SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NÔNG
TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN SÁNG KIẾN:

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
HÌNH HỌC Oxyz TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ

NGƯỜI THỰC HIỆN : ĐÀO CÔNG HÙNG
BỘ MÔN: TOÁN HỌC

ĐĂK R’LẤP – 03/2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học là một phân môn của bộ môn Toán học trong chương trình giáo dục
phổ thông. Trong những đề thi từ năm 2016 trở về trước hình học sẽ gồm 3 phần: thứ
nhất là phần hình học Oxy, thứ hai là phần hình học không gian và thứ ba là phần
hình học Oxyz. Với nội dung và hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì hình học
gồm có 2 phần: thứ nhất là phần hình học không gian, thứ hai là phần hình học Oxyz.
Trong thực tế giảng dạy phần đa các em học sinh rất ngại bộ môn hình học đặc
biệt là phần hình học không gian. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì việc
nắm vững kiến thức và giải quyết nhanh bài toán hình học là hết sức quan trọng.
Để giúp các em học sinh nhanh chóng nhận ra và phân loại được một số dạng
toán hay gặp về hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ hay THPTQG tôi chọn đề tài
sáng kiến kinh nghiệm: “ Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán hình
học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ”.


* Đường thẳng ∆ đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vectơ chỉ phương u = (a; b; c)
 x = x0 + at

- Phương trình tham số của ∆ :  y = y0 + bt (t ∈ R)
 z = z + ct
0


- Phương trình chính tắc của ∆ :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
với a.b.c ≠ 0
a
b
c

II.Vị trí tương đối và khoảng cách:
 x = x0 + at

Cho M ( x0 ; y0 ; z0 ) , mp (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng ∆ :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Khi đó d ( M ;(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

 D ≠ k .D '

với M ∈ (α ), M ' ∈ ( β )
r
r
nα = k .n β
(k ≠ 0)
* (α ) ≡ ( β ) ⇔ 
 D = k .D '
r
r
* (α ) cắt ( β ) ⇔ nα ≠ k .n β (k ≠ 0)

⇒ d ((α );( β )) = 0
⇒ d ((α );( β )) = 0

2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
 x = x1 + a1t
r

∆1 :  y = y1 + b1t qua M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) và có véctơ chỉ phương u1 = (a1 ; b1 ; c1 )
z = z + c t
1
1

 x = x2 + a2t '
r

∆ 2 :  y = y2 + b2t ' qua M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) và có véctơ chỉ phương u 2 = (a2 ; b2 ; c2 )

2
 1
  M ∉ ∆
1
 2

⇒ d (∆1 ; ∆ 2 ) = 0

⇒ d (∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M 1 ; ∆ 2 ) = d ( M 2 ; ∆1 )

 x1 + a1t = x2 + a2t '
r
r

* ∆1 cắt ∆ 2 khi và chỉ khi u1 ≠ k .u 2 và  y1 + b1t = y2 + b2t ' có nghiệm (t;t’).
z + c t = z + c t '
2
2
 1 1
⇒ d (∆1 ; ∆ 2 ) = 0
 x1 + a1t = x2 + a2t '
r
r

* ∆1 chéo ∆ 2 khi và chỉ khi u1 ≠ k .u 2 và  y1 + b1t = y2 + b2t ' vô nghiệm (t;t’).
z + c t = z + c t '
2
2
 1 1
⇒ d (∆1 ; ∆ 2 ) = HK Với HK là đoạn vuông góc chung của ∆1 , ∆ 2 .

- Nếu (*) vô nghiệm t thì đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α ) .
Khi đó : d (∆;(α )) = d ( M ;(α )) Với M ∈ ∆
- Nếu (*) có một nghiệm t thì đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α ) tại một điểm.
Khi đó : d (∆;(α )) = 0
- Nếu (*) có nghiệm với mọi số thực t thì đường thẳng ∆ chứa trong mp (α ) .
Khi đó : d (∆;(α )) = 0 .
4.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 , mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R.
Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α ) Khi đó:
• d > R thì (α ) và ( S) không có điểm chung.
• d = R thì (α ) tiếp xúc với ( S) .
•

d < R thì (α ) cắt ( S) theo một đường tròn bán kính r = R 2 − d 2

5.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
 x = x0 + at

Cho đường thẳng ∆ :  y = y0 + bt và mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R. Gọi d
 z = z + ct
0


là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ , khi đó:
• d > R thì ∆ và ( S) không có điểm chung.
• d = R thì ∆ là tiếp tuyến của ( S) .
• d < R thì ∆ cắt ( S) tại hai điểm .
Chú ý: Ta có thể thế ∆ vào ( S ), tùy theo số nghiệm t suy ra vị trí tương đối
của ∆ và ( S ).
Người viết: Đào Công Hùng


a1a2 + b1b2 + c1c2
a + b12 + c12 . a2 2 + b2 2 + c2 2
2
1

3.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
r

r

Cho ∆ có vtcp u = (a; b; c) và mp (α ) có vtpt n = ( A; B; C )
Khi đó: sin(∆, (α )) =

Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I. Viết phương trình của mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng và bài toán liên
quan.
1. Viết phương trình mặt cầu
Bài 1: ĐH-2012B
Trong Oxyz cho điểm A(2;1;0), B(− 2;3;2) và đường thẳng ∆ :

x −1 y z
= =
.Viết
2
1 −2



tâm A cắt đường thẳng d tại B, C và BC = 8.
• Phân tích bài tốn
Tâm của mặt cầu đã có do đó ta chỉ cần bán kính của (S). Mà khoảng cách từ A
đến d tính được nên ta suy ra bán kính R bằng định lí Pitago.
• Gợi ý cách giải
- Tính khoảng cách từ A đến d bằng hình chiếu hoặc cơng thức.
- Gọi H là trung điểm BC suy ra R = AH 2 + HB 2 = d 2 + 42 .
- Viết phương trình mặt cầu (S).
Bài 3: ĐH-2008D
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3),
C(0;3;3), D(3;3;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm
A,B,C,D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
• Phân tích bài tốn:
a) Muốn viết phương trình mặt cầu (S) trong trường hợp này ta có hai cách:
- Cách 1: Tìm tâm I(a;b;c).
- Cách 2: Tìm ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .
b) mp(ABC) cắt (S) theo một đường tròn có tâm là hình chiếu vng góc của I
lên mp(ABC).
• Gợi ý cách giải:
a) Viết phương trình mặt cầu (S) theo hai cách:
- Cách 1: Gọi tâm I(a;b;c). Giải hệ phương trình IA = IB = IC = ID suy ra I.
Người viết: Đào Cơng Hùng

7

Năm học : 2016-2017

=
.Tính khoảng cách từ A đến ∆ .Viết phương trình mặt cầu tâm A
2
3
2

cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho BC = 8.
Bài 6: ĐH-2011D
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z = 0 và
đường thẳng d :

x −1 y − 3 z
=
= . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường
2
4
1

thẳng d, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với (P).
Bài 7: ĐH-2012A
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x+1 y z− 2
= =
1
2
1

và I (0;0;3)
Người viết: Đào Cơng Hùng


gian

Oxyz,

cho

mặt

cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 2 z − 11 = 0 và mặt phẳng ( P) : 6 x + 3 y − 2 z − 1 = 0 .

Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa
độ tâm của (C).
2. Viết phương trình mặt phẳng
Bài 1: ĐH-2008D
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(2;0;1).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng
(α ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 sao cho

MA = MB = MC.
* Phân tích bài tốn:
a) Đây là dạng tốn viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm mà chúng ta
gặp thường xun trong hình học Oxyz.
Người viết: Đào Cơng Hùng

9



x −1 y z − 2
.
= =
2
1
2
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên
đường thẳng d.
b) Viết phương trình mp (α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (α ) lớn nhất.
* Phân tích bài tốn:
a) Đây là bài tốn tìm tọa độ hình chiếu vng góc của một điểm lên một
đường thẳng cho trước.
Người viết: Đào Cơng Hùng

10

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

b) Gọi H là hình chiếu của A lên d, K là hình chiếu của A lên (α ) . So sánh AH
và AK.
* Gợi ý cách giải:

uuur uur
a) Gọi H (1 + 2t ;1; 2 + 2t ) ∈ d . Ta có AH .ud = 0 suy ra t và H.



2;1;3),
C(2;-1;1) và D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 6: ĐH-2010D
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x + y + z − 3 = 0
và (Q) : x − y + z − 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông
góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng
2.
Bài 7: ĐH-2011A
Người viết: Đào Cơng Hùng

11

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Trong

không

gian

Oxyz,

cho

mặt

−2
1

Tìm điểm M thuộc d sao cho AM = 2 30
Bài 9: ĐH-2013D
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai
điểm
A(-1;-1;-2),B(0;1;1). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng (P).
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A,B và vng góc với mặt phẳng (P).
Bài 10: ĐH-2014A
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x− 2
y z+3
và
= =
1
−2
3

mp ( P) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Tìm giao điểm của d và mp(P). Viết phương trình mặt
phẳng chứa d và vng góc với mp(P).
Bài 10: ĐH-2014B
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x−1 y +1 z
và
=
=
2

2
−1
1 , d2 : − 1
2
1

1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua
đường thẳng d1.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông
góc với d1 và cắt d2.
* Phân tích bài tốn:
a) Muốn tìm điểm A’ đối xứng với A qua d 1 ta tìm tọa độ hình chiếu vng góc
H của A lên d1 sau đó tìm A’ bằng cơng thức tọa độ trung điểm.
b) Muốn viết phương trình đường d ta cần tìm thêm một điểm thuộc d 2 mà d đi
qua dựa vào điều kiện vng góc với đường d1.
* Gợi ý cách giải:
a)

uuur ur
- Gọi H (2 + 2t; − 2 − t ;3 + t ) ∈ d1 . Ta có AH .u1 = 0 suy ra t và H.

- A’ đối xứng với A qua d1 nên nhận H là trung điểm, suy ra tọa độ A’.
b)

uuuur uur
M
(1
−
s
;1

và

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

Người viết: Đào Cơng Hùng

13

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp
( P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

* Phân tích bài tốn:
a) Dựa vào cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. (có thể dựa vào tích
có hướng để chứng minh)
b) Muốn viết phương trình đường d ta cần tìm A, B thuộc d 1, d2 và điều kiện
vng góc với đường mp(P).
* Gợi ý cách giải:
a)

ur uur
- Ta có u1 ≠ ku2 .

- Thế d2 vào d1 vơ nghiệm t, suy ra d1 và d2 chéo nhau.
b)



Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d:

x −1 y + 3 z − 3
=
=
−1
2
1

và mặt phẳng ( P) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0 .
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cánh từ I
đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt
phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng d’
nằm trong mặt phẳng (P), biết d’ đi qua A và vuông góc
góc với d.
Bài 5: ĐH-2006A
Trong không gianOxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường
thẳng :
x y −1 z +1
d1 : =
=


Người viết: Đào Cơng Hùng

15

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai
điểm

A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và

song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài 8: ĐH-2009D
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2),
C(1;1;0) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 20 = 0 . Xác đònh tọa độ
điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song
song với mặt phẳng (P).
Bài 9: ĐH-2009D
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x+ 2 y− 2 z
=
=
1
1


16

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Chứng minh rằng hai đường thẳng trên cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng
chứa cả hai đường thẳng đó.
Bài 12: CĐ-2012NC
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y − 2 z = 0 , đường
thẳng d :

x − 2 y +1 z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm
−1
−1
1

của d và (P), đồng thời nằm trong mặt phẳng (P) và vng góc với d.
Bài 13: ĐH-2013B
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x+1 y− 2 z+ 3
=
=
−2

