Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
MỤC LỤC
NỘI DUNG Trang
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI 2
II. GIỚI THIỆU 3
1. Giải pháp tác động 3
2. Vấn đề nghiên cứu 3
3. Giả thuyết nghiên cứu 3
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3
1. Khách thể nghiên cứu 3
2. Thiết kế nghiên cứu 3
3. Quy trình nghiên cứu 4
4. Đo lường và thu thập dữ liệu 5
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 5
1. Phân tích dữ liệu 5
2. Bàn luận kết quả 6
V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 6
1. Kết luận 6
2. Kiến nghị 6
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 7
VII. MINH CHỨNG 8
VIII. PHỤ LỤC 11
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
1
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
NỘI DUNG
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một
môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những

2
). Nhóm thực nghiệm được thực hiện giải pháp tác động khi dạy các bài học
về phân tích đa thức thành nhân tử. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt
đến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã đạt được kết quả học tập cao
hơn so với nhóm đối chứng. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có
giá trị trung bình là: 6,57. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm đối chứng có giá trị
trung bình là: 5,52.
Kết quả kiểm chứng T- test cho thấy P = 0,00 < 0,05 có nghĩa là đã có sự khác biệt
lớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Điều đó chứng tỏ
rằng thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài tập toán đã giúp các em rèn luyện và
nâng cao được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử từ đó nâng cao được chất lượng
học tập môn Toán.
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
2
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
II. GIỚI THIỆU
Trong chương trình Đại số 8 SGK ở trung học cơ sở các bài học về phân tích đa
thức thành nhân tử mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một số phương pháp phân tích cơ
bản như:
- Phương pháp đặt nhân tử chung
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Phương pháp nhóm các hạng tử
- Phương pháp tách hạng tử
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp.
Hơn nữa thời gian dành cho việc rèn luyện các kỹ năng trên còn rất hạn hẹp nên
hầu hết học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử thậm chí
nhiều học sinh còn không biết cách phân tích. Đáng chú ý hơn nữa là trong các phần và
các chương sau, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào lớp

Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
* Kết quả:
Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
TBC 5,26 5,56
P 0,07

P = 0,07 > 0,05. Từ đó kết luận sự chênh lệch về điểm số trung bình của hai
nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa vì vậy hai nhóm được coi là tương
đương.
* Sử dụng thiết kế 2: Thiết kế kiểm tra trước tác động và sau tác động đối với các
nhóm tương đương.
Bảng 2: Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra
trước tác động
Tác động
Kiểm tra
sau tác động
Thực nghiệm O
1
Có thông qua hoạt
động hướng dẫn học
sinh giải bài tập
toán
O
3
Đối chứng O
2

Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
4
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
6 3 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
4
(Từ 26/10/11
7 3 Phương pháp sử dụng phép chia
8 3 Phương pháp đặt ẩn phụ
5
(Từ 03/10/11
9 3 Phương pháp hệ số bất định
10 3 Phương pháp xét giá trị riêng
4/ Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra đầu năm do Trường THCS Đắk Drô ra
- Bài kiểm tra sau tác động là các bài kiểm tra sau khi đã học xong từng phương
pháp ở trên.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
- Sau khi thực hiện dạy xong từng phương pháp tôi tiến hành kiểm tra và chấm bài theo
đáp án đã xây dựng.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ.
1/ Phân tích dữ liệu:
Bảng 4: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
Điểm trung bình
5,52 6,57
Độ lệch chuẩn
1,08 0,77
Giá trị p của T-test
0

= 6,57. Kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng có điểm trung bình = 5,52.
Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,05. Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai
nhóm đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, nhóm được tác động có điểm
trung bình cao hơn nhóm đối chứng.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD = 0,97. Điều này có nghĩa là mức độ ảnh
hưởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T- test điểm trung bình các bài kiểm tra sau tác động của hai
nhóm là p = 0 < 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai
nhóm không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động(tác động nghiêng về
nhóm thực nghiệm).
V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/ Kết luận:
-Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao
được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao được chất lượng học tập
bộ môn nhất là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh thi vào lớp
10- THPT.
2/ Kiến nghị:
+ Đối với BGH:
- Cần chỉ đạo tăng thêm thời gian ôn luyện, bồi dưỡng cho học sinh khối 8 và
khối 9 nhất là học sinh khối 9 vì thời gian một tuần một buổi không đủ để thực hiện
được công tác bồi dưỡng trong khi môn Toán 9 lại tổ chức thi sớm(vào khoảng tháng 12
như hiện nay).
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
6
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
- Chỉ đạo tăng cường hơn nữa công tác dạy thể nghiệm nội dung của đề tài để đề
tài được triển khai một cách sâu rộng trong nhà trường đồng thời cũng nhằm bổ sung và
khắc phục những tồn tại, nâng cao hơn nữa chất lượng đại trà, công tác đào tạo bồi
dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào THPT.

TT Họ và Tên im TT Họ và Tên im
1
Phm T Lan Anh
4 1
H Bột
5
2
Triu T Lan Anh
6 2
Nguyn Mnh Cng
6
3
Vừ Mnh Cng
6 3
H i
5
4
Trnh Ngc c
6 4
Lý Sinh Dng
5
5
H Dem
6 5
Nguyn c Hi
6
6
Mai Vn nh
5 6
Nguyn Vn Hip

5
13
Trn Vn Mnh
5 13
Cụng Quyt
5
14
Mai Thnh Nam
5 14
Nguyn c Quyt
6
15
Th Nguyt
6 15
H Re
4
16
Nguyn T K Oanh
6 16
Mai Xuõn Ti
6
17
Lng T H Phng
5 17
Y Tột
6
18
Trn Vn Quõn
6 18
ng Vn Thỏi

3
25
Phm Xuõn Trng
5 25
Ngụ c Tuyờn
6
26
H Vụn
6 26
inh Th Võn
6
27
Trn Th Kim Yn
5 27
inh Th Xuõn
5
TBC
5.56
TBC
5.26
p
0.07
Bảng 2.1
điểm kiểm tra sau tác động nhóm đối chứng
TT Họ và Tên
Đ 1 đ2 đ3 đ4 đ5 đ6
Chẵn Lẻ Tổng
1
H Bột
4 3 6 5 5 4 12 15 27

5 7 7 6 7 7 20 19 39
11
Nguyn Thnh Nam
3 4 5 5 5 6 15 13 28
12
Lý Vn Phin
7 5 7 6 7 7 18 21 39
13
Cụng Quyt
7 6 6 7 8 7 20 21 41
14
Nguyn c Quyt
4 5 7 6 6 5 16 17 33
15
H Re
4 5 7 6 6 7 18 17 35
16
Mai Xuõn Ti
4 7 5 4 6 6 17 15 32
17
Y Tột
4 4 6 5 5 4 13 15 28
18
ng Vn Thỏi
5 5 6 5 5 6 16 16 32
19
Trn c Thng
4 5 5 6 6 4 15 15 30
20
Dng Vn Thanh

r
hh
0.56
tin cy r
SB
0.7
1

Bảng 2.2
điểm kiểm tra sau tác động nhóm thực nghiệm
TT Họ và Tên Đ 1 đ2 đ3 đ4 đ5 đ6 Chẵn Lẻ Tổng
1
Phm T Lan Anh
6 6 7 7 6 7 20 19 39
2
Triu T Lan Anh
6 7 6 7 7 7 21 19 40
3
Vừ Mnh Cng
6 7 7 7 8 8 22 21 43
Ngi thc hin:Nguyn Thy Linh Dip
9
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
4
Trịnh Ngọc Đắc
6 6 7 6 7 7 19 20 39
5
H Dem
6 7 7 6 6 7 20 19 39

16
Nguyễn T K Oanh
6 7 6 6 7 7 20 19 39
17
Lương T H Phương
6 6 7 7 5 7 20 18 38
18
Trần Văn Quân
6 7 6 7 8 7 21 20 41
19
Phạm Tiến Sỹ
6 7 6 7 8 8 22 20 42
20
H S ri
6 6 7 6 7 6 18 20 38
21
Đỗ Văn Thành
6 7 6 6 7 7 20 19 39
22
Phạm Ngọc Thông
6 6 6 6 6 7 19 18 37
23
Phạm Đức Toán
6 7 7 8 8 8 23 21 44
24
Huỳnh P N Trâm
5 6 6 7 7 7 20 18 38
25
Phạm Xuân Trường
6 7 6 7 6 7 21 18 39

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một
nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1−
x
n – 1
+ … +
c
a
0
) ( với c
≠

1
x + + a
n
x
n
, n > 1, a
n

≠
0, là một đa thức hệ số nguyên .
Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a
n
nhưng p là ước của
các hệ số còn lại và p
2
không phải là ước của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x)
là bất khả quy trên Q.
II/ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành
tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì
khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ
cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích
một đa thức thành nhân tử.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
a) Phương pháp:
- Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngược).
+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

P = (2a
2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

z – xyz
2
+ 3xy
Giải: Ta có Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2

3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2

6
– b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a

2
)
2
– a
2
b
2
= (a+b)( a
2
- ab + b
2
)(a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2

2
– x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
– x + 1)

z
2
Giải: Ta có A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2

– 2yz) (x
2
– y
2
– z
2
+ 2yz)
= (x
2
– (y + z)
2
)( x
2
– (y - z)
2
)
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải
như sau :
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3



= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
– (x + y)(x – y) + (x – y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
3 . Phương pháp nhóm các hạng tử
a)Phương pháp:
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết
hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau
đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
b) Bài tập:
Bài11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy

2
) + (zx
2
– yx
2
)
= x(y
2
– z
2
) + yz(z – y) + x
2
(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x
2
(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x
2
))
= (y – z)((xy – x
2
) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 4x
5
+6x
3
+6x

6
+ x
4
+ x
2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y

4. Phối hợp nhiều phương pháp
a) Phương pháp :
+ Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b) Bài tập:
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3xy
2
– 12xy + 12x = 3x( y
2
– 4y + 4)
= 3x(y – 2)
2
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
- 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y

Giải: Ta có : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Giải:
Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz
2
– yz

(x – y)
=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
5. Phương pháp tách hạng tử
a) Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử
hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
b) Bài tập:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
– 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x
2
– 6x + 5
= x
2
– x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)

= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x
2
– 6x + 5
= (3x
2
– 6x + 3) – 2x
2
+ 2
= 3(x – 1)
2
- 2(x
2
– 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
16
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Cách 6 : A = x
2
– 6x + 5
= (5x
2
– 10x + 5) – 4x
2
+ 4
= (x – 1)
2

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = p
i
.q
i
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a
, q
a
sao cho : p
a
+ q
a
= b
Bước 4 : viết ax
2
+ bx + c = ax
2
+ p
a
x + q
a
x + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x
4
+ 2x

Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2
– x
2
– 3
= x
2
(x
2
+ 3) - (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x
4
+ 2x

2
- 3
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
17
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2
+ 1)
2
– 4
= (x
2
+ 1)
2
– 2
2

= (x
2
+ 1 – 2)(x
2
+ 1 + 2)
= (x
2

+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4
– 3) – 2x
4
+ 2x
2
= 3(x
4
– 1) – 2x
2
(x
2
– 1)
= 3(x
2
– 1)(x
2
+ 1) - 2x
2

= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x
2
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 2 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ x
3
+ x
2
) – (x
3

(x
2
- x + 1) + x(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2
+ x + 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x
2
+ 6xy + y
2
Giải:
Cách 1 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x


= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
- 2y
2
)
= 3(x + y)
2
+ 2(x
2
– y
2
)
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x

Cách 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
- 4x
2
= (3x + y - 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
Giải:
Ta có : P = x
4
+ x
2

+ y
2
+ xy)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phương pháp:
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
19
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm
nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a
2
– b
2
sau khi thêm bớt.
b) Bài tập:
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= ( 2x
2
+ 9)
2

3
+1)(x- 1)(x
2
+ x + 1) + ( x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x+ 1)(x
5
- x
4
– x
2
- x + 1)
7. Phương pháp thực hiện phép chia:
a) Phương pháp:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là
một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
b) Bài tập:
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x
5
+ 6x
4
+ 13x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8

+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2
+ 1)
= (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne
để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
1 6 13 14 12 8
-2 1 4 5 4 4 0
Vậy f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4)
Chia x

Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
– 2x
3
– 11x
2
+ 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±

2
– 3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
– 4x
2
– 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
– 4(-2)
2
– 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x
2
– 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)
2
Vậy: P = (x + 2)
2
(x – 3)
2
8. Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương pháp:
- Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số) ta có thể đưa một đa
thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ
dễ dàng phân tích được thành nhân tử.
- Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.
b) Bài tập:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
21
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12
= y
2
– 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x
2
+ x + 1) vào (*) ta được :
A = (x
2
+ x + 1 - 3)(x

= y
2
– 2y + 1 – y
= (y – 1)
2
– y
= (y – 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) được :
B = (x
6
– 1 -
)1)(
66
xyx ++

= (x
6
– 1 – x
3
)(x
6
+ 1 + x
3
)

3
+3y
2
2
+ 3y.2 + 2
2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3

- 3y – 2
= y
3

- y – 2y – 2
= y(y
2
– 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)

+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta được :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)( x
2
+ 2x + 6x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x

– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = x
4
+ (a+c )x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :

6
12
14
3
a c
ac b d


−=+
=
−=+
143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
= (x
2
– 2x + 3)(x
2
– 4x + 1)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :

=+
=
=+
=+
=
10
37
7
11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad

⇒












B = x
4
– 8x + 63
= (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a+ c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:







=
−=+
=++
=+
63
8
0

2
- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9)
10. Phương pháp xét giá trị riêng
a) Phương pháp:
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
24
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
- Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất, một đa thức bậc hai dạng (ax+b)(cx
2
+dx+m)
rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ số của đa thức kia.
- Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có
thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định
dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác
định thừa số còn lại.
b) Bài tập :
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y
2

Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để
(x – y)(y – z)(z – x)
≠
0.
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z)
Giải: Thay x = y thì P = y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→