ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Năm học: 2017 -2018
SĐT: 0946798489
Số 17 Hoàng Văn Thụ – TT. Chư Sê – Gia Lai.


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
Bµi 1. tÝnh ®¬n ®iƯu cđa hµm sè. ........................................................................................................... 3
A. KiÕn thøc cÇn nhí. ............................................................................................................................. 3
1. Định nghĩa ....................................................................................................................................... 3
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu .................................................................................... 3

a)

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu. ........................................................... 3

b)

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

...........................................................3

phÇn 1. D¹ng kh«ng chøa tham sè. ...................................................................................................... 3
B. c¸c d¹ng to¸n th­êng gỈp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i. ......................................................................... 3

cx  d

D¹ng to¸n 1: Hµm sè

y  f x , m 

lµ hµm d¹ng

D¹ng to¸n 2: Hµm sè

y  f x , m 

lµ hµm d¹ng ®a thøc. ......................... 14

D¹ng to¸n 3*: Hµm sè

y  f x , m 

. ............ 13

lµ hµm d¹ng l­ỵng gi¸c, c¨n... .......... 15

 Bµi to¸n 3. T×m tham sè m ®Ĩ hµm sè bËc 3 ®¬n ®iƯu trªn ®é dµi l. ............................. 17
C. c©u hái tr¾c nghiƯm. ........................................................................................................................ 18
PhÇn 1. Bµi tËp kh«ng chøa tham sè.............................................................................................. 18

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 1


2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .

— Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f (x )  0, x  K và f (x )  0 xảy ra tại một
số hữu hạn điểm.
— Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f (x )  0, x  K và f (x )  0 xảy ra tại một
số hữu hạn điểm.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .

— Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
— Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
— Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số khơng đổi trên khoảng K .

phÇn 1. D¹ng kh«ng chøa tham sè.
B. c¸c d¹ng to¸n th­êng gỈp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i.
D¹ng to¸n 1: §¬n ®iƯu cđa mét hµm t­êng minh, râ rµng vỊ sè liƯu.


Phương pháp chung: ........................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 1. Cho hàm số y 

1 3
x  x 2  3x  1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

C. (0;1).

D. (1;2).

......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Cần nhớ: Cách xét dấu ...........................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................

2x  1

x 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (;1)  (1; ).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) và (1; ).
Hàm số nghịch biến trên tập xác định D   \ {1}.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ).

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y 
A.
B.
C.
D.

......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Cần nhớ: Cơng thức đạo hàm .................................................................................................
......................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................
Cần nhớ: Cơng thức đạo hàm ................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Trên khoảng nào sau đây, hàm số y  x 2  2x đồng biến ?
A. (1; ).

B. (1;2).

C. (0;1).

D. (;1).

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Cần nhớ: Cơng thức đạo hàm ................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Cho hàm số y  x  sin x  2, x  [0;2 ]. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của
hàm số.
A. (0;2).

B. (0; ).

 
C.  ;   
 2 




Phương pháp: Cách nhìn bảng ...........................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Cho hàm số y  f x  , xác định và liên tục trên  có bảng biến thiên như hình sau,
xác định mệnh đề đúng ?

x



y

2




0



0



0


y

0



1



0





y

2
1

1

A. Hàm số nghịch biến trên 1;  .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 6


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai


1
y


A. y 

x 1

x 2

B. y 

2x  1

x 2

C. y 

1

2x  5

x 2

D. y 

x 3

x 2


Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
B.
C.
D.

Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 0).
Hàm số đồng biến trên khoảng (; 0).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2).

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

D¹ng to¸n 3: D¹ng cho ®å thÞ hµm sè

y  f ' x 

.



Phương pháp:
Đồ thị trên trục Ox ở đâu thì .................................................................................................
.....................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 7

......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................

Ví dụ 12. (THPT Chun Thái Bình lần 3 năm 2016 – 2017) Cho hàm số f (x ) xác định, liên
tục trên  và có đồ thị hàm số y  f (x ) là đường cong trong hình bên dưới. Hỏi
mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số f (x ) đồng biến trên khoảng (1;2).
B. Hàm số f (x ) nghịch biến trên khoảng (0;2).
C. Hàm số f (x ) đồng biến trên khoảng ( 2;1).
D. Hàm số f (x ) nghịch biến trên khoảng (1;1).
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................

D¹ng to¸n 4: D¹ng lý thut, kiĨm tra tÝnh ®óng sai.


Ví dụ 13. Cho các mệnh đề sau.
a) Hàm số y  f x  được gọi là đồng biến trên D  x1, x 2  D và x 1  x 2 thì

f x 1   f x 2 .
b) Hàm số y  f x  liên tục và đồng biến trên khoảng

2; 3

thì hàm số

y  f x   3 đồng biến trên khoảng 1; 6.
c) Hàm số f ' x   0, x  a;b  thì y  f x  đồng biến trên a;b  .
d) Hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng a;b   f ' x   0, x  a;b  .



C. 1; 3.

D. 5; 3.

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
 Ghi nhớ: ...............................................................................................................................

Đồ thị

Đồ thị

y  f x 

y  f x  a , a  0

y  f x 

y  f x  a , a  0

y  f x 

y  f x 

y  f x 

y  f x   a, a  0


®ång biÕn(nghÞch biÕn) trªn

.



• Phương pháp cách giải trực tiếp: ...................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
• Phương pháp cách giải gián tiếp: ..................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

1 3
x  m  1 x 2  m  1 x  1
3

đồng biến trên tập xác đinh của nó.
A. m  1 hoặc m  2 .

B. 2  m  1.

C. 2  m  1.

D. m  1 hoặc m  2.

Ví dụ 3. Gọi S là tập các giá trị của m để hàm số y  x 2  1  mx nghịch biến trên  và

m0 là giá trị nhỏ nhất thuộc tập S. Giá trị gần m0 nhất là:
A. 3.

C. 1.

B. 2.

D. 3.

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị ngun của m để hàm số
1
y  m 2  m x 3  m 2  m x 2  mx  1 đồng biến trên .
3



A. 1.





.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến trên .
A.  2  m  2. B. m   2.
C. m  2.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D.  2  m  2.
Trang 11


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

D¹ng to¸n 2:T×m

m

®Ĩ hµm sè y  f x , m  ®ång biÕn(nghÞch biÕn) trªn tõng
kho¶ng x¸c ®Þnh cđa hµm sè.


Ví dụ 8. (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho hàm số y 

mx  4m
với m
x m

là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị ngun của m để hàm số nghịch biến
trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5.

B. 4.

C. Vố số.

D. 3.

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

x  m2
đồng biến
x 1

trên từng khoảng xác định của nó.
A. m  1.

B. 1  m  1.



ax  b
cx  d

.



Phương pháp: ........................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

mx  16
nghịch biến trên khoảng 1; 5 là:
x m
m  4
m  4
m  1
A. 
B. 
C. 
D. 4  m  5.
.
.
.
m  5
m  4
m  4
.................................................................................................................................................

C. ;  
2 



1
D. ;  
2 


.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

[1; ).

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

x
nghịch biến trên
x m

Trang 13


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
A. 0  m  1.

đồng biến trên khoảng 0; 3 thì m  m0 là giá trị nhỏ nhất. Giá trị gần m0 là
A. 1, 5.

B. 1, 6.

C. 1, 7.

D. 1, 8.

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Cần nhớ: .................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
4

2

Ví dụ 14. Cho hàm số y  x  (2m  3)x  m. Nếu hàm số ln nghịch biến trên khoảng

p
p

.................................................................................................................................................
Ví dụ 15. (THPT Chun Đại Học Vinh lần 2 năm 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số y  (m 2  1)x 4  2mx 2 đồng biến trên (1; ).

1 5

2
C. m  1 hoặc m  1.
A. m  1 hoặc m 

B. m  1 hoặc m 

1 5

2

D. m  1.

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

D¹ng to¸n 3*: Hµm sè

y  f x , m 

lµ hµm d¹ng l­ỵng gi¸c, c¨n...


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 15


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Cần nhớ: .................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Ví dụ 17. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

sin x  m
nghịch biến trên
sin x  m

 
khoảng  ;   .
 2 
A. m  0.

B. m  0 hoặc m  1.



D. m  2.

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 16


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

 Bµi to¸n 3. T×m tham sè m ®Ĩ hµm sè bËc 3 ®¬n ®iƯu trªn ®é dµi l.

3

2

Tìm m để hàm số y  ax  bx  cx  d đơn điệu trên khoảng có độ dài đúng bằng l

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 17


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số f (x )  x 3  3x 2  (m  1)x  2m  3
đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
A. m  0.

B. m  0.

C. 

5
 m  0.
4


D. ; 0.

Câu 3. Trong các phát biểu sau về hàm số y 

2

2x  1
, phát biểu nào sau đây là đúng?
x 3

A. Hàm số ln đồng biến với x  3.

B. Hàm số đồng biến trên ; 3  3; .
C. Hàm số đồng biến trên ; 3 và 3; .
D. Hàm số đồng biến trên tập  \ 3 .
Câu 4. Cho hàm số y  x 4  2x 2  4. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào khơng đúng?

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 18


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 và 1; .
B. Hàm số nghịch biến trên ; 1 và 0;1 .

.
.
x 2
x 3
Câu 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số ngun thuộc khoảng nghịch biến của hàm số
1
y  x 3  x 2  3x  1?
3
C. 3.
D. 5.
A. Vơ số.
B. 2.
3
2
Câu 10. Hàm số y  x  3x  9x  2 đồng biến trên khoảng nào?
A. y 

A. ; 3 và 1; .

B. 3;1.

C. ; 1 và 3; .

D. 1; 3.

Câu 11. (Đề minh họa THPTQG – 2017) Hàm số y  2x 4  1 đồng biến trên khoảng nào?

 1

1

C. 3.
D. 4.
1
Câu 13. Trong các phát biểu sau về hàm số y  1  , phát biểu nào sau đây là đúng?
x
A. Hàm số ln nghịch biến với x  0.
B. Hàm số nghịch biến trên ; 0 và 0; .
C. Hàm số đồng biến trên ; 0 và 0; .
D. Hàm số đồng biến trên tập  \ 0 .
Câu 14. Khi nói về tính đơn điệu của hám số y 
1) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3.

x 2  2x  1
, ta có những phát biểu sau:
x 2

2) Đồng biến trên khoảng ; 1  3; .
3) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3 \ 2 .
4) Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và 3; .
Trong những phát biểu trên có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
2x  1
Câu 15. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .

D. 4.

A. 1;6.

B. 5; 0.

C. 2;6.

D. 2; 3.

Câu 20. Nếu hàm số y  f x  liên tục và đồng biến trên khoảng 1;2 thì hàm số

y  f x  1 đồng biến trên khoảng nào?
A. 1;2.

B. 0; 3.

C. 2;6.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. 2; 3.

Trang 20


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

giải tích LỚP 12

/>

Hỏi trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
B. 1.
C. 2.
D. 3.
A. 0.
Câu 24. Cho hàm số y  f x  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0; 2; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1; 3; .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2.
Câu 25. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3; .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 3.
Câu 26. Cho hàm số y  f x  xác định trên  và có đồ thị y  f ' x  là đường cong trong
hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng ; 2, 0; .
B. Hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng 2; 0.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 21


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai


C. Hàm số y  f x  nghịch biến trên a;b  khi và chỉ khi f ' x   0, x  a;b 

, f ' x   0 xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc a;b .
D. Hàm số y  f x  nghịch biến trên a;b  khi và chỉ khi f ' x   0, x  a;b .
Câu 30. Cho hàm số y  f x  đơn điệu trên khoảng a;b . Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng?
A. f ' x   0, x  a;b .

B. f ' x   0, x  a;b .

C. f ' x   0, x  a;b 

D. f ' x  khơng đổi dấu trên a;b  .

Câu 31. Cho hàm số y  f x  và y  g x  đều nghịch biến trên  . Cho các khẳng định sau:
I) Hàm số y  f x   g x  nghịch biến trên .
II) Hàm số y  f x .g x  nghịch biến trên .
III) Hàm số y  f x   g x  nghịch biến trên .
IV) Hàm số y  kf x k  0 nghịch biến trên .
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 1.
B. 2.

C. 3.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. 4.

Trang 22

B. 2  m  1.
C. 2  m  1.
D. m  1 hoặc m  2.
1
Câu 34. Trong tất cả các giá trị của m làm cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  m đồng biến
3
trên . Có giá trị nhỏ nhất của m là:
A.  4.
B.  1.
C. 0.
D. 1.
3
2
Câu 35. (THPTQG – 2017 - 101) Cho hàm số y  x  mx  4m  9 x  5 với m là tham
Câu 33. Tìm m để hàm số y 

số. Có bao nhiêu giá trị ngun của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
; .
A. 7.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
3
2
Câu 36. Cho hàm số y  m  7  x  m  7  x  2mx  1. Có bao nhiêu giá trị ngun của

m để hàm số nghịch biến trên .
A. 4.
B. 6.
C. 7.

3
4
4
D. 0  m  .
C. m  0 hoặc m  .
3
3
Câu 39. Tất cả các giá trị của a để hàm số y  ax  sin x  3 đồng biến trên .
A. a  1.
B. a  1.
C. a  1.
D. a  1.
A. 0  m 

4
.
3



B. 0  m 

x2  m
đồng biến trên  khi giá trị của m là:
x2  1
A. m  1.
B. m  1.
C. m  1.
D. m  .
3

D. y '  0, x  1.

mx  5
đồng biến trên từng khoảng xác định là:
x 1
A. m  5.
B. m  5.
C. m  5.
D. m  5.
x m
Tất cả các giá trị của m để hàm số y 
đồng biến trên từng khoảng xác
mx  m  2
định là:
m  1
B. 
A. 1  m  2.
.
m  2
1
3
C. m  hoặc m  .
D. 1  m  2.
2
2
mx  3m  2
Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên
x m
từng khoảng xác định là:

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

A. 4  m  1.
C. m  1 hoặc m  2.
Câu 49. Giá trị của m để hàm số y 

B. 4  m  1.
D. m   4 hoặc m  2.

mx  16
nghịch biến trên khoảng 1; 5 là:
x m

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 24