−2

toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách
từ M đến đườngđthẳng d2 và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
* Phân tích bài tốn:
Ta dựa vào giả thiết M thuộc d1 và điều kiện khoảng cách bằng nhau để tìm M.
* Gợi ý cách giải:
- Ta lấy M ( − 1 + t ;3 + t ; − 1 − 2t ) ∈ d1 .
Người viết: Đào Cơng Hùng

17

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

- Ta có d ( M , d 2 ) = d ( M ,( P)) suy ra t và M. (dùng cơng thức tính khoảng cách)
Bài 2: ĐH-2010 B
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c), trong đó b, c dương và mặt phẳng ( P) : y − z + 1 = 0 . Xác
đònh b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
(ABC) bằng

1
.
3


=
1
3
−2

và A(-2;1;1) , B(-3;-1;2). Xác đònh điểm M thuộc ∆ sao cho diện tích tam
giác MAB bằng 3 5 .
* Phân tích bài tốn:
Ta dựa vào giả thiết M thuộc ∆ và điều kiện S∆MAB = 3 5 để tìm M.
* Gợi ý cách giải:
- Ta lấy M ( − 2 + t ;1 + 3t; − 5 − 2t ) ∈ ∆ .
- Ta có S∆MAB = 3 5 ⇔
Người viết: Đào Cơng Hùng

1  uuuur uuur
AM , AB  = 3 5 suy ra t và M.
2

18

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Một số đề thi tham khảo tương tự
Bài 4: ĐH-2009B
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng

= =
2
1
−1

và mặt phẳng ( P) : x − 2 y + z = 0 . Gọi C là giao điểm của ∆ với
(P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết
MC =

6.

Bài 8: ĐH-2011A
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (2; 0; 1), B (0; -2;
3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − y − z + 4 = 0 . Tìm M thuộc mặt phẳng (P)
sao cho MA = MB = 3.
Bài 9: ĐH-2011 B

Người viết: Đào Cơng Hùng

19

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng tốn hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆:

x+ 2 y +1 z
=

Người viết: Đào Cơng Hùng

20

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

a) Từ toạ độ O, A, B, S ta tìm được tọa độ C, D, M. Suy ra khoảng cách và góc
giữa SA và BM.
b) Dựa vào kiến thức hình học không gian ta có N là trung điểm SD. Suy ra thể
tích S.ABMN.
* Gợi ý cách giải:
a) Ta có C(-2;0;0), D(0;-1;0) và M (− 1;0; 2) . Tính khoảng cách và góc giữa SA
và BM bằng công thức.
1
1
b) N (0; − ; 2) . Suy ra: VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN =
2
6

uur uur uuur
 SA.SB  .SM + 1


6

uur uuur uuur
 SA.SM  .SN

Một số đề thi tham khảo tương tự
Bài 3: ĐH-2008D
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB = BC
= a, cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính thể tích của khối lăng trụ
trên và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B’C.
Bài 4: ĐH-2012D
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC
vuông cân ,A’C = a. Tính theo a thể tích của ABB’C’ và khoảng cách từ A đến
mp(BCD’).
Bài 5: ĐH-2013B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp(SCD).
Bài 6: ĐH-2014A
Người viết: Đào Công Hùng

22

Năm học : 2016-2017


SKKN: Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán hình học Oxyz trong các đề thi ĐH-CĐ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SD =

3a
, hình
2

chiếu vuông góc của S lên đáy (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể

- Đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ, thi THPT QG từ 2005 - 2016.
- Đề thi mẫu của Bộ Giáo dục và Đào tạo giới thiệu năm học 2016-2017.

Mục lục:
A. ĐẶT VẤN ĐỀ...…………………………………………………………………...1
B. NỘI DUNG…..……………………………………………………………...…..…2
Phần I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ..…………………………..……...2
Phần II: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP…………………………..…….5
I. Viết phương trình của mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng và bài toán
liên quan……………………………………………………………….………5
II. Các bài toán vị trí tương đối, khoảng cách………………………….15
III. Một số dạng toán khác……………………………………………..18
C. KẾT LUẬN……………………………..……...…………………………………21
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………...……………………...21

Người viết: Đào Công Hùng

24

Năm học : 2016-2017