SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG VẬN DỤNG TỨ DIỆN CƠ
BẢN VÀ BÀI TOÁN TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Văn Lâm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

1


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải
thực sự là người dẫn dắt, định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm say mê, hứng
thú học tập và ưa khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải
quyết vấn đề.
Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy
luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình
học không gian. Học sinh thường sợ những bài toán hình học không gian vì nó rất
trừu tượng. Vì vậy, nhiều em chán nản, không muốn học hoặc tệ hơn nữa là không
học hình học không gian nói chung và dạng toán tìm khoảng cách nói riêng. Vì vậy,
khi gặp dạng toán này học sinh thường rất lúng túng và không biết hướng giải
quyết.

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB
= b, OC = c. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2
2
d
a
b
c

O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) và
(Bài tập 17 tr103, SGK nâng cao hình học lớp 11)

A

Sau đây ta đưa ra bài toán khái quát của Bài
toán 1 bằng cách thay giả thuyết OA, OB, OC
đôi một vuông góc bằng giả thuyết hai trong

a
j H

ba cạnh đó vuông góc.

h

2. Bài toán 2

H

với BC. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AC

3

O

C

O

C
B

B


4. Bài toán 4
Cho mf (P) và hai điểm M , N không nằm trên mf (P) . Gọi I = MN ∩ (P) . Khi đó ta
d ( M ; ( P ))

MI

có d ( N ; ( P)) = NI .
2. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán tính khoảng cách trong không gian, học sinh thường gặp khó
khăn và lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ngại học
phần này.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với
mặt đáy (ABCD), SC = a 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích
Thay đổi tên gọi mặt phẳng đáy để tạo ra tứ diện vuông đỉnh O. Bằng cách lấy I là
trung điểm SA thì OI, OA, OB đôi một vuông góc. Khoảng cách từ đỉnh O đến mặt
phẳng (SAB) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (IAB) và được tính theo Bài toán
1
Hướng dân

S

Gọi I trung điểm của SA thì OI là
đường trung bình của tam giác SAC
1
a 2
nên OI // SC và OI = SC =
.
2

I

2

C

Từ đó OI ⊥ (SABCD) .
Gọi d là khoảng cách từ O đến
(SAB) thì d cũng là khoảng


2
2
d
OI
OA
OB
a
a
a
a
6

Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB= BC =a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
goc của điểm A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a.
(Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2007).
S

Hướng dẫn
Trong tam giác SAB vuông tại A,
đường cao AH có SA 2 = SH .SB
⇒

SH SA 2
SA 2
2a 2
2
=

A

Gọi F là trung điểm AD. Vì AD=2BC
nên AF=DF=BC. Do đó AFCB là hình bình hành,
suy ra CF=AB= a , BF//CD, CF//AB ⇒ CF ⊥ AD .
Vì CF=AF=FD=a nên tam giác ACD vuông tại C ⇒ AC ⊥ CD .
Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ SC hay tam giác SCD vuông tại C.
2
3

Ta có BF//(SCD) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( F ; ( SCD ) ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = d ( F ; ( SCD ) ) .
d ( F ; ( SCD ) )

FD

1

1

1
Ta lại có d ( A; SCD ) = AD = 2 ⇔ d ( F ; ( SCD ) ) = 2 d ( A; ( SCD ) ) = d
2

Ví dụ 3.
Cho lăng trụ ABC. A / B / C / với AB=a, BC=2a, ∠ABC = 60 0 . Hình chiếu vuông

6


góc của A / lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA / và

/

C

G

H
B

0

⇒ A / G = AG. tan 60 0 = 2a 3 .
3

Đặt d ( G, ( A / BC ) ) = d . Kẻ GH // AB, GK // AC ⇒ GH ⊥ GK . Ta có GH = AB =
1
3

GK =

a
và
3

1
a 3
AC =
. Do GA / ⊥ ( GHK ) nên tứ diện G. A / HK là tứ diện vuông, suy ra
3
3

đáy một góc 60 0 . Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.
Phân tích

7


Vì G là trọng tâm của tam gác ADB có dấu hiệu về tỉ số, tìm khoảng cách A đến
(SBC) quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC).
Nhờ bài toán 4 về tỉ số khoảng cách mà ta không phải tìm hình chiếu của điểm A
trên mặt phẳng (SBC), đồng thời kết hợp với Bài toán 1 vì tứ diện G.SCJ là Gtứ
diện vuông GS, GC, GJ đôi một vuông góc.
Hướng dẫn :
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD,

S

SG ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SD, ( ABCD ) ) = ∠SDG = 600 .
2
3

Gọi I là trung điểm của AB ta có DG = DI =
và SG = DG. tan 60 0 =

a 15
.
3

Theo Bài toán 4 ta có
⇔ d ( A, ( SBC ) ) =


D

Kẻ GJ//BD, J ∈ BC ⇒ GJ ⊥ GC mà GS ⊥ ( GIC ) suy ra G.SCJ là tam diện vuông đỉnh
G. Do tam giác GJC vuông cân đỉnh G nên GJ = GC.
⇒

1
1
1
1
1
1
1
2a 5
=
+
+
=
+
+
=
3 5a
2
2
2
2
2
2
2
d

Theo Bài toán 1 ta có

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
d
AS
AB
AM 2

S

Mà SA=AC= a 2 ( vì ( SC , ( ABCD ) ) = ∠SCA = 450 );
M

AB = a; BM = a
⇒

1
1
=
2
d

Ví dụ 6.

D

C

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a; BD =

3AC mặt

bên SAB là tam cân tại đỉnh A. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng
đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
CD.
Hướng dẫn

S

Tam giác SAB cân tại A suy ra SA = AB = 2a.
Ta có BD = 3 AC ⇒ BI = 3 AI = 3.x
Với x = AI (x > 0). Mà AI 2 + BI 2 = AB 2
nên x 2 + 3x 2 = 4a 2 ⇔ x = a .
Khi đó SH 2 = SA2 − AH 2 = 4a 2 −

a 2 15a 2
=
4
4

A



a 3
. Từ đó ta thấy tứ
2

diện S.HAE vuông đỉnh H. Ta có
1
1
1
1
1
1
1
28
=
+
+
=
+ 2 + 2 = 2
a 35
2
2
2
2
2
d
SH
AH
HE
15a

đường trung bình của tam giác BCB ' .
'
'
Từ MN// CB ⇒ CB / / ( AMN )

(

)

(

)

(

⇒ d AM ; CB ' = d CB ' ; ( AMN ) = d B ' ; ( AMN )

(

N

)

)

d B ' ; ( AMN )
B' N
=
=1
Mặt khác

2
2
7
d
BA
BN
BM
a

Ví dụ 8.
Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a,

BC = a 2 , AC = a 6 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là

trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SB theo a.
Hướng dẫn
Vì CD 2 + BC 2 = 4a 2 + 2a 2 = 6a 2 = AC 2 nên ABCD là hình chữ nhật.
S

Kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt DC và
AD tại I và J .
Qua G kẻ GH // ID ( H ∈ BI ) , GK / / AD ( K ∈ BJ )
⇒ GH ⊥ GK dẫn đến tứ diện G.SHK là

tứ diện vuông tại đỉnh G.

I

2
2
d
GS
GH
GK
4a
4a
2a
a

A
K

J

⇒ d = a. Vậy d(AC;SB) = a.
Ví dụ 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho
SC= 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc
với SC.

11


Hướng dẫn
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có
AC =
⇒

BM H SI
=
=
=2
Ta sử dụng bài toán về tỉ số khoảng cách
B
d ( C ; ( AIM ) ) M CM IC C
E

F

⇔ d ( B; ( AIM ) ) = 2d ( C ; ( AIM ) )
d ( C ; ( AIM ) )

CA

6

6

Mà d ( H ; ( AIM ) ) = HA = 5 ⇔ d ( C; ( AMI ) ) = 5 d ( H ; ( AIM ) )
⇒ d ( B; ( AIM ) ) =

12
12
d ( H ; ( AIM ) ) = d .
5
5

Kẻ EH//AD ;HF//DC ( E , F ∈ AM ) ⇒ EH ⊥ HF ; HI ⊥ ( HEF ) ⇒ Tứ diện H.IEF là tứ

5
5 1
5a 3
5
5 1
5
; HE = MC = . BC =
; HF = MN = . AB = a )
3
6
6 3
18
4
4 3
12

12

5a

4a

=
Vậy d ( AI ; SB ) = 5 .
.
3 33
33

Dạng 2. Vận dụng Bài toán 2 và kết hợp với Bài toán 4.
Loại 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.


Ta có 

K
B

C

Do AB // CD ⇒ AB // ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) ) = d

Ta thấy tứ diện S. HCD có cạnh bên SH vuông góc với đáy (HCD), khi đó ta sử
dụng bài toán 2
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu của H trên SK . Ta có
 HK ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ CD ⊥ HI mà HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ ( SCD )

SH ⊥ CD

Khi đó d = HI =

SH .HK
HK + SH
2

2

=

a 21
a 21

⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )
Ta lại nhận thấy tứ diện S.HBD là tứ diện
có SH vuông góc với mặt đáy (HBD),
do đó có thể vận dụng bài toán 2.

E

Gọi K là hình chiếu của H trên BD

A
D
H

và E là hình chiếu của H trên SK. Ta có

K
K

 BD ⊥ HK
 BD ⊥B HE
⇒ BD ⊥ ( SHK ) ⇒ BD ⊥ HE ; 
⇒ HE ⊥ ( SBD )

 BD ⊥ SH
SK ⊥ HE

C

a 2
·

Hướng dẫn

A'

C'

Gọi H là trung điểm của cạnh AB ⇒ A / H ⊥ ( ABC )
và A/ CH = 600 . Do đó A/ H = CH . tan ∠A/ CH =
Theo Bài toán 4 ta có

3a
.
2

B'

) ) BA
( (
=
=2
d ( H ; ( ACC A ) ) HA
d B; ACC / A/
/

K

/

A


 AC ⊥ A H
 A I ⊥ HK

(

)

⇒ d ( H ; ( AA / C ) ) = HK = d .
Ta có HI = AH . sin ∠IAH =
Vậy d ( B; ( ACC / A / ) ) =

a 3 HK =
;
4

IH . A / H
IH 2 + A / H 2

=

3 13.a
26

3 13.a
.
13

Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 13.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB=BC=2a,

N

A

C

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và song song với AB.
Hạ AQ ⊥ ∆ , ( Q ∈ ∆ ) . Ta có AB//(SQN) ⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB; ( SQN ) ) = d ( A; ( SQN ) ) . Hạ
M

B
AH ⊥ SQ, ( H ∈ SQ ) . Vì QN ⊥ AQ, QN ⊥ SA nên QN ⊥ ( SAQ ) ⇒ ( SQN
) ⊥ ( SAQ ) .

⇒ AH ⊥ ( SQN ) . Do đó d ( AB; SN ) = AH . Vì AQ = MN =

1
BC = a nên
2

1
1
1
13
=
+
=
.
2
2


16

D

H

B


HD =

a
a 3
a 7
, CD =
, HC = HD 2 + DC 2 =
,
6
2
3

SH = HC.tan 600 =

a 21
3

Kẻ Ax // BC ta có
 BC / / ( S , Ax )
⇒ d ( BC ; SA ) = d ( BC ; ( S , Ax ) ) = d ( B; ( S , Ax ) ) .

SH .HN
SH + HN
2

2

=

3

a 42
a 42
. Vậy d ( BC; SA) =
.
12
8

Dạng 3. Vận dụng Bài toán 3 và kết hợp với Bài toán 4.
Ví dụ 15.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với
mặt đáy (ABCD), SC = a 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

17


Phân tích
Quy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) về khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAB), khoảng cách này tính được theo bài toán 3.
Hướng dẫn. Theo Bài toán 4 ta có

1
1
1
1
3
a 6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 . ⇒ CL =
⇒ d ( O; ( SAB ) ) =
.
2
2
2
CL
CS
CB
2a
a
2a
3
6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A / B / C / D / có AB=2a, BC= 2a, AA / = a . Lấy điểm M
trên cạnh AD sao cho AM=3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( AB / C ) .
2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, AB//CD. Tam giác ABC vuông tại
A, AB=a, BC= CD= 2a, SA=SB=SC= a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SC.

điểm của hai đường thẳng AM và A / C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
C©u II (6 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a, AD = 2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt p

19


hẳng (ABCD) một góc 450. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo
a.
KÕt qu¶ thu ®îc nh sau:
Lớp
Lớp 11C1
Lớp 11C3

Sỹ số
42
38

Điểm < 5
Số lượng
%
5%
2
13
34%

Điểm ∈[5; 8)
Số lượng

11C3 trường THPT Dương Đình Nghệ và đã cho kết quả tốt. Học sinh sau quá trình
làm quen đã rất hào hứng với các bài tập phần hình học không gian, và gần như học
sinh có thể giải quyết triệt để các bài tập của phần này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới
giải quyết một số dạng toán. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có
cách khác thác tốt hơn cho các bài toán thuộc thể loại này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ.

Thanh Hóa, ngày.... tháng 05năm2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung

20


của người khác.

Lê Văn Lâm

21