MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
I.
II.
III.
IV.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
III. Nội dung vấn đề
1. Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức
thành nhân tư
2. Sắp xếp bài toán theo các mức độ , những dạng toán cơ bản
3. Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích
4. Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tư
IV. Kết quả thực hiện
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
I. Kết luận
II. Kiến nghi

Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 2

Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.

B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Toán học là bộ môn khoa học có tính tư duy tính trừu tượng cao, do đó
nó có khả năng giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, có vai
trò quan trọng trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. Do
tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, nên Toán học có khả năng giúp cho
học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic. Việc tìm lời giải của một bài
toán có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp khoa học trong
suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn
luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng đóng
góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống
và trong lao động. Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học
tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Trong quá trình giảng dạy chúng ta cần phát triển ở học sinh năng lực
phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của
riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong
các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi mãi về sau. Giáo dục
cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở
mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
Vì vậy việc dạy và học môn toán không phải chỉ dừng lại ở các kiến
thức trong SGK, không chỉ làm những bài tập do giáo viên yêu cầu ra mà phải
nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được
những nội dung trọng tâm, rèn những kĩ năng cơ bản một cách thành thạo.
Trong bộ môn toán học 8 thì dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư là một
dạng toán rất quan trọng là công cụ, là nền tảng là cơ sở để học sinh học tiếp
các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu

1)Một số phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và
nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Ví dụ1: Phân tích đa thức 5x2 yz – 15xy2 z+ 20x2y2 z thành nhân tư.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tư chung của các hệ số: 5, 15, 20 ?
- Học sinh : 5, vì ƯCLN(5, 15, 20 ) = 5
- Tìm nhân tư chung của biến:x2 yz, xy2 z, x2y2 z
- Học sinh tả lời: xyz
- Vậy nhân tư chung của các hạng tư trên là 5xy
Giải:
3
2
2 2
5x yz – 15xy z+ 20x y z = 5xyz.x2 – 5xyz.3y + 5xyz.4xy
= 5xyz.(x2 – 3y + 4xy)
Ví dụ2: Phân tích đa thức 21x(x – y) – 14y(y – x) thành nhân tư.
Giáo viên gợi ý:
- Nhân tư chung của 21 và 14 ?

4


- Học sinh: 7

2
2
Giải: a6 – b6 = ( a 3 ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Phương pháp này các em cần nhớ kĩ các hằng dẳng thức, biết nhận dạng
mà sư dung hằng đẳng thức cho phù hợp.
1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung

5


Lựa chọn các hạng tư “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tư trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
- Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 9x + xy – 9y thành nhân tư.
Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 9x) và (xy – 9y))
Giải:
x2 – 9x + xy – 9y = (x2 – 9x) + (xy – 9y)
= x(x – 9) + y(x – 9)
= (x – 9)(x + y)


6


Khi sư dụng phương pháp này thì ta cần để ý lần lượt các phương pháp đã
học: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tư.
a) 10x3 + 20x2y + 10xy2
b) x2 – 2xy + y2 – 16
Gợi ý: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Giải
a) 10x + 20x y + 10xy = 10x(x + 2xy + y2)= 10x(x + y)2
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x2 – 2xy + y2) – 16
= (x – y)2 – 42
= (x – y – 4)(x – y + 4)
2) Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Trong một lớp, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinh không đồng đều, có
học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng có những học sinh tiếp thu
rất chậm. Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiến thức dễ dàng giáo viên
nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác nhau. Đồng thời, hình thành
những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh có thể dễ dàng trong việc học
tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
2.1. Đối với học sinh yếu, kém: Giáo viên nên cho học sinh làm những bài tập
cơ bảncó vận dụng phương pháp đặt nhân tư chung, phương pháp dùng hằng
đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận
dạng ngay phương pháp cần áp dụng.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tư.

thức,phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối
hợp các phương pháp nêu trên.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức đa thức x2 + 6x – y2 + 9 thành nhân tư.
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục
vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
2
2
2
x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 – y)(x + 3 + y).
2.3. Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc những bài tập cơ bản phải làm tốt,
học sinh phải biết sáng tạo trong việc làm thêm các bài tập nâng cao như: Tính
nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải
phương trình tích…
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
Ví dụ 10: (?2a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x 2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y
= 4,5.
Gợi ý:Nếu để như vậy thay x,y vào để tính thì rất phức tạp, nên ta cần làm gì?
HS: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – y2 thành nhân tư rồi thay số vào tính.
Giải:
2
2
2
P = x + 2x + 1 – y = (x + 2x + 1) – y2
= (x+1)2– y2
= (x+1– y)(x+1+ y).
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được:

)

)

2
3( x − 2)
3( x − 2 )
=
=
2
x x 2 + 2x + 4
x( x − 2 ) x + 2 x + 4

(

)

(

)

Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho học
sinh các bài toán vận dụng hai phương pháp phân tích nâng cao là tách hạng tư,
thêm bớt hạng tư và những bài toán có cách giải hay để phát triển tư duy tạo
hứng thú trong học tập.
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ví dụ 13 Phân tích đa thức sau thành nhân tư: x2 +4x+3
Gợi ý: bốn cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Cách 1: ( Sư dụng phép tách hạng tư 4x): Ta có:
x2 +4x+3 = x2 +x +3x +3

nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tư chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tư.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Như vậy, với một bài toán ta tìm ra nhiều cách giải khác nhau, phương
pháp giải hay để phát triển tư duy tạo hứng thú trong học tập đối với học sinh
khá giỏi.
3) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích :
Do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên trong lúc làm bài
học sinh thường nhầm lẫn mà không biết nên dẫn đến kết quả sai.
3.1. Sai lầm 1: Chưa hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là làm như
thế nào?
Ví dụ 15: Khi phân tích đa thức 4(x – y) – 7x(x – y) thành nhân tư học sinh
làm như sau: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y) + (4 – 7x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tư là
biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tư chung
xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”.
Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tư chung thì phép tính
tiếp theo là phép nhân.

HS: A2 – B2
Lời giải sai: (x + 3y)2 – (x – 3y)2 = (x + 3y – x – 3y)(x + 3y + x – 3y) (thiếu
dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0
Giáo viên cần nhấn mạnh dấu ngoặc rất quan trọng
Lời giải đúng:
(x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)]
= (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y) = 4y.2x = 8xy
Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tư. (x - y)2 – 4x2
.
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2).
Lời giải sai:
(x - y)2 – 4x2 = (x - y)2 – 2x2 (kết quả sai vì thiếu dấu ngoặc (2x)2)
= (x + y – 2x)(x + y + 2x)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
nhầm lẫn 4x2 = 2x2 mà học sinh không hề hay biết.
Lời giải đúng: (x - y)2 – 9x2 = (x - y)2 – (2x)2
11


= (x - y – 2x)(x - y + 2x)
Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày ngay từ khi
học về những hằng đẳng thức. Nếu A hoặc B có từ hai nhân tư hoặc từ hai hạng
tư trở lên thì khi dùng hằng đẳng thức nên bỏ vào trong dấu ngoặc.
3.5. Sai lầm 5: Cách nhóm hạng tử và đặt dấu sai
Ví dụ 21: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tư.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
hoặc

(phân tích chưa triệt để)

b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
12


x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ở trường hợp này giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tư chung
một cách triệt để. Nên tìm hết nhân tư chung của các hạng tư và chỉ dừng lại
công việc phân tích khi không còn phân tích được nữa.
3.7. Sai lầm 7: Đổi dấu sai
Ví dụ 20: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 7(y – x)2 thành nhân tư.
Lời giải sai:
3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2
(đổi dấu sai )
= (x – y)[3x + 7(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(10x – 4y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –7 và (y – x)2 của tích –7(y – x)2
(vì (y – x)2 = (x – y)2).

- Quan sát đặc điểm của bài toán: Xem xét mối quan hệ giữa các hạng tư
trong bài toán (về các hệ số, các biến).
- Nhận dạng bài toán: Xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương
pháp nào trước, phương pháp nào sau
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Sau khi quan sát, nhận dạng bài toán
ta cần chọn lựa cách giải cho phù hợp với bài toán.
* Khi thực hiện phân tích một đa thức thành nhân tử cần lưu ý:
- Phương pháp đặt nhân tư chung không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai
bước liền.
- Phương pháp nhóm không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai bước
liền.
IV. Kết quả thực hiện
Qua giảng dạy bộ môn toán 8 và kinh nghiệm rèn kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tư cho học sinh lớp 8, tôi nhận thấy đề tài này rất thiết thực và góp
phần tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng
phát huy tính tích cực của học sinh. Qua quá trình vận dụng đề tài này vào giảng
dạy đối với cả 2 lớp 8A và 8B ở trường PTDTBT THCS Trung Tiến, tôi nhận
thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt. Tôi đã tiến hành khảo sát
trước và sau khi áp dụng SKKN và thu được kết quả cụ thể như sau :

LỚP

8A
8B
Cả
khối

Tổng
số HS


85,4

C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
I. Kết luận:
Qua quá trình áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững
kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương pháp này
đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững về cách phân tích đa thức
thành nhân tư trong chương trình đã học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo
hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua
14


một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm
hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn,
nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học
sinh trong học toán. Các em tích cực học tập và hứng thú hơn khi giải các bài
toán phân tích đa thức thành nhân tư. Đặc biệt là vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tư vào các dạng toán sau này một cách có hiệu quả.
Tuy nhiên trong dạy học để có kết quả tốt chúng ta cần chú ý đến việc phân
luồng đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp cho phù hợp.
II. Kiến nghị:
Môn Toán là môn học sinh miền núi tương đối ngại học vì nhiều nguyên
nhân, bởi vậy để chất lượng môn toán ngày càng được nâng cao và đề tài đạt
hiệu quả cao hơn tôi xin có một số kiến nghi như sau:
- Nhà trường,chính quyền đia phương, các hội khuyến học, hội phụ huynh cần
có chế độ khen thưởng cho những em đạt giải môn toán trong các kì thi.
- Nhà trường, đia phương cần mua sắm, hỗ trợ các em tài liêu tham khảo dành
cho môn toán.
- Cần có sự phối hợp giữa chặt chẽ giữa nhà trường, đia phương và gia đình


16