∫ 25 − y 2 dy ,..
8
5
4
0
Từ bài toán này ta suy ra cách giải của một số bài toán khác có nội dung ứng

 2
5
2

140
 16 2

.
Vậy diện tích hoa văn là : S = 10.10 − 4. ∫  − x + 4 ÷dx =
25
3


5
−

2

Ví dụ 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác
nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong
những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có
một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo
thành từ đường Lemniscate có phương trình trong
hệ tọa độ Oxy là 16 y 2 = x 2 (25 − x 2 ) như hình vẽ
bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết
rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương
ứng với chiều dài 1 mét [3].
Lời giải:
Gọi S1 là diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất. Ta có: S = 4S1 .
Nhận thấy, S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y =

25 − x 2 , trục hoành,
4

tìm

là:

1
2 2

125 2
( m ).
3

Bài tập tương tự.
Bài 1. Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần
lượt là 100m và 80m. Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh
của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn
anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi
nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng /m 2 và 40.000 đồng / m2 . Hỏi

16


6m

trong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (Lấy
làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Bài 5. Một công ty quảng cáo X
12 m

Bài 3. Một người có một mảnh vườn hình vuông
cạnh 6m như hình vẽ, người đó trồng cỏ trong phần
sân tô màu. Tính diện tích cỏ người đó phải trồng.

Bài 4. Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía
ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng
1
và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng
2
2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên).
100

Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón 2 2 − 1 π kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử
(
)
dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?[3]
17


Bài 5.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta
dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào
biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m [3].
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp :
12Đ, 12E, 12G. Trong ba lớp có hai lớp theo khối A và một lớp theo khối D, đa
số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và
giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng các em rất lung
túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình
tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt động học
tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được


1

2,1

6

12,7

20

42,6

20

42,6

12E

5

10

10

20

25

50

này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
- Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp xúc
với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng cần có
18


tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các
chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
- Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng kiến
kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để đồng
nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến kinh
nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu
sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây
dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trịnh Thị Hiền


TT

Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

1.

Rèn luyện học sinh lớp 12 kỹ
năng sử dụng phương pháp
hàm số vào giải phương trình,

Sở Giáo Dục và
Đào Tạo tỉnh
Thanh Hóa.

Kết quả
đánh giá xếp
loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

(A, B, hoặc C)

C

2013-2014