BÌA CHÍNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH QUAN SÁT,
TÌM HIỂU TÍNH CHẤT VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIỂU
THỨC CÓ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỶ ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI

Người thực hiện: Nguyễn Nam Sơn
Chức vụ: TTCM
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2016


MỤC LỤC
STT NỘI DUNG
1
MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
2
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

được một số thành tích đáng kể, dù còn khiêm tốn nhưng cũng đã phản ánh sự cố
gắng của thầy và trò nhà trường. Hiện tại do khoảng cách về địa lý nên vẫn gặp
không ít khó khăn ảnh hưởng đến công tác giảng dạy và học tập của giáo viên và
học sinh. Đặc biệt là nguồn tài liệu tham khảo trong thư viện còn ít, khả năng tự tìm
tòi học hỏi của học sinh còn rất hạn chế. Bên cạnh đó xã hội đang đặt ra những yêu
cầu rất cấp thiết trong việc tạo ra nguồn nhân lực có chất lượng. Bộ Giáo dục và
các cấp các ngành liên quan cũng đề ra nhiều mục tiêu về chất lượng học sinh trong
thời kỳ mới. Chính vì vậy, yêu cầu đối với đội ngũ giáo viên là tìm ra các phương
pháp giúp học sinh tự học, tự tháo gỡ khó khăn. Toán học là môn học rất quan
trọng, rất khó ngay đối với cả những giáo viên nếu không tự nghiên cứu để nâng
cao trình độ. Với học sinh trường THPT Mường Lát, đa phần các em là người dân
tộc thiểu số, được nhà nước hỗ trợ từ học phí cho đến chế độ ăn ở. Điều này vô
hình chung khiến các em ỷ lại, không tự vươn lên vượt qua những suy nghĩ “cổ
hủ”, “lạc hậu”, “tự ti”,...để phấn đấu trong học tập. Vậy làm cách nào để có thể
khiến cho các em thay đổi thái độ “ngại học”, “ngại phấn đấu”, “chây lười” trong
học tập là câu hỏi làm bản thân tôi cũng như các đồng nghiệp khác rất băn khoăn.
Trong quá trình ôn tập môn toán, cùng với chủ đề bất đẳng thức, phương trình và
bất phương trình vô tỷ là một trong những nội dung mà học sinh ngại học nhất. Đây
là một nội dung không hề dễ dàng ngay đối với cả giáo viên, do đó người dạy và
người học thường hay “bỏ qua” một cách rất đáng tiếc, mặc dù nội dung này chiếm
tới 10% tổng số điểm của cả bài thi. Trải qua thực tiễn công tác, giảng dạy và để
giúp học sinh đạt điểm cao hơn tôi mạnh dạn đề xuất và nghiên cứu đề tài “Một số
kinh nghiệm hướng dẫn học sinh quan sát, tìm hiểu tính chất và mối liên hệ
giữa các biểu thức có trong phương trình, bất phương trình vô tỷ để định hướng
cách giải”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài giúp cho học sinh rèn luyện được cho mình sự kiên trì, tư duy logic và
trên hết là bớt “căng thẳng”, “sợ sệt”, “thiếu tự tin” khi làm toán, đặc biệt là khi gặp
bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ.
3. Đối tượng nghiên cứu

3
3
2
2
a − b = (a − b)(a + ab + b )
(7)
3
3
2
2
a + b = (a + b)(a − ab + b )
(8)
(9)
u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0
au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = 0

(10)

2

 u
u
 −c
au + bv = c uv ⇔ a
+ b = 0 với điều kiện v ≠ 0

v
 v

(11)

dạng này
được
không làm được
12A
5
23
3
1
(32HS)
11A
7
12
3
0
(22HS)
Tổng:
12
35
6
1
54 HS
Hoàn toàn không bất ngờ khi nhận được kết quả này nhưng thật sự rất buồn
và rất tiếc cho các em. Vì, có thể các em không đạt được điểm tối đa trong câu hỏi
này song các em có thể đạt được ít nhất 0,25 điểm nếu biết phân tích đề bài để định
hướng được cách giải.
Kết quả trên cũng đã phản ánh đúng thực tế phương trình và bất phương
trình vô tỷ là phần “ngại dạy” và “sợ học” đối với giáo viên và học sinh. Điều này
dẫn đến tình trạng học sinh thường bỏ qua không làm bài toán này trong các đề thi,
đây là điều hết sức đáng tiếc. Bởi để có kết quả thi tốt nhất đòi hỏi học sinh phải
biết “chắt chiu” từng điểm số một. Vậy chúng ta nên lựa chọn cách thức nào để học

⇔

3x + 2 − x + 3 = 1 (do

⇔

3x + 2 = 1 + x + 3

3x + 2 + x + 3 > 0 )

⇔ 3x + 2 = 1 + x + 3 + 2 x + 3
⇔ x −1 = x + 3
⇔ x ≥ 1 và x 2 − 2 x + 1 = x + 3
⇔ x = 3 + 17
2

Dễ thấy giá trị x =

3 + 17
thỏa mãn điều kiện, do đó nó là nghiệm duy nhất
2

của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình

1 2
x + x 2 − 1 = 2(2 − x 2 ) 2
2

Phân tích: Phương trình đã cho là phương trình có dạng không đơn giản. Vì

⇔

x 2 − 1 + 1 = 2 2 − x 2 hoặc

⇔

x 2 − 1 = 3 − 2 x 2 hoặc

(

)

(

x2 −1 +1 = 2 x2 − 2

)

x 2 − 1 = 2x 2 − 5

Đến đây, dựa vào phép biến đổi (1) ở trên ta giải hai phương trình
x − 1 = 3 − 2 x 2 và x 2 − 1 = 2 x 2 − 5 , rồi đối chiếu các giái trị x tìm được với điều
kiện của phương trình, ta có các nghiệm của phương trình đã cho là:
2

6


x=−



⇔ 2 x2 − x +1 + x +1

)(

)

x2 − x +1 − 2 x +1 = 0

⇔

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 0 vì 2 x 2 − x + 1 + x + 1 > 0

⇔

x2 − x +1 = 2 x +1

⇔ x 2 − 5x − 3 = 0
⇔ x = 5 − 37 hoặc x = 5 + 37
2
2

Cả 2 giá trị ở trên đều thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vì vậy, phương
trình đã cho có 2 nghiệm là x =

5 − 37
5 + 37
và x =
.
2

2

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 4 x + 3 + x + 2 ≥ 3x + 1
Phân tích: Có thể dễ dàng nhận thấy mối quan hệ giữa các biểu thức có mặt
trong bất phương trình: 3x + 1 = ( 4 x + 3) − ( x + 2)
Do đó, bất phương trình đã cho thuộc lớp các bất phương trình có một trong các
dạng sau:
f ( x ) ± g ( x ) < h( x )
f ( x ) ± g ( x ) ≤ h( x )
f ( x ) ± g ( x ) > h( x )
f ( x ) ± g ( x ) ≥ h( x )
Trong đó h( x) = f ( x) − g ( x)

Với các bất phương trình thuộc lớp này, có thể biến chúng về các bất phương trình
tích. Từ đó ta có lời giải như sau:
+) Điều kiện xác định của bất phương trình: x ≥ −
+) Với điều kiện đó ta có:
4 x + 3 + x + 2 ≥ 3x + 1 ⇔

4x + 3 + x + 2 ≥

3
4

(

4x + 3 + x + 2

)(



Phân tích: Trước hết, phải thấy rằng nếu bình phương hai vế sẽ dẫn đến một
bất phương trình bậc 4 cức kì phức tạp. Ở đây ta để ý rằng

(

)

2 x 2 + x − 19 = 2 x 2 + x − 15 − 4

Từ đó có thể chuyển việc giải bất phương trình đã cho về việc giải các bất phương
trình có dạng đơn giản hơn nhờ phép đặt ẩn số phụ. Ta giải như sau:
+) Điều kiện của bất phương trình: x ≤ −3 hoặc x ≥

5
2

+) Với điều kiện đó, ta đặt: 2 x 2 + x − 15 = t , t ≥ 0
Bất phương trình đã cho trở thành:
t 2 − 3t − 4 ≥ 0
⇔ t ≤ −1 hoặc t ≥ 4
Kết hợp với điều kiện t ≥ 0 ta được t ≥ 4

Do đó 2 x 2 + x − 15 ≥ 4 ⇔ 2 x 2 + x − 15 ≥ 16
⇔x≤−

1 + 249
− 1 + 249
hoặc x ≥
4

hướng dẫn để phân tích, khai thác các bài tập. Trước khi áp dụng đề tài tôi yêu cầu
các em liệt kê các phép biến đổi tương đương dùng để khử dấu căn thức, nhiều em

9


còn chưa biết những nội dung đó ở đâu? Không hình dung được sẽ phải làm gì?
Làm như thế nào?. Kết quả thu được như sau:
Hoàn thành
Không hoàn thành
Lớp
SL
%
SL
%
12A (32HS)
7
21,9
25
78,1
11A (22HS)
5
22,7
17
77,3
Tổng (54 HS)
12
22,2
42
77,8

25,0
11
34,4
8
25,0
11A (22HS)
3
13,7
5
22,7
7
31,8
7
31,8
Tổng 54 HS
8
14,8
13
24,1
18
33,3
15
27,8
Kết quả cho thấy hầu hết các em đã quan tâm tới phương trình và bất phương
trình vô tỷ, số lượng học sinh không hoàn thành đã giảm hẳn so với trước khi được
bồi dưỡng dựa vào đề tài, số lượng học sinh làm đúng tăng lên khá nhiều. Ngoài ra
hầu hết các em đã có thiện cảm và không còn “sợ” phương trình và bất phương
trình vô tỷ, có em còn đề nghị cho được thực hiện thêm với các ví dụ khác. So sánh
với mức độ của học sinh nơi tôi công tác là trường THPT Mường Lát thì theo tôi
đây đã là một bước đột phá, một tín hiệu mừng. Hy vọng đề tài này góp phần để

2. Kiến nghị
* Với Sở GD&ĐT:
Tổ chức các đợt tập huấn về chuyên môn cho giáo viên để nâng cao trình độ.
Cung cấp thêm các nguồn tài liệu cho các trường miền núi.
* Với nhà trường:
Luôn luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên , khuyến khích giáo viên nghiên cứu
để tìm ra các giải pháp nâng cao chất lượng dạy học.
Tổ Chuyên môn nói chung, các giáo viên nói riêng phải thường xuyên suy
nghĩ, tìm tòi, học hỏi để nâng cao chât lượng dạy học bộ môn Toán trong trường có
chất lượng đầu vào thấp như trường THPT Mường Lát.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 03 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

11


Nguyễn Nam Sơn

1.
2.
3.
4.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phan Đức Chính và cộng sự - Các bài giảng luyện thi môn toán;
Hướng dẫn ôn tập kì thi Trung học phổ thông Quốc gia năm học 2014 –
2015, nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam;