CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
§1:Biến cố và quan hệ của giữa các biến cố
1.Phép thử và biến cố.
2.Phân loại biến cố : gồm 3 loại
- Biến cố chắc chắn: Ω
- Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:∅
- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…
3. So sánh các biến cố.
⇔
Định nghĩa 1.1: A ⊂ B (A nằm trong B hay A kéo theo B)
nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vậy
A ⊂ B
A= B⇔
B ⊂ A
1


Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp ⇔ ∃B ⊂ A, B ≠ A.
4. Các phép toán trên biến cố.

A.B = A ∩ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra.
A + B = A ∪ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

A− B

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra.

A= Ω− A

xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.


4


§2: Các định nghĩa xác suất
• 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là
đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m là
số các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của
m
biến cố A là:
Ρ ( A) =
n
• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu
nhiên ra 5 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng.
• Giải

C63 .C42
Ρ=
5
C10

( phân phối siêu bội)

5


Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi không hoàn lại

• Ví dụ 2.2: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác
suất để toa thứ nhất không có người lên:

2
4
y +l − x − y > x


l

x



Ρ  ∑ Ai ÷ =
 i =1


∞

∑Ρ( A )
i =1

i

12


§3: Các định lý xác suất
1: Định lý cộng xác suất

Định lý 3.1.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

 n  n
Ρ  ∑ Ai ÷ = ∑ Ρ ( Ai ) − ∑ Ρ ( Ai Aj ) + ∑ Ρ ( Ai Aj Ak ) + ... + (−1)n −1 P ( A1 A2 ... An )
i< j
i< j
k

−C

2
n

( n − 2)
n

k

k

+C

3
n

( n − 3)

k

nk

1k n −1
.Cn + 0
k
n


( n − 2) !

n!
n 1!
n +1 1
n −1
+... + ( −1)
.Cn + ( −1) .
n!
n!
1 1 1
n +1 1
= 1 − + − + ... + ( −1) .
2! 3! 4!
n!

+C

3
n

( n − 3) !
n!

15


2. Định lý nhân xác suất
• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố
A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí

kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.
• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn
phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của
các biến cố còn lại.
• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
• Giả sử Αi , i = 1, n là độc lập toàn phần. Khi ấy ta có:
n

n

i =1

i =1

1.Ρ (Π Ai ) = Π Ρ ( Α i )
n

n

i =1

i =1

(

2.Ρ ( Σ Ai ) = 1 − Π Ρ Α i

)
18


•

•
1.

1. Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấm
2. Có ít nhất 1 mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau
từng đôi một.
Giải:
Gọi A là có ít nhất 1 mặt 1 chấm.
B là tổng số chấm bằng 9
C là các số chấm khác nhau từng đôi một
63 − 53
3
Ρ
ΑΒ
Ρ ( Α) =
(
)
15
6
15
3
6
⇒ Ρ ( Β / Α) =
= 3. 3 3 =
Ρ ( Α ) 6 6 − 5 91
15
Ρ ( ΑΒ ) = 3
6

n

Ρ ( ΑH i )

ÁÃÃÃ
Ρ ( A) = ∑ Ρ
( HÃÃiÃ)ÃΡÃÃ(ÃÃΑÃÃ/ÃÃHÃÃiÃÂ)

(công thức đầy đủ).

i =1

Ρ ( ΑH i ) Ρ ( H i ) .Ρ ( Α / H i )
Ρ ( Hi / Α) =
=
, i = 1, n (công thức
Ρ ( Α)
Ρ ( Α)

Bayess)

22


Chú ý:
n

1.

2.

⇒ Ρ ( Β / Α)
A- biến cố lấy được bi trắng ở lần 1
B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2

24


Cách 1:

Ρ ( Α ) = Ρ ( H1 ) Ρ ( Α / H 1 ) + Ρ ( H 2 ) Ρ ( Α / H 2 )
1 4 1 5
= . + . =
2 10 2 12
Ρ ( H1 ) Ρ ( Α / H1 )
Ρ ( H1 / Α ) =
Ρ ( Α)

Ρ ( H2 ) Ρ ( Α / H2 )
Ρ ( H2 / Α) =
Ρ ( Α)

Ρ ( Β / Α ) = Ρ ( H1 / Α ) . Ρ ( Β / H1Α ) + Ρ ( H 2 / Α ) . Ρ ( Β / H 2 Α )
1 42 43
1 42 43
3/9

4/11

25