MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

I. Mở đầu

1

1.1.Lý do chọn đề tài

1

1.2.Mục đích nghiên cứu

1

1.3.Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

II. Nội dung nghiên cứu

2

2.1.Cơ sở lý luận



2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp
2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,sinh học và địa lý

10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

III. Kết luận, kiến nghị

6

12
16

3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

16

Tài liệu tham khảo
I.MỞ ĐẦU.

18


và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo
dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì
vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài : “Ứng dụng kiến thức về
hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’. Với mục đích giúp học sinh lớp
12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài
toán thực tế, các bài toán liên môn. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn
bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
1.2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng
cường vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán có nội
2


dung thực tiễn .
- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể
hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài
toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông. Qua đó thấy
được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”.
- Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác.
- Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường
THPT.
- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài
là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit.
- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số

3


dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc
đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai
trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực
tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có
nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học
là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên,
một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là
công cụ để lĩnh vực đó phát triển .
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số
bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh.Giúp học sinh chuẩn
bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
Để vận dụng tốt phương trình tham số của đường thẳng ta cần nắm vững kiến
thức trình bày ở chương II trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam năm 2009 như sau:
2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ
+Các định nghĩa:
n
123
• a = a.a...a

(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R)

n

n

n

(a.b) = a .b

Hàm số mũ:

;

am
n

a

= am− n ;

(am)n = (an)m = am.n

a n an
( ) = n
b
b

Dạng: y = ax ; ( a > 0 , a ≠ 1 )

4



0
a>1

x

0 0 :

loga N = M

log a N có nghĩa khi và chỉ khi

Điều kiện có nghĩa:

⇔

aM = N

0 < a ≠ 1 và N >0

Các tính chất:
+ loga 1= 0(0< a ≠ 1) ;

loga a = 1(0< a ≠ 1)

;



và log k N = loga N(0< a ≠ 1;N > 0;k ≠ 0)
a

5


Dạng y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 )

Hàm số lôgarít

• Tập xác định: D = R + (với R+ = (0; +∞) )
T=R
• Tập giá trị
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = loga x đồng biến trên R+
* 0 < a < 1 : y = loga x nghịch biến trên R+
• Đồ thị của hàm số lôgarit:
y

O

O

'

+ ( a x ) = a x .lna ; ( a u ) = a u .lna.u'
'
+ ( ex ) = ex

u.lna
' u'
' 1
+ ( lnx ) = ,(x > 0) ; ( ln u ) = , (Trong đó u = u(x) có đạo hàm theo x)
x
u
2.1.3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ
- Sự tăng trưởng(hay suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số mà đạo hàm
của nó tại mỗi điểm đều tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với hệ số tỉ lệ
không đổi,tức là hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện: f '( x) = kf ( x) (1)
(xét trên một khoảng nào đó) trong đó k là một hằng số khác 0 nào đó.Số k gọi
là tỉ lệ tăng trưởng khi k > 0 và được gọi là tỉ lệ suy giảm khi k
7


Dạng 1: Lãi kép, gửi một lần: Một người gửi số tiền M vào ngân hàng
theo thể thức lãi kép với lãi suất r% trên một kỳ hạn,gọi T n là tổng số tiền cả vốn
lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn.
Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M(1+r)
Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là:M(1+r)(1+r) = M(1+r)2
Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là:
Tn =M(1+r)n-1 + M(1+r)n-1.r = M(1+r)n
Vậy :

Tn =M(1+r)n (II)

Trong đó: M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) trên một kỳ hạn, n là số kỳ hạn,
Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn.
Từ công thức (II):Tn =M(1+r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
Tn
M
n=
ln(1 + r )
ln

(IIa) và r = n

Tn
−1
M

(IIb) ;

suất hàng tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông
D gửi tiền.
8


Giải
Áp dụng công thức (IIb) ta có lãi suất hàng tháng là: r = 8

105739137
− 1 ≈ 0, 7%
100000000

Dạng 2: Lãi kép, gửi định kỳ:
Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng. Ta có bài toán: Một người
cứ vào cuối mỗi tháng lại gửi số tiền là M vào ngân hàng theo thể thức lãi kép
với lãi suất r % trên một tháng.Tính tổng số tiền T n cả vốn lẫn lãi mà người đó
có được ở thời điểm cuối tháng thứ n.
Cách giải:
Cuối tháng thứ nhất và cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền :T1 = M
Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là:
T2 = M (1 + r ) + M = M [(1 + r ) + 1] =

M
M
[(1 + r ) 2 − 1] = [(1 + r ) 2 − 1]
[(1 + r ) − 1]
r

Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là:
T3 =

M=
M
(IIIa); và n =
(IIIb)
n
[(1 + r ) − 1]
ln(1 + r )
Tn .r

ln(

Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng.
Giải như trường hợp 1 với chú ý là cuối tháng thứ nhất người đó có số tiền là
T1 = M (1 + r )

T có số tiền có được vào tháng thứ n là: Tn =

M
[(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

(IV)

Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) hàng tháng, n là số tháng, T n là
tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (IV) suy ra M =

Tn .r

(1 + r )[(1 + r ) n − 1]

M=

M=

Tn .r

(1 + r )[(1 + r ) n − 1]
T5 .0, 07

M
[(1 + r ) n − 1](1 + r ) suy ra:
r

.Thay số n = 5, T5 = 1000000000, r = 0, 07 ta có:

5

(1 + 0, 07)[(1 + 0, 07) − 1]

=

1000000000.0, 07
(1 + 0, 07)[(1 + 0, 07)5 − 1]

= 162514667, 7 đồng

Do đó ta chọn đáp án B.
Ví dụ 6(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Tiên Du 1 – Bắc Ninh).
Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm
10 triệu đồng với lãi suất bằng 3%/năm(thủ tục vay một lần vào thời điểm đầu


Vì sau khi ra trường lãi suất ngân hàng là 8% nên tổng số tiền nợ của sinh viên
X là : T4 (1 + 0, 08) =

10000000
[(1 + 0, 03) 4 − 1](1 + 0, 03)(1 + 0, 08) ≈ 46538667 đồng
0, 03

Do đó chọn đáp án A
2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp.
Một người cần vay số tiền là M,lãi suất r(%) hàng tháng,n là số tháng phải
trả,A là số tiền phải trả vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ. Hãy tính A.
Cách giải:
Số tiền gốc cuối tháng 1: M+ M.r – A = M(r+1) – A
Số tiền gốc cuối tháng 2:
[ M(r+1) – A]+ [ M(r+1) – A]r – A = M(r+1)2 – A[(r+1)+1]
Số tiền gốc cuối tháng 3:
[M(r+1)2 – A[(r+1)+1]](1+r) –A = M(r+1)3 – A[(r+1)2+(r+1)+1]
.......
Số tiền gốc cuối tháng n: M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1]
Trả hết nợ sau n tháng,số tiền sẽ bằng 0 do đó:
M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1] = 0
Đặt x = r + 1. Ta có: Mxn =A(xn-1+xn-2 +....+ x + 1)
⇒ A=

Mx n
( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1)

Vậy A =


A
A
= A − Mr
A − Mr
ln(1 + r )
ln

( Va )

( Vb )

Ví dụ 7(Trích đề thi minh họa của Bộ Giáo dục & Đào tạo)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông
muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,
số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ
11


ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng
trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay
đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
100.(1, 01)3
A. m =
(triệu đồng).
3

C. m =

B. m =

m=

100(1+0,01)3.0,01
(1,01)3
=
(1+0,01)3 −1
(1,01)3 −1

ta có :

(triệu đồng) => chọn đáp án B

Ví dụ 8(Trích đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa năm 2017)
Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa
thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng
tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).Hỏi
sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng.
A. 21

B. 23

C. 22

D. 24

Giải
Áp dụng kết quả bài toán 3 ta thấy ở đây cho số tiền vay M = 100000000đồng,
lãi suất hàng tháng r=0,7% = 0,007 và số tiền hàng tháng A = 5000000 đồng,cần
tính số tháng n, ta chỉ cần thay vào công thức ( Va ):
n = log (1+ r )

2

Gọi T là chu kì bán rã, suy ra : A = A.er .T ⇒ r =

Do đó: S = 5.e

−

ln 2
.4000
T

− ln 2
.
T

4000

 1 1602
= 5.  ÷
≈ 0,886 (gam)
2

Ta chọn đáp án A.
Bài 2 (Bài tập 46 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao trang 97,NXB
Giáo dục Việt Nam năm 2012).Chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu 239
là 24360 năm( tức là một lượng plutôni Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ
còn lại một nửa).Sự phân hủy được tính theo công thức S = A.ert ,trong đó A là
lượng chất phóng xạ ban đầu,r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian
phân hủy,S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu 239 sau bao

t

trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức P(t ) = 100.(0,5) 570 (%) .
Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ,người ta thấy lượng các
bon 14 còn lại trong gỗ là 65,21(%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến
trúc đó.
A. 3574 năm.

B. 3754 năm

C. 3475 năm

D. 3547 năm.

Giải
t

Thay P(t) = 65 thay vào công thức P(t ) = 100.(0,5) 570 (%) ta có:
t
100.(0,5) 570

⇒

t
= 65 ⇔ (0,5) 570

t

t


3

B.

10t
(giờ)
3

C. t − log 3 (giờ)

1
cái hồ.
3
t

D. log 3 (giờ)

Giải
Theo giả thiết sau t giờ có 10 lá bèo(số bèo phủ kín mặt hồ)
t

Gọi n (giờ) là thời gian để bèo phủ kín
Sau n giờ có 10n lá bèo( phủ kín

1
cái hồ.
3

1
hồ)

dân số của năm lấy mốc tính,S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng
năm).Với tốc độ tăng dân số như vậy thì vào năm 2030 dân số của nước ta là
bao nhiêu?
A. 110971355 người

B. 109312397 người

C. 108118331 người

D. 109225445 người.
Giải

Thay A = 94104871 ,r = 0,0107, N = 2030 - 2016 = 14 vào công thức S = A.e Nr
ta có dân số Việt Nam năm 2030 là: 94104871. e14.0,0107 ≈ 109312397 (người)
Ta chọn đáp án B.
Bài 7. (Trích đề thi thử chuyên Đại học Vinh lần 2 năm 2017)
Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên
nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên.Theo OECO
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới),
khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh
tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất
tăng thêm 2o C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi
nhiệt độ trái đất tăng thêm 5o C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm to C, tồng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm f(t)% thì f(t) = k.at (trong đó a, k là

15


các hằng số dương).Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C

Khi

.at = 20% ⇒ at −2 =

k.at

đó:

=

20%

20
20
⇒ t = 2 + log 10
⇒ t ≈ 6, 7 .Do đó ta chọn đáp án
3
3
3
3

C.
Bài 8. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được
cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm
tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng,
khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công
thức M (t ) = 75 − 20 ln(t + 1), t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì
nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 15% ?
A. 19,09 tháng


01

2.1

07

14.6

17

35.4

Yếu, kém
SL
%
23

47.9
16


Sau khi áp
dụng SK

48

09

18.7
5

%

43

2

4.6

9

20.9

21

49

11

25.5

43

13

30.2

24

55,9


qua những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường
như nhà máy ngoài ruộng đồng vv… Để tìm lời giải, đối chiếu với thực tiễn để
kiểm tra và điều chỉnh. Việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực
