TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Số tiết: 45
Tài liệu tham khảo
1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006
2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978
Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector
{ }
zyxzyx
akajaia,a,aa


++==
{ }
zyxzyx
bkbjbib,b,bb

++==
{ }
zyxzyx
ckcjcic,c,cc


++==
•
zzyyxx
bababab.a
++=





=×
Phương:
( )
b,ac


⊥
Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:
( )
b,asinbac




=
•
( )
( )
( )
b.a.cc.a.bcba







iU.gradU
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=

4. Divergence
z
a
y
a
x
a
a.adiv
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂








∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j

Suy ra
zik2zik2z
ee.ee
==
ππ+
Công thức Euler
e
iy
= cosy +isiny
Khi đó số phức z = r e
i
ϕ
= r(cosϕ +isinϕ)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=+
′
+
′′
(1)
Trong đó:
a
1
, a
2
và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

1
y
1
+ C
2
y
2
(trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y
1
(x) và y
2
(x) là độc lập tuyến tính khi
( )
( )
const
xy
xy
2
1
≠
, ngược lại là phụ
thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
(x) và y

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=+
′
+
′′
(3)
Trong đó:
a
1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm
riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay
2121
+=+
′
+
′′
(4)
Nếu y
1
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey
=
(8)
Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key
=
′
,
kx2
eky
=
′′
(9)
Thay (8) và (9) vào (7) ta có
( )
0qpkke
2kx
=++
(10)
Vì e
kx
≠ 0 nên
0qpkk
2
=++

( )
conste
y
y
xkk
2
1
21
≠=
−
(13)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21
eCeCyyy
+=+=
(14)
- k
1
và k
2
là 2 số thực trùng nhau: k
1
= k
2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:
xk

2
= α - iβ
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
( )
( )
xixxi
2
xixxi
1
eeey
eeey
β−αβ−α
•
βαβ+α
•
==
==
(16)
Theo công thức Euler ta có
xsinixcose
xsinixcose
xi
xi
β−β=
β+β=
β−
β
(17)
Suy ra
( )

y
x
21
2
x
21
1
β=
+
=
β=
+
=
α
••
α
••
(19)
cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
constxtg
y
y
2
1
≠β=
(20)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
( )
xsinCxcosCexsineCxcoseCy
21

tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số
bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
2
0
0
r
r
4
Qq
F


πεε
=
(1.3)
-
m/F10.854,8
12
0
−
=ε
- hằng số điện
- ε - độ điện thẩm tương đối
-
0
r

- vector đơn vị chỉ phương
• Hệ đt điểm

πεε
=
l
2
l
0
l
r
r
dl
4
1
E


(1.5)
∫
ρ
πεε
=
S
2
S
0
S
r
r
dS
4
1


εε=
(1.8)
1.1.3. Vector từ cảm
• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển
động hay dòng điện theo định luật Lorentz
BvqF



×=
(1.9)
• Từ trường do phần tử dòng điện
lId

tạo ra được xác định bởi định luật
thực nghiệm BVL
( )
rlId
r4
Bd
2
0



×
π
µ µ
=


0
B
H
µµ
=


(1.12)
1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện
tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I
−=
(1.13)
Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
7
• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn
điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ
0



σ=ρ==
(1.14)
dạng vi phân của định luật Ohm

R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S
=σ=σ=σ=σ=
∫
(1.16)
dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E

và
Sd

cùng chiều, đặt
RL
1
=σ
(1.17)
σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm
1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng
không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng
điện.
• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện
tích giảm đi từ thể tích V đó.
• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có
∫
ρ=
V

SdJ


(1.21)
Theo định lý OG
( )
∫∫∫
∂
ρ∂
−=∇=
VVS
dV
t
dVJ.SdJ



(1.22)
Suy ra
0
t
J.
=
∂
ρ∂
+∇

(1.23)
Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên
tục.

+
, Cl
-
có các lớp
electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO
2
, H
2
O,
thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ
µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các
nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ
lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách
điện hay điện môi
Chất dẫn điện: σ > 10
4
1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10
-10
< σ < 10
4
Chất cách điện: σ < 10
-10
, σ = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
• Thông lượng của vector điện cảm
D

Ω
π
=
π
==Φ
d
4
q
r4
Sd,Dcos.dS.q
SdDd
2




(1.27)
dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
Thông lượng của
D

qua toàn mặt kín S là
qd
4
q
SdD
S
=Ω
π
==Φ

∑
=
=
n
1i
i
DD

(1.29)
Thông lượng của
D

do hệ q
1
, q
2
, ..., q
n
gây ra qua toàn mặt kín S
QqSdDSdD
n
1i
i
n
1i
S
i
S
====Φ
∑∑

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-
Gauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là
dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này
• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
B

. Thông
lượng của
B

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.
Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số
đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của
B

được tính
theo
D

Sd

A
B
q
12
0SdB
S
M

(1.33)
và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian
cũng tạo ra một điện trường xoáy.
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh
trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi
qua diện tích của vòng dây
dt
d
e
c
Φ
−=
(1.34)
13
Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện
cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ
∫
=Φ
S
SdB


(1.35)
là thông lượng của vector từ cảm
B

qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra
∫∫∫

SdB
dt
d
dt
d
e






(1.36)
Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e
c
theo lưu số của vector cường độ
điện trường
E

∫
=
l
c
ldEe


(1.37)
Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn
của
B

thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
Sd

B

ld

S
14
( )
∫∫
×∇=
Sl
SdEldE




(1.39)
Theo các phương trình (1.38) và (1.39)
t
B
E
∂
∂
−=×∇


(1.40)

=


(1.41)
15
Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.
Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện
J

thì
∫∫
=
Sl
SdJldH




(1.42)
Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường
điện từ
Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện
toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ
giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.
Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức
dP0d0d
JJ
t
P

- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các
điện tích
t
E
J
00d
∂
∂
ε=


- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ
dòng điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt
kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ
điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên
E

và dòng điện biến thiên chạy
J

ld

Sd

I
i
S
16
qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản

Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1
Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng
t
E
SSdE
dt
d
dt
dq
I
0
S
0
∂
∂
ε
′
=ε==
∫



(1.46)
Suy ra
I = I
d0
(1.47)
Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch
ngoài tụ điện.
Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta







∂
∂
+=
Sl
Sd
t
D
JldH





(1.49)
Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
( )
∫∫
×∇=
Sl
SdHldH






=
∂
∂
ε=×∇
(1.52)
Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra
từ trường như dòng điện dẫn.
1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra
điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ
trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại
và có liên hệ chặt chẽ với nhau
Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một
trường thống nhất gọi là trường điện từ.
Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các
hạt mang điện.
- Phương trình Maxwell-Faraday
Dạng tích phân
∫∫








∂







∂
∂
+=
Sl
Sd
t
D
JldH





(1.55)
Dạng vi phân
t
D
JH
∂
∂
+=×∇


(1.56)

Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ các
điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn
- Định lí OG đối với từ trường
Dạng tích phân
0SdB
S
=
∫


(1.59)
Dạng vi phân
0B.
=∇

(1.60)
Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn
Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình
Maxwell
19
t
B
E
∂
∂
−=×∇


t
D

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại
những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường
điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại
t
B
E
∂
∂
−=×∇


t
D
JJH
O
∂
∂
++=×∇


(1.63)
ρ=∇
D.

0B.
=∇

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là
môi trường điện môi:
ED


(1.64)
0
E.
εε
ρ
=∇

0H.
=∇

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell
20
• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện
dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài
0JJ
O
=ρ==

t
H
E
0
∂
∂
µµ−=×∇


t
E

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không
điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài
t
H
JE
0M
∂
∂
µµ−−=×∇


t
E
JH
0E
∂
∂
εε+=×∇


, J
E

≡
J
O
(1.66)
0
E.
εε

ρ=ρ
re
21
Với:
Trong đó:
( )
z
y
x
i
mz
i
my
i
mx
mm
eEkeEjeEiz,y,xEE
ϕ
ϕ
ϕ
••
++=≡


gọi là biên độ phức
của
•
E

; ϕ

•
•

0H.
=∇
•

1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ
Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián
đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được
- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường
D
1n
- D
2n
= ρ
S
ρ
S
mật độ điện mặt
Khi ρ
S
= 0 ta có: D
1n
= D
2n
hay
1
2
n2

= B
2n
,
1
2
n2
n1
H
H
µ
µ
=
(1.72)
- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường
H
1
τ
- H
2
τ
= I
S
I
S
dòng điện mặt
(1.73)
ti
m
e
ω

= 0 ta có: H
1
τ
= H
2
τ
hay
1
2
2
1
B
B
µ
µ
=
τ
τ
- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn
lí tưởng có σ
2
= ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa
là
0HE
22
==

.
Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ
0H;E

phần pháp tuyến của
E

và thành phần tiếp tuyến của
H

1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting
- Năng lượng của trường điện từ
W = W
E
+ W
M
=
( )
∫
ω+ω
V
ME
dV
=
∫








µµ

(W/m
2
) vector Poynting
23
Phương trình =
∫∫
σ=
V
2
V
dVEdVEJ

công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện
dẫn
J

gây ra trong V
P
O
=
∫
V
E
dVEJ

công suất của nguồn ngoài trong thể tích V
(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ
trong thể tích V
Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn
hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của


tại
mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞
hay còn gọi là điều kiện biên
E = E
τ
|S
hoặc H = H
τ
|S
với 0 < t < ∞
(1.77)
Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào
đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các
điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất.
1.11. Nguyên lí tương hỗ
Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và
các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian.
1. Bổ đề Lorentz
24
Dạng vi phân








−−

HJHJ
EJEJHE.HE.


(1.78)
Dạng tích phân
∫
∫








−−








−=
=




m1
m2E
m2
m1E
S
m1m2m2m1
dVHJHJEJEJ
dSHEHE


(1.79)
V → ∞, ta có
0dVHJHJEJEJ
V
m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
=








∫∫








−=








−
••••••••
2V
m1
m2M
m1
m2E
1V
m2
m1M
m2
m1E