MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU....................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài...................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu:...........................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu...........................................................3
4. Phương pháp nghiên cứu.....................................................3
II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......................................3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..............................3
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...................4
3.1. Kiến thức cơ bản:..........................................................4
3.2. Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường
thẳng.....................................................................................5
3.3. Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường
thẳng.....................................................................................6
3.4. Dạng 3:Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và
đường thẳng..........................................................................8
3.5. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm
trong mặt toạ độ giữa Parabol và đường thẳng..................10
3.6. Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và
Parabol................................................................................11
3.7. Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến...........................13
3.8. Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa
đường thẳng và Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước......15
3.9.Dạng 8: Xác định parabol..............................................18
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường......................19
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ............................................................20
1. Kết luận..............................................................................20
2. Kiến nghị............................................................................20


thức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp giáo viên giảng dạy nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế những
sai sót của học sinh khi giải toán, tạo được hứng thú học toán của học sinh.
- Định hướng giải một bài toán, có phương pháp thích hợp với đề bài,
tổng kết được các dạng toán, có được niềm tin vững vàng khi giải toán.
- Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, nhận xét tương tự, trừu tượng
hoá, khái quát hoá để giải các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
- Lập kế hoạch giải một bài toán theo phương pháp tích cực.
Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn của
toán học, giúp học sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực nhờ kiến thức và
phương pháp toán học. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra cho
các em nhiều thách thức không nhỏ khi giải các dạng toán này.
Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề
giúp học sinh hiểu và từ đó giải được các bài toán dạng này để góp phần nâng

2


cao hiệu quả dạy và học toán ơ trường THCS. Đặc biệt nâng cao chất lượng thi
vào THPT của trường THCS Nga An.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán về tương giao giữa parabol và
đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT của trường THCS Nga
An”. Nghiên cứu và tổng kết các biện pháp khi giảng dạy về các dạng toán
tương giao giữa parabol và đường thẳng trong chương trình toán 9.
Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9A và 9B năm hoc 2014-2015 và
2015 -2016 của trường THCS Nga An, Nga Sơn
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị

thẳng và parabol. Nhìn chung, ơ phần này, học sinh có khả năng tư duy tương

3


tượng chưa tốt nên giải loại toán này khá vất vả, trình bày không chặt chẽ, rõ
ràng dẫn đến điểm kém nên sợ hoặc không thích học phần đồ thị, hàm số. Khi
nghiên cứu việc học và giải toán của các em học sinh THCS, trao đổi với các
đồng nghiệp dạy toán ơ THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9, tôi thấy loại
toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và
parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT, mặt khác, đây là
loại toán mà các em phải nắm vững để chuẩn bị cho môn toán lớp 10 THPT.
Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa
Parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ơ
trường THCS Nga An” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến thức
cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức
một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy ơ trường THCS, tôi có nhiều trăn trơ về
những khó khăn, lúng túng của học sinh khi giải một số bài toán về sự tương
giao giữa Parabol và đường thẳng đây là loại toán phổ biến trong chương trình
Đại số 9 và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào THPT.
Bơi sự đa dạng thú vị, là sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chương trình
Đại số 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luận
chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị, cho tới sự vận dụng linh hoạt các
kiến thức của hệ thức Vi ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phương
pháp giải phương trình, hệ phương trình.
Kết quả - hiệu quả của thực trạng nghiên cứu trên:
Tôi được nhà trường phân công dạy 2 lớp 9, tôi đã trực tiếp giảng dạy và



y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung ⇔ phương trình
(1) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc) ⇔ phương
trình (1) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của
phương trình.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) ⇔
phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
3.2. Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng
3.2.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1). Giải (1) ta tìm được hoành độ giao điểm.
3.2.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 3x - 2
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 3x - 2 là nghiệm của phương trình:
x2 = 3x - 2
⇔ x2 - 3x + 2 = 0
Vì: a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 nên x1 = 1; x2 = 2
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x + 2
là :1; 2

2. Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để
x12+x22 = 6.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
(d ) : y = − x + 2 .
a) Hãy vẽ ( P) và (d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Tìm hoành độ giao điểm của ( P) và (d ) .
c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b . Biết rằng (d1 ) song song
với (d ) và cắt ( P) tại điểm A có hoành độ là 2 .
3.3. Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
3.3.1.Phương pháp giải
Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (d), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hoành độ
giao điểm bằng phương trình hoành độ (1), sau đó thay hoành độ vào một trong
hai phương trình (d) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm. Từ đó tìm toạ độ
giao điểm.
3.3.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
y = 4x + 3 và (d2): y = 10x + 25
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
y = 4x + 3 là nghiệm của phương trình:
-x2 = 4x +3 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0
Vì: a - b + c = 1 - 4 +3 = 0 nên x1 = -1; x2 = -3
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1 = -x2 = -(-1)2 = -1
y2 = -x2 = -(-3)2 = -9
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng
(d1): y = 4x + 3 là: (-1; -1) và (-3; -9)


tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y. Hơn nữa các em vẽ
đồ thị lại thiếu độ chính xác, thiếu thẩm mỹ.
3.3.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên (GV) hướng dẫn học sinh (HS) giải như các ví dụ trên. Đối với
dạng toán này, nếu là đề thi vào THPT thì phương trình hoành độ giao điểm
thường là những phương trình bậc 2 có thể nhẩm được nghiệm. Giáo viên khắc
sâu kỹ năng giải phương trình bậc 2 cho HS.
3.3.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-TPHCM 2013-2014)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = − x + 2 trên
cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ơ câu trên bằng phép tính
Bài 2:(Thi vào THPT-Hải Phòng 2013-2014)
. Cho đường thẳng (d): y = 4 x −3 và parabol (P): y = x 2 . Tìm tọa độ các giao
điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
Bài 3:(Thi vào THPT-Long An 2014-2015)

7


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
(d ) : y = − x + 2 .
a) Hãy vẽ ( P) và (d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( P) và (d ) .
c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b . Biết rằng (d1 ) song song
với (d ) và cắt ( P) tại điểm A có hoành độ là 2 .
Bài 4. :(Thi vào THPT- Khánh Hòa 2015-2016)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2
1) Vẽ parabol (P).
2) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và

8


Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = (m+1)x - m là nghiệm của phương trình:
x2 = (m+1)x - m
⇔ x2 - (m+1)x + m = 0
Vì có ∆= [ − (m + 1)] 2 - 4m = (m - 1)2 ≥ 0 với mọi m, nên phương trình luôn có
nghiệm với mọi m.
Do đó Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn có điểm
chung khi m thay đổi.
Ví dụ 3:
Cho Parabol (P): y = x2 - 6x + 5 và đường thẳng (d): y = mx +1- 2m.
Chứmg minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định I và cắt (P) tại hai điểm M
và N
Lời giải:
Phương trình đường thẳng (d) có thể viết như sau:
y= (x - 2)m + 1
⇔ y - 1 = (x - 2)m (2)
Để (d) luôn đi qua I(x;y) cố định, nghĩa là (d) qua I với mọi giá trị của m thì ta
phải có: (2) thoả mãn ∀ m ∈ R
x − 2 = 0
x = 2
⇔
⇔
y −1 = 0
y = 1

Vậy (d) luôn đi qua I(2;1)

Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
2

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(1; 5)
Bài 3:(Thi vào THPT-BìnhThuận 2015-2016)
Vẽ đồ thị ( P) của hàm số y = x2
Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = kx + 1 luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm
phân biệt với mọi k .
3.5. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt toạ độ
giữa Parabol và đường thẳng.
3.5.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1). Tính chất, vị trí của (d) và (P) phụ thuộc vào tính chất
nghiệm của (1).
3.5.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng (d): y = - 5 x - 6 tại hai
điểm nằm cùng phía với trục tung
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = - 5 x - 6 là nghiệm của phương trình:
x2 = - 5 x - 6
⇔ x2 + 5 x + 6 = 0
Vì có ∆= 1 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1= -2; x2= - 3

các trục bằng nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc
tọa độ O)
Bài 2:(Thi vào THPT chuyên Lê Hồng Phong -Nam Định 2013-2014)
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số y= -x 2 và đường thẳng (d) đi
qua điểm A(-1; -2) có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại
2 điểm A, B. Tìm k cho A, B nằm về hai phía của trục tung.
2. Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng
S = x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
3.6. Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và Parabol.
3.6.1. Phương pháp giải
Tương tự như ơ dạng 3.
3.6.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2m x +m - 6 tìm m để:
a). (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b). (d) tiếp xúc với (P)
c). (d) không cắt (P)
Lời giải:

11


Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y =2m x +m - 6 là nghiệm của phương trình:
x2 =2m x +m - 6
⇔ x2 - 2m x -m + 6 = 0 (4)
Ta có ∆’ = m2 + m - 6 = (m - 2) (m + 3)


3
thì hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình :
2

x2 - 4 x - 3 = 0
Ta có ∆’ = 4 + 3 = 7
Do đó x1=2 + 7 ; x2=2 - 7
Thay x1, x2 vào y = x2 ta được tung độ tương ứng là:
y1= x21 =(2 + 7 )2 =11 + 4 7
y2= x22 =(2 - 7 )2 =11 - 4 7
Vậy tọa độ giao điểm A, B giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 4x + 3 là: A(2 + 7 ;11 + 4 7 ) và B(2 - 7 ;11 - 4 7 ).
3.6.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

12


Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
bậc hai tổng quát rồi mới tính ∆ hoặc ∆’.
3.6.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độ
giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát. Khi đó xác định
vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng trơ thành bài toán biện luận số
nghiệm của phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kết
hợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán phù hợp.
3.6.5. Bài tập tương tự dạng này:
3
4


1
2

a) Ta có 2y + x = - 4 ⇔ y = - x -2
1
2

1
2

(d) song song với đường thẳng y = - x -2 nên (d) có dạng y = - x + b
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
x2 - 2x + 4b = 0 (6)

13


Đường thẳng (d) tiếp xúc Parabol (P): y = ⇔ phương trình (6) có nghiệm kép
1
⇔ ∆’ = 0 ⇔ 1- 4b = 0 ⇔ b =
4

1 2
x
4

1
2

Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - x +

Với a = - 2 ⇒ b = - 1
Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - 2 x -1
Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + 3
a) Xác định phương trình tiếp tuyến (d) của (P) song song với đường thẳng
(l): y = - 2 x -1
b)Xác định các tiếp tuyến của (P) xuất phát từ gốc O
Lời giải:
a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = a x + b và (d) song song với (l)
nên (d) và (l) có hệ số góc bằng nhau
⇒ a = - 2 .Do đó (d) có dạng y = - 2 x + b
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường thẳng (d):
y = -2 x + b là nghiệm của phương trình:
x2 - 4x + 3 = - 2 x + b
⇔ x2 - 2 x + 3 - b = 0 (7)
Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (7) có nghiệm kép
⇔ ∆’ = 1 - (3 - b ) = 0 ⇔ b = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) của (P) song song với (l) là: y = -2 x + 2
b) Phương trình đường thẳng qua O có dạng y = a x (d)
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường thẳng
(d):y = a x là:
x2 - 4x + 3 = a x
⇔ x2 - (a+4) x + 3 = 0 (8)
Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (8) có nghiệm kép
⇔ ∆ = (a + 4 )2 - 12 = 0 (9)

14


Phương trình (9) có nghiệm là a1= - 4 + 2 3 , a2= - 4 - 2 3
Vậy qua O có hai tiếp tuyến với (P) :(d1): y = - 2(2 - 3 )x

- Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng
(d) (giải ∆’ hoặc ∆ ) để tìm điều kiện của tham số.
- Vận dụng định lí Vi ét và tính chất nghiệm của phương trình bậc hai để
giải.
3.8.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng
(d): y= mx - 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi hoành độ của A, B là x1, x2 . Chứng minh rằng x1 − x2 ≥ 2
c) Chứng minh rằng ∆OAB vuông
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d):
y = mx - 1 là nghiệm của phương trình:

15


- x2 = mx - 1
⇔ x2 + m x - 1 = 0 (10)
a) Phương trình (10) có ∆ = m2 + 4 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt
⇒ đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Ta có x1, x2 nghiệm của phương trình (10) nên theo định lí Vi ét ta có :
x1. x2 = - 1
⇒ x1 − x 2 = x1 +
x1 +

1
x1

1

biệt
c) Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ giao điểm của (P) và (d). Chứng minh rằng
y1+ y2 ≥ ( 2 2 - 1)(x1+ x2)
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng (d) là nghiệm
của phương trình:
x2
=mx-m+2
2
⇔ x2 - 2m x + 2m - 4 = 0 (11)

a) Để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 thì x = 4 phải là nghiệm của
phương trình (11). Từ đó ta có m = 2
Vậy m = 2 thì (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = m2 - 2m + 4 = (m - 1 )2 + 3 > 0 với ∀ m
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt .
c) Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ giao điểm của (P) và (d) nên x1, x2 là nghiệm
của phương trình (11)
⇒ x1+ x2 = 2m
y1+ y2 = mx1 - m + 2 + mx2 - m + 2
= m(x1+ x2) - 2m + 4
= 2m2 - 2m + 4

16


= ( 2m - 2)2 + (2 2 - 1). 2m ≥ ( 2 2 - 1)(x1+ x2) .
Ví dụ 3: Cho Parabol (P): y =


Vậy m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và
(x2; y2) thỏa mãn x1 x2(y1+ y2) = - 48
3.8.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
tổng quát rồi mới tính ∆ hoặc ∆’. Học sinh hay quên không giải điều kiện của
∆>0 hoặc ∆’>0 để tìm điều kiện của tham số, không biết vận dụng hệ thức Vi ét
để giải toán…
3.8.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải dạng toán này theo cấu trúc như các ví
dụ trên, Củng cố cho học sinh kỹ năng sử dụng hệ thức Vi ét. Giáo viên nhấn
mạnh cho học sinh biết rằng, đây là dạng toán trọng tâm trong kì thi vào THPT ơ
tỉnh Thanh Hóa, người ra đề rất quan tâm.
3.8.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2013-2014) Cho đường thẳng d : y = 2bx + 1 và
2
parabol ( P ) : y = −2 x .
a) Tìm b để d đi qua B ( 1;5 ) .
b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành
2
2
độ lần lượt là x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + 4 ( x1 + x2 ) + 4 = 0 .
Bài 2:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2014-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
đường thẳng (d): y = mx - 3 tham số m và Parabol (P): y = x 2 .
1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).

17


2.


a) Vẽ đồ thị của (P).
b) Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là tọa độ giao điểm của (P) và (d): y = x – 4.
Chứng minh: y1 + y2 − 5( x1 + x2 ) = 0
3.9.Dạng 8: Xác định parabol.
3.9.1.phương pháp giải
Vận dụng các tính chất về phương trình đường thẳng, và các dạng toán
trên để giải.
3.9.2.Các ví dụ:
Ví dụ: Xác định Parabol (P):y = ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) :y= -5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và
(4 ; -5).
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (d) :
y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
Lời giải:
a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
− 1 = c

− 5 = 16a + 4b + c

c = −1
⇔
b = −1 − 4a

Do đó Parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1.
Hoành độ điểm chung của (d) và (P) là nghiệm phương trình :
ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 ⇔ ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (15)

18


3.9.5. Bài tập tương tự dạng này:
Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng
(d): y = kx + b.
1. Tìm k và b cho biết (d) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1).
2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm được ơ câu 1).
3. Vẽ (d) và (P) vừa tìm được ơ câu 1) và 2).


4. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm C  ; −1÷ và có hệ số góc m.
2

a. Viết phương trình đường thẳng của (d).
b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
(ơ câu 2) và vuông góc với nhau.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
3

+Thống kê kết quả học lực của học sinh ngày 10 tháng 4 năm 2015
Có đường lối
Không
Lớp
Phương pháp
Giải được
giải
giải được
9A Khi đã áp dụng
85%
13%
2%

tương giao giữa Parabol và đường thẳng trong chương trình Đại số 9 mà tôi đã
nghiệm được trong quá trình giảng dạy. Các bài toán về dạng này rất phong phú
và đa dạng. Song do thời gian nghiên cứu chưa nhiều, bài viết có thể còn thiếu
sót, tôi rất mong được sự trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp về vấn này để
việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng đạt được hiệu quả cao hơn, góp
phần giúp các em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú… trong giải
toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi tuyển sinh vào các trường THPT
đạt hiệu quả cao.
2. Kiến nghị
Trên đây là SKKN đổi mới phương pháp của tôi, rất mong được sự giúp
đỡ của ban giám hiệu nhà trường và các cấp quản lý giáo dục về tinh thần, cơ sơ
vật chất cũng như đóng góp của đồng nghiệp cho kế hoạch của tôi được đi vào
thực hiện. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Nga Sơn, ngày 8 tháng 4 năm 2016
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Phùng Văn Đông

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9, tập 1 và tập 2 của NXBGD năm 2012
2. Tạp chí toán học và tuổi trẻ NXBGD: Đặc san số 12, bài viết của tác giả
Phùng Văn Đông

20