PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

(Đề gồm 1 trang)

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
a.
b.
c.

A = 3x + x 2 − 4 x + 4
B = 3+ 5 − 3− 5 − 2
C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)

Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
a. x x − 2 x − x = 0

b.

x 2 − 5 x + 36 = 8 3 x + 4

Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a
+ b)c = ab.

của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay
đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc
·AMC = α . Xác định số đo α để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………


Bài

Ý
a
0.75

b
0.75

1.
2.5
b.
1.0

2a.
1.0

2.
2.0
2b.
1.0

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN

4
80
P= 2
+ + . Ta có
+
≥ 20. 2
=
2
2
2
2
x +y
xy xy
x +y
2 xy
x + y + 2 xy ( x + y ) 2
Mà x + y ≤ 2
20
20
+
≥ 20 .
2
2
Nên
x +y
2 xy

3b.
1.0


α
)
cos 2 α
sin 2 α
sin 2 α
cos 2 α
2
= (1 +
)(cos
α
)
+
(1
+
)(sin 2 α ) =
cos 2 α
sin 2 α
1
1
sin 2 α + cos 2 α
cos 2 α + sin 2 α
2
.cos 2 α + 2 sin 2 α =2
=
.cos
α
+
sin 2 α = =
2
2

Dấu bằng khi x = y =1

1
( x + y ) 2 22
≤
= 1 . Nên ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi
xy
4
4

x = y =1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1

0.25
0.25


0.25

A

F

E
H

K
N

G

·
; ·ABH = MKN
(Góc có cạnh tương ứng song song)
∆ABH và ∆MNK có BAH
= NMK
∆AEB

4.

2.5

4a
1.0

4b.
0.75

vuông tại E nên

·
cos BAE
=

Suy ra ∆AHB đồng dạng với ∆MNK ( g.g); ⇒
∆AHB đồng dạng với ∆MNK nên

AHC); Lại có:
4c.
0.75


·
=
= 2 . Mặt khác BAG
( so le trong)
= GMK
MK MG
⇒ ∆ABG đồng dạng với tam giác ∆MKG (c.g.c)
GB GA GH
GB 5
GA5 GH 5 GB 5 + GA5 + GH 5
⇒
=
=
=2⇒
=
=
=
= 32
GK GM GN
GK 5 GM 5 GN 5 GK 5 + GM 5 + GN 5
⇒

0.25

GB 5 + GA5 + GH 5
⇒
=4 2
GK 5 + GM 5 + GN 5

0.25

2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = 1
nên
SMCD ≥ ab
SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα =
sin(900−α) ⇔ α = 900−α ⇔ α = 450

0.5

C

A

a

α(

0.5

M

b

B


⇔ ∆AMC và ∆BMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab .
Khi α = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM .