Mục lục

Mục
Trang

1.
2.
3

2.1

Phần mở đầu

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

Ap dụng quy tắc đếm chứng minh
công thức Van- Đec- Mon

3

2.2

2.3

Ap dụng quy tắc đếm để tính tổng
3

Kết hợp cấp số cộng và công thức Van-Đec-Mon
để tính tổng

cơ sở hết sức quan trọng . Phần này không những có tác dụng rèn luyện tư duy
trừu tượng cho học sinh mà còn là kiến thức cơ sở cho việc hình thành phẩm
chất tư duy trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế sau này.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: Học sinh gặp nhiều khó khăn, chưa chủ
động và thiếu tự tin trong quá trình học Đại số tổ hợp. Đặc biệt học sinh gặp
khó khăn nhất khi gặp những bài toán tính tổng. Loại toán này lại thường xuất
hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi đại học. Để giúp học sinh chủ
động và tự tin hơn trong quá trình học và làm bài tâp về dạng toán này, tôi xin
đề xuất một phương pháp tính tổng thông qua bài viết : “Áp dụng quy tắc đếm
để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp ”.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nhằm giúp học sinh chủ động tự tin hơn trong khi giải bài toán tính tổng trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi các cấp.
Đây là phần kiến thức khó trong khi học sinh kỹ năng tư duy logic chưa tốt,
nên cần phải có một phương pháp tính tổng để chuyển một bài toán khó thành
một bài toán quen biết và dễ hơn. Và thông qua phương pháp này học sinh có
thể tự ra đề toán và giải bài toán đó một cách chủ động.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11qua các khóa trực tiếp
giảng dạy.

2


Thông qua việc tìm mối quan hệ giữa một tổng cần tính với một bài toán Đếm
và giải bài toán đó bằng hai cách mà trong đó có một cách làm xuất hiện tổng
cần tính.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê, tổng hợp ,khái
quát hóa và đưa ra bài toán tổng quát.

k
0
Theo quy tắc cộng ta có C n C m + C n C m + C n C m + ... + C n C m cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có công thức Van Đéc Mon sau

3


Cn0Cmk + Cn1C mk −1 + Cn2 Cmk −2 + ... + C nk Cm0 = Cmk +n

Áp dụng công thức Van- Đec-Mon cho trường hợp n = m = k ta có:

(C ) + (C ) + (C )
0 2
n

2.2

1 2
n

2 2
n

( )

+ ... C nn

2

k
0
Theo quy tắc cộng ta có Cn C m + 2C n Cm + ... + kCn C m cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có S1 = nC mk −+1n−1
Tính tổng sau
4


S 2 = Cii C ni Cmk −i + Cii+1C ni +1C mk −i −1 + Cii+2Cni +2Cmk −i −2 + ... + Cki C nk Cm0 ; (i ≤ k )

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách
Bài toán 2 : Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có i bạn nam làm quản lý.
(i ≤ k )

Cách 1:

Ta có C ni C mk −+in−i cách chọn

Cách 2:
TH1 : Chọn i bạn nam và có Cii cách chọn i nam để làm quản lý và k-i bạn nữ
trong m bạn nữ , vậy ta có Cii C ni C mk −i cách chọn
TH2: Chọn i+1 bạn nam và có Cii+1 cách chọn i nam để làm quản lý và k-i-1
bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta có Cii+1C ni +1C mk −i −1 cách chọn
………………………………………………..
THk-i-1: Chọn k bạn nam và có C ki cách chọn i nam để làm quản lý vậy ta có
C ki C nk C m0 cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có

Ckj−i cách chọn j bạn nữ làm nhiệm
i +1

TH2: Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ci +1 cách chọn i
k −i −1

bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có Cm

cách chọn ban nữ trong m bạn nữ

j
và có Ck −i −1 cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

Cii+1Ckj−i −1Cni +1Cmk −i −1 cách chọn

………………………………………………..
k− j

TH k-i-j+1: Có Cn

i
cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có Ck − j
j

cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có Cm cách chọn ban nữ trong m
j
bạn nữ và có C j cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

TH1: Có Cn cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có A22 cách chọn một
k −2
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cm cách chọn ban nữ

vậy ta có A22 C n2 C mk −2 cách chọn
3
2
TH2: Có Cn cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có A3 cách chọn một
k −3
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cm cách chọn ban nữ

vậy ta có A32 C n3C mk −3 cách chọn
………………………………………………..
k
2
TH k-1: Có Cn cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có Ak cách chọn một

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó vậy ta có Ak2 C nk C m0 cách chọn
2
2
k −2
2
3
k −3
2
k
0
Theo quy tắc cộng ta có A2 C n C m + A3 C n C m + ... + Ak C n C m cách chọn

2


i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
k −i −1

và có Cm

cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có Aii+1C ni +1C mk −i −1 cách chọn

………………………………………………..
k
i
TH k-j+1: Có Cn cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có Ak cách chọn

