MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1 cở sở lí luận của vấn đề
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.3. Giải pháp thực hiện
Dạng sai lầm 1
Dạng sai lầm 2
Dạng sai lầm 3
Dạng sai lầm 4
Dạng sai lầm 5
Bài tập vận dụng
Kết quả của SKKN
3.Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
1
2
2
3
3
8

phạm một trong hai điều kiện khi tìm GTLN, GTNN.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán THCS, qua thực tế và kinh
nghiệm giảng dạy, qua trao đổi với đồng nghiệp tôi nhận thấy rằng, khi gặp những
bài toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường gặp khó khăn và hay mắc phải sai lầm.
Nhằm giúp học giải những bài toán tìm GTLN, GTNN có hiệu quả và tránh được
những sai lầm. Tôi đã nghiên cứu, tập hợp và đề xuất đề tài “Hướng dẫn học sinh
lớp 9 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán cực trị đại số ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của việc nghiên cứu đề tài là nhằm phát hiện ra những bài toán,
những dạng toán về cực trị Đại số mà học sinh hay mắc phải khi giải dạng toán này,
từ đây GV có những biện pháp để giúp HS tránh được những sai lầm, đồng thời rèn
luyện cho HS kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng biến đổi, kĩ năng giải toán cực trị.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các dạng toán về cực trị Đại số, nghiên cứu và phát hiện
hiện ra những sai lầm mà học sinh gặp phải khi giải toán dạng này. Đồng thời GV
dựa trên kinh nghiệm của mình nghiên cứu ra cách khắc phục sai lầm mà học sinh
gặp phải.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trước hết GV nghiên cứu lý thuyết, các dạng toán về cực trị Đại số, chọn lọc
các bài toán ở mỗi dạng. Sau đó tiến hành dạy lý thuyết và cho học sinh thực hành
giải toán. GV sẽ là người tổng hợp lại những sai lầm mà học sinh gặp phải và đề ra
1


hướng khắc phục ở mỗi bài, mỗi dạng. Cuối cùng GV cho HS làm bài khảo sát, GV
thống kê, xử lý kết quả báo cáo.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là
giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu M = minf(x), nếu hai điều kiện sau được

thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, biểu thức: A = (x- 1)2 + (x- 3)2.
Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại
giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2
A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2. Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Toán học là một môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con
người chúng ta trong bất kỳ hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán.
Nghiên cứu về toán cũng chính là nghiên cứu một phần của thế giới. Trong cuộc
sống thực tế hiện nay có rất nhiều các bài toán liên quan đến tìm GTNN, GTLN.
Do vậy khi ngồi trên ghế nhà trường HS phải được trang bị một số kiến thức cơ bản
nhằm có kiến thức vận dụng vào cuộc sống, không những vậy trong những năm
gần đây dạng toán này được sử dụng rất nhiều trong các kì thi HSG cấp Huyện, cấp
Tỉnh, cấp Quốc gia, thi vào lớp 10. Tầm quan trọng của dạng Toán này là vậy,
nhưng khi tiếp cận với các bài toán về tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS đang
gặp nhiều khó khăn trong cách giải vì các em chưa được vận dụng linh hoạt, nhanh
nhạy và sáng tạo trong việc vận dụng định nghĩa, tính chất của BĐT và một số
2


BĐT như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN. Do đó hay
mắc phải những sai lầm khá phổ biến do thường vi phạm một trong hai điều kiện
khi tìm GTLN, GTNN dẫn đến kết quả của bài toán bị sai hoặc thiếu điều kiện.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy các em, tôi luôn cố gắng trang bị cho
các em các phương pháp tìm GTLN, GTNN. Ngoài ra bản thân luôn phải trăn trở
tìm tòi biện pháp để các em giải quyết các bài toán một cách chính xác không mắc
phải sai lầm. Xuất phát từ điều này tôi đã tiến hành nghiên cứu và khảo sát trên 35
HS lớp 9 và có kết quả như sau:
Kết quả khảo sát
Sĩ số

sau đây tôi xin đưa ra một số dạng toán mà học sinh hay mắc sai làm và cách khắc
phục.
2.3. Các kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Trước hết giáo viên cần trang bị cho HS các kiến thức cơ bản về tìm GTLN,
GTNN, các phương pháp tìm GTNN, GTLN. Giáo viên tiến hành truyền thụ cho
các em những sai lầm mà các em gặp phải trong quá trình giải toán. Những sai lầm
mà HS hay gặp phải và cách khắc phục như sau:
Dạng sai lầm 1: Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong bất đẳng
thức f(x) ≥ M ( f(x) ≤ M) hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thỏa mãn giả
thiết.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x2 +5y2 + 4xy – 4x – 8y +6
Lời giải có vấn đề
2
2
P = (x +4y +1 + 4xy – 2x – 4y) + (x2 – 2x +1) + (y2 -4y +4)
= (x + 2y - 1)2 + (x-1)2 + (y-2)2
Vì (x + 2y - 1)2 ≥ 0;(x-1)2 ≥ 0; (y-2)2 ≥ 0 nên P ≥ 0.Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0
Phân tích sai lầm
Bài giải trên mắc sai lầm trong chứng minh điều kiện 2, không chỉ ra dấu “=”
xảy ra khi nào dẫn đến chưa thấy được kết quả trên cũng sai do không tồn tại x, y
x + 2 y = 0

để xảy ra đồng thời:  x − 1 = 0 Hệ vô nghiệm.
y − 2 = 0


Lời giải đúng
3



3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi và chỉ khi  2

y
−
=
0
3

y = 2
3

3

= 2(x2 +y2 +1 +2xy – 2x – 2y) + 3(y2 – 2y + ) +

Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x+2 x
Lời giải có vấn đề:
A= x+2 x = x+2 x +1 – 1 = ( x + 1) 2 − 1 ≥ −1 vì ( x + 1) 2 ≥ 0
Vậy MinA = -1
Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -1, chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = -1. Xảy ra dấu
bằng khi và chỉ khi x = −1 vô lý .
Lời giải đúng :
Để tồn tại x phải có x ≥ 0. Do đó A= x+2 x ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi x =0
Vậy giá trị nhỏ nhất A = 0 Khi và chỉ khi x = 0
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

(x + a)(x + b)
với x > 0, a, b là các

Ta có A =
x
x
x

ab
Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + ≥ 2 ab
x
4


nên A ≥ 2 ab + a + b =

(

a+ b

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của A =

(

)

2

.

ab


x = y = z = 3
 2
2
2
Ta thấy P = 42 xảy ra khi  x + y + z = 27
x = y = z = 1


Hệ này vô nghiệm do đó P = 42 không thể xảy ra.
Lời giải đúng
2
2
2
2
Ta xét hiệu 3(x + y + z ) – (x+y+z) = 2(x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx)
= (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 ≥ 0 (1)
Từ (1) suy ra (x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 3.27 => x+y+z ≤ 9 (2) (đẳng thức xảy
ra  x = y = z =3)
Cũng từ (1) ta suy ra: 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x2 + y2 + z2) => xy + yz + zx ≤ 27 (3)
Từ (2) và (3) ta có: P = x+ y + z + xy + yz + zx ≤ 36
Dấu “=” xảy ra  x= y = z = 3
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36  x = y =z =3
Ví dụ 5: Với x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của:
x

y

z

P = (1 + 5 y ) (1 + ) (1 +

(2)
(3)
64
125

Nhân từng vế (1), (2), (3) ta có: P2 ≥
8 5
25

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

Phân tích sai lầm.
Sai lầm ở chỗ là không tồn tại x, y, z để P =
Thật vậy giá trị tồn tại x, y, z > 0 để P =

8 5
25

8 5
25

x

Thì phải có: 5 y = 1 ⇒ x = 5y
y
= 1 ⇒ y = 5z
5z
z
= 1 ⇒ z = 5x
5x

5
5
5
5
5
5

Tương tự:

1+

6
y
≥
5z
5

6

1+

6

x
y

6
z
≥
5x


P ≥

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

4x2 + 9 y 2
(Đề thi Học kì II – tỉnh Thanh
xy

Hóa)
6


Lời giải có vấn đề:
Với x, y >0, Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương 4x2; 9y2 ta có: 4x2+ 9y2 ≥ 2.6xy =
12xy
 M≥

12xy
= 12. Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x = 3y
xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 12 khi 2x = 3y hay x =

3
y
2

Phân tích sai lầm
Sai lầm trong lời giải trên là xác định dấu “=” xảy ra ⇔ x =

Lời giải có vấn đề:
Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương ta có:
5
5
30
30
≥ 2 2 x.
= 4 15 ; y + ≥ 2 y. = 2 5
y
y
x
x
30 5
 P = 2x + y + + ≥ 4 15 + 2 5 . Dấu “=” xảy ra  x = 15; y = 5
x y
2x +

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 15 + 2 5 khi x = 15; y = 5
Phân tích sai lầm
Trong lời giải trên ta thấy dấu “=” xảy ra  x = 15; y = 5 hay x+ y = 15 + 5 < 10
trong khi điều kiện bài toán là x + y ≥ 10. Vì vậy lời giải trên chưa thỏa mãn điều
kiện bài toán.
Lời giải đúng.
30

5

4

6

+ ≥2 . =2
5 y
5 y
Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y ≥ 10 => P ≥ 8 + 12 + 2 = 22
6
30
6 30
x+
≥2
x.
=12
5
x
5 x

(1)

(2)

7


 x,y > 0
6
 x = 30
x = 5
x
5
Dấu "=" xảy ra   y 5


x
1
1
1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ ≥ 2 y. = 2 (2)
y
y

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x,

2

2

1
 1 
Từ (1) và (2) => A =  x+ ÷ +  y + ÷ ≥ 8
y
 x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 8 khi và chỉ khi x = y= 1
Phân tích sai lầm:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ chưa sử dụng đến điều kiện của bài toán là x+ y =1.
Dẫn đến hướng giải sai lầm
1
= x ⇔ x2 = 1
x
1
2
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi y = y ⇔ y = 1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x

2
+ 2 ≥2 2 2 =
≥ 8 (2).
2
x
y
x .y
xy
2

2

2

2

1
25
1 1
Từ (1) và (2) ta có: A = 4 + x +y +  ÷ +  ÷ ≥ 8 + +4 =
2
2
x y
25
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A =
khi và chỉ khi x= y (với x+ y =1) hay x=y =
2
2
1

Khi kết luận giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 đạt được khi x =
không đối chiếu “điểm rơi” x =

3
là chưa đúng do
3

3
với điều kiện bài toán cho là x ≥ 2 .Nhận thấy
3

3
< 2 nên kết luận trên chưa đúng.
3

Lời giải đúng:
1
12 11
Ta có: S = 3x + = 3x + −
x
x x

Vì x ≥ 2 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số 3x và

12
ta có:
x

12
12



Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 - 5x + 9

với x > 3.

Lời giải sai:
2

Ta có: A = x - 5x + 9
25
25
)+94
4
5
11
11
= (x - )2 +
>
2
4
4
11
5
Vậy GTNN của A là
khi x =
4
2

= (x2 - 5x +

x
Lời giải vấn đề:
1

Ta có: (x - y )2 ≥ 0
(y -

1 2
) ≥ 0
x

⇒

⇒

y2 +

1

x2 + y 2 ≥
1
≥
x2

2.

x

2 . y (1)


10


M

1

1

= (x2 + y 2 ) (y2 + 2 ) =
x

x2 y2 +1 x2 y2 +1
.
y2
x2

1
x2 y2 +1 2
) = (xy + xy )2
xy
1
1
15
Mặt khác ta có:xy + xy = (xy + 16 xy ) + 16 xy
(1)
1
1
1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: xy + 16 xy ≥ 2 xy

⇒
M = (xy + )2 ≥ ( )2 =
Dấu “=” xảy ra  xy =
(với x +
xy
16 xy
4
16
1
y = 1) ⇔ x = y =
2
289
1
Vậy GTNN của M bằng
⇔ x=y=
16
2

=(

V í dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức
 x2 y2   x y 
A = 3  2 + 2  − 8 + 
x   y x
y

Lời giải có vấn đề
x

y

4

4
−3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A =
khi m =
4
3
2

2

Phân tích sai lầm
Ta thấy điều kiện của m là m ≥ 2 . Nhưng khi biến đổi biểu thức A để A đạt giá
4
4
−3
mà
< 2 điều này chứng tỏ khi A =
thì m không thỏa
3
3
4
−3
mãn Đk bài toán hay không tồn tại giá trị của x, y để A =
4

trị nhỏ nhất là m =

Lời giải đúng:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = - 10 với m = 2 khi đó x = y
Như vậy đối với dạng sai lầm này, để khắc phục được thì trước hết học sinh
phải đọc kĩ đề bài, xem xét kĩ các điều kiện của bài toán, nội dung biểu thức cần
tìm GTLN, GTNN để có hướng giải tránh sai lầm.
3. Dạng sai lầm 3: Trong bài làm có sử dụng nhiều bất đẳng thức nhưng khi
tìm điều kiện để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng
không đồng thời xảy ra vẫn kết luận biểu thức đạt hoặc không đạt giá trị nhỏ nhất
(hoặc lớn nhất)
1

Ví dụ 1: Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
x

y

của biểu thức M = 32. y + 2007. x

Lời giải có vấn đề
x y

x

y

Từ x, y > 0, Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương y ; x , ta có: y + x ≥ 2

(1)

2


Trong bất đẳng thức (1): Từ x, y > 0, ta có: y + x ≥ 2 thì dấu “=” xảy ra khi x=y
y
≥ 4 . Dấu “=” xảy ra khi y = 4x
x
1
1
≤ 1 vì khi x = y> 0 thì x + ≥ 2
Mặt khác x = y mâu thuẫn với x +
y
y

Trong bất đẳng thức (2):

Lời giải đúng
2

1

1
1
Từ điều kiện bài toán ta có: x, y > 0 và x + y ≤ 1 => 1 ≥  x +  ≥ 4 x.
y
y


⇒

y
≥4
x

Tìm GTNN của biểu thức : A = x + y
Lời giải có vấn đề

1

4

4

1 4
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1)
1 x+ y
=
≥ xy (2 )
2
2
1 4
4
4
A= + ≥
≥ =8
Từ (1) và (2) suy ra :
. Vậy Min A = 8
x y
xy 1
2

Lại có:

Phân tích sai lầm:


1

4

4x

y

=> A = ( x+y )  + ÷ = 5 + + ≥ 5+4 =9
y x
x y

1

 4x y
x=

=
 y = 2x


3
⇔
Dấu “=” xẩy ra khi  y x ⇔ 
x + y = 1 x + y = 1  y = 2


3
1


Vì -(x+y)2 ≤ 0; –  2 x −  ≤ 0;−( y − 5) 2 ≤ 0 nên D ≤
. Dấu “=” xảy ra khi và
4

2

x + y = 0
x = − y


7
7


chỉ khi 2 x − = 0 ⇔  x =
2
4


 y − 5 = 0
 y = 5

Ta thấy hệ này vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất
Phân tích sai lầm
2

7
145


Cách giải như sau; Biến đổi P(x,y) về một trong hai dạng sau:
Dạng 1: P(x,y) = m.F2(x,y) + n.H2(x) +g
(1)
2
2
Dạng 2: P(x,y) = m.F (x,y) + n.K (y) +g
(2)
Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x,y) là
biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
+ Nếu m> 0, n >0 thì ta có Max P(x,y) = g
 F ( x, y ) = 0
hoặc
 H ( x) = 0

Giá trị này đạt được khi và chỉ khi 

 F ( x, y ) = 0

K ( y) = 0

+ Nếu m
2

2

2

x−5

=0
x = 1
y +
⇔
2
Suy ra D ≤ 16. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
y = 2
 x − 1 = 0

Vậy giá trị lớn nhất của D là 16 khi và chỉ khi x = 1 và y=2
Đối với dạng này giáo viên lưu ý cho học sinh: Nếu sử dụng nhiều BĐT
khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra
dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
4.Dạng sai lầm 4: Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Tức là bất đẳng thức F(x) ≥ M (F(x) ≤ M) không xảy ra đẳng thức ứng với một
giá trị x=x0 nào đó (x0 thỏa mãn điều kiện bài toán) đã kết luận biểu thức F(x) đạt
giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) bằng M hoặc F(x) không đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất)
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = | x2 - x + 3| + | x2 - x - 2|
Lời giải có vấn đề:
2
2
Ta có: A = | x - x + 3| + | x - x - 2|

1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: (x - )2 = 0 ⇔ x 2
1
Vậy GTNN của A là 5 khi x =
2

A = x2 - 2 .

9
|
4

=5
1
=0
2

⇔ x=

1
2

Phân tích sai lầm.
1
11
1
9
11
9
| (x - )2 + | + | (x - )2 - |


1 2 9
) - |
2
4

= | (0 -

1 2 9
) - |
2
4

1 9
9
− | = | - 2| = 2 < | - |
4 4
4

Mà từ a ≥ b chỉ suy ra được | a| ≥ | b| khi a ≥ b ≥ 0
Lời giải đúng.
1 2
) +
2
1
A = | (x - )2 +
2

A = | (x -


9
) + ] . [- (x - )2 + ] ≥ 0
2
4
2
4
1
9
1
9
1
3
⇔ - (x - )2 +
≥ 0 ⇔ (x - )2 ≤
⇔|x - | ≤
2
4
2
4
2
2
3
1
3
⇔- ≤ x - ≤
⇔- 1 ≤ x ≤ 2
2
2
2


2
2
2
2
Từ (1) và (2): 2(x + y ) ≥ 16 ⇒ x + y ≥ 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi và chỉ khi x = y = 2
Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

3
4x − 4x + 5
2

Lời giải có vấn đề:
Phân thức có tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có
giá trị nhỏ nhất . Ta có : P =

3
3
= (2 x − 1) 2 + 4
4x − 4x + 5
2

16


Ta thấy (2x -1)2≥ 0 nên (2x -1)2+4 ≥ 4. Do đó:

3
3
≤


Vì −

Lời giải đúng:
Ta có : P =

3
3
= (2 x − 1) 2 + 4
4x − 4x + 5
2

Ta thấy (2x -1)2≥ 0 nên (2x -1)2+4 ≥ 4>0. Do đó:

3
3
≤ (theo qui tắc
2
(2 x − 1) + 4 4

so sánh hai phân số có cùng tử, tử và mẫu đều dương). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi 2x – 1 = 0 hay x =

1
2

Vậy giá trị lớn nhất của P là

3
1

2

4

Giáo viên lưu ý cho học sinh cần nắm vững các tính chất của bất đẳng
thức cũng như một số điều kiện khi vận dụng các tính chất đó.

6. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức:
a. P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45
b. Q =(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c. M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Bài 3: a)Tìm GTNN của A =
x2
a. B =
x −1
x
5
+
c. E =
1− x x

x2 + 4 x + 4
x

với x > 0
 1
b. D = (1 + x) 1 + ÷ với x > 0



1
≤ 1.
y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của: A =

x

P=

x y
+ .
y x

x2 − x + 1
.
x2 + x + 1

Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Bài 8: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
M = x + 2y.

18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

22,9

TB trở lên
Số
lượng
27

Tỉ lệ
(%)
77,1

Sau khi vận dụng sáng kiến này tôi thấy rằng: Học sinh có hứng thú học toán
hơn khả năng tư duy tốt hơn và kết quả đạt được cao hơn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy môn toán tôi nhận thấy rằng gặp sai lầm
trong giải toán là điều khó tránh khỏi. Học sinh mắc sai lầm ngay trong những bài
toán đơn giản cho đến những bài toán khó phức tạp. Đối với dạng toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lại càng rất dễ mắc sai lầm. Tìm ra sai lầm và sửa sai lầm
cũng không dễ chút nào. Nhưng nếu các em HS có ý thức học tập, nắm chắc kiến
thức khi giải Toán thì chắc chắn sẽ tránh được những sai lầm và tự tin hơn trong
việc giải toán dạng này.
“Một số sai lầm dễ mắc phải khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”đã
được nhiều người nhắc đến. Trên đây là điều mà tôi đã nghiên cứu, đúc kết trong
quá trình giảng dạy mà bản thân tôi đã vận dụng khi dạy học sinh và đã đem lại kết
quả rất tốt. Tuy nhiên còn nhiều thiếu sót, còn nhiều vấn đề cần phải bàn thêm.
Kính xin đồng nghiệp, thầy cô giáo đi trước tiếp tục trao đổi bổ sung, sửa đổi để
nội dung đề tài thêm hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA TRƯỞNG PHÒNG