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
0
và có Cm cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có Aki C nk C m0 cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có
Aii Cni Cmk −i + Aii+1Cni +1Cmk −i −1 + Aii+2Cni +2C mk −i −2 + ... + Aki Cnk Cm0 cách chọn
i
k −i
Từ hai cách giải trên ta có : S 5 = An Cm+n−i

Tính tổng sau
S 6 = Aii Akj−i C ni C mk −i + Aii+1 Akj−i −1C ni +1C mk −i −1 + Aii+2 Akj−i −2 Cni +2 Cmk −i −2 + ... + Aki − j A jj C nk − j Cmj

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:


i +1

TH2: : Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý
k −i −1

các bạn nam và có Cm

j
cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có Ak −i −1 cách

chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau
quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 Akj−i −1C ni C mk −i −1 cách chọn
………………………………………………..
k− j

TH k-i-j+1: Có Cn

i
cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có Ak − j

cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác
j

nhau để quản lý các bạn nam và có Cm cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có


( )

+ ... + n C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 7: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có 1 bạn nam làm đội trưởng
Cách 1: Ta có

nC 2nn−−11 cách chọn

Cách 2:
TH 1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và Cnn −1 cách
chọn n-1 ban nữ, vậy ta có C n1 C nn −1 = ( C n1 ) cách chọn
2

TH 2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và có

( )

2

Cnn −1 cách chọn k-2 ban nữ , vậy ta có 2C n2 C nn −2 = 2 C n2 cách chọn

9




+ ... + C nk C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 8: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có k bạn nam làm nhiệm vụ quản lý
đội. (k ≤n)
Cách 1: Ta có

C nk C 2nn−−kk cách chọn

Cách 2:
TH 1 : Chọn k bạn nam và có C kk cách chọn k nam để làm quản lý và C nn −k cách
chọn n-k ban nữ, vậy ta có C kk C nk C nn −k = C kk ( C nk ) cách chọn
2

TH 2: Chọn k+1 bạn nam và có C kk+1 cách chọn k nam để làm quản lý và C nn −k −1
cách chọn n-k-1 ban nữ, vậy ta có C kk+1C nk +1C nn −k −1 = C kk+1 ( C nk +1 ) cách chọn
2

………………………………………………..
TH n-k+1: Chọn n bạn nam và có C nk cách chọn k trong n nam để làm quản lý
và 0 ban nữ ta có C nk C nn C n0 = C nk ( C nn ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có C kk ( C nk ) + C kk+1 ( C nk +1 ) + ... + C nk ( C nn ) cách chọn
2



2


Bài toán 9: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ làm nhiệm vụ
quản lý đội. (i +j ≤n)
Cách 1:

C ni C nJ C 2nn−−i −i −j j cách chọn

Ta có

Cách 2:
TH 1 : Chọn i bạn nam và có Cii cách chọn i nam để làm quản lý và C nn−i cách
chọn n-i ban nữ và có C nj−i cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

( )

C ii C nj−i C ni C nn −i = C ni − j C jj C ni

2

cách chọn

TH 2 : Chọn i+1bạn nam và có Cii+1 cách chọn i nam để làm quản lý và C nn−i −1
cách chọn n-i-1 ban nữ và có C nj−i −1 cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

(



cách

chọn
i
J
n −i − j
Từ hai cách giải trên ta có: S 9 = C n C n C 2 n−i − j

Tính tổng sau

( )

S10 = A22 C n2

2

( )

+ A32 C n3

2

( )

+ ... + An2 C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:


………………………………………………..
n
2
TH k-1: Có Cn cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có An cách chọn một
0
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cn cách chọn ban nữ

vậy ta có An2 ( C nn ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có A22 ( C n2 ) + A32 ( C n3 ) + ... + An2 ( C nn ) cách chọn
2

2

2

2
n−2
Từ hai cách giải trên ta có : S10 = An C2 n−2

Tính tổng sau

( )

S11 = Aii C ni

2



i

TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ai cách chọn mỗi bạn
nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có

Cnn−i cách chọn ban nữ trong n bạn nữ
Vậy ta có Aii ( C ni ) cách chọn
2

i +1

TH1: Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
n −i −1

và có Cn

cách chọn ban nữ trong n bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 ( C ni +1 ) cách chọn
2

……………………………………………..
n
i
TH n-i+1: Có Cn cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có An cách chọn



2

(

+ ... + Ani − j A jj C nn − j

)

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 12: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một
nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn
nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản
lý các bạn nữ (i + j ≤ n)
Cách 1:

i
j
n −i − j
Ta có An An C 2 n−i − j cách chọn

Cách 2:

13


i

cách chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau
để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 Anj−i −1 ( C ni +1 ) cách chọn
2

………………………………………………..
n− j

i
cách chọn n-j bạn nam trong n bạn nam và có An− j

TH k-i-j+1: Có Cn

cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác
j

nhau để quản lý các bạn nam và có Cn cách chọn j ban nữ trong n bạn nữ và có

A jj cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác
nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Ani − j A jj ( C nn− j ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có Aii Anj−i ( C ni ) + Aii+1 Anj−i −1 ( C ni +1 ) + ... + Ani − j A jj ( C nn − j ) cách
2

2

2

chọn
i


− 13 C n3

2

( )

− ... + (2 − 5n) C nn

2

Giải: Nhận thấy 2; -3; -8; -13;...;2-5n là một cấp số cộng với công sai là d = -5
Ta có

( )

S13 = 2 C n0

2

( )

− 3 C n1

( )

2

− 8 C n2
14

2

( )

− ... + 2 C nn

2

k
n−k
Cộng vế hai đẳng thức trên và để ý rằng C n = C n ta có

( )

2 S13 = (4 − 5n) C n0

2

((

⇔ 2 S13 = ( 4 − 5n ) C n0

(

+ (4 − 5n) C nn −1

)

(



)

1
( 4 − 5n ) C 2nn
2

Tính tổng sau

( )

S14 = U 1 C n0

2

( )

+ U 2 C n1

2

( )

+ U 3 C n2

2

( )

+ ... + U n +1 C nn

+ U n C nn −1

)

2

(

( )

2

+ U n −1 C nn − 2

+ ... + U n +1 C nn

)

2

( )

+ ... + U 1 C n1

2

2

k
n−k

2

( )

+ ... + (U n +1 + U 1 ) C nn

2

1
(U 1 + U n +1 )C 2nn .
2

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Tính các tổng sau:
1
2013
2
2012
3
2011
2014
0
S1 = C 2015
C2016
+ 2C2015
C2016
+ 3C2015
C 2016
+ ... + 2014C2015

C 2016
+ C1110 C1999
C n11C m1999 + C12
C1998C 2015
C 2016
+ ... + C1990
C 20
C 2015 C 2016

15


2
1998
3
1997
2
2000
0
S 4 = A22C2015
C2016
+ A32C2015
C2016
+ ... + A2000
C2015
C2016
10 10
1990
10 11
1989

A1989
C 2015
C2016
+ ... + A1980
A20
C2015 C 2016

(

1
S 7 = C 2016

)

2

(

(

)

10
S 8 = C1010 C 2016

2

(

)

2

2

2

12
+ C1210 C 2016

2

2

2

2

2

10
2016
+ ... + A2016
C 2016

)

(

( )


2

2

2

(

)

)

)

10
2016
+ ... + C 2016
C 2016

(

(

( )

)

)

2

20
11
+ C1110 C 2005
C 2016

(

(

2

)

)

(

2

3
+ A32 C 2016

20
10
S12 = A1010 A2006
C 2016

( )

(

10
1996
+ ... + A1996
A2020 C 2016

( )

− ... + (7 − 6n) C nn

( )

+ ... + (5n − 5) C nn

2

2

-------------------------------------------------------------------------------------

3.

KẾT LUẬN

3.1 Kết quả thực nghiệm
3.1.1 Kết quả kiểm tra
Lớp

Sỹ số

Điểm TB

41

14

32

8

18

40

90

11B7

42

20

48

12

29

5

12


dạng.
3.2 Bi hc kinh nghim
T thc t ỏp dng ti ny vo ging dy, mt kinh nghim c rỳt ra l
trc ht hc sinh phi nm vng cỏc quy tc m v cỏc khỏi nim trong i s
t hp cú th t ra mt bi toỏn m cú liờn quan n tng cn tỡm. Rốn
luyn k nng gii mt bi toỏn m bng nhiu cỏch khỏc nhau.
3.3 kt lun
3.3.1 u im
Trong phạm vi của bài viết này đã khẳng định đợc vai trò
quan trọng của quy tắc đếm trong việc tính tổng. Bằng phơng pháp này cho phép chúng ta thay thế việc tính một
tổng Phức tạp thành việc giải một bài toán Quen
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp 11B3 - 11B7 - 11B10 của trờng THPT Hàm Rồng, khi áp dụng đề tài này tôi thấy học sinh
chủ động chuyển Lạ thành Quen và giải quyết một mảng
bài tập lớn về tính tổng một cách chủ động, tự tin và hứng thú
học tập phần toán tính tổng.Đặc biệt từ phơng pháp này học

17


sinh còn có thể tự ra những bài toán tính tổng lý thú và đa
dạng.
3.3.2 Hn ch
Phm vi ỏp dng phng phỏp cũn hp mi dng li mt s tng cú tớnh
cht c bit.
3.3.3 Hng phỏt trin ti
Kt hp quy tc m vi cp s nhõn v cỏc dóy s c bit m rng cỏc
dng tớnh tng hn na.
Trong thời gian tới rất mong đợc sự cộng tác của các đồng
nghiệp để chúng ta có thể đa ra những phơng pháp tính
tổng khác, nhằm chuyển hoá việc tính một tổng Khó thành

nếu có sự man trá.

Trờng THPT Hàm Rồng ngày 10 Tháng
5 Năm 2016
Thủ trởng cơ quan

Ngời viết

19


NguyÔn Hång Quang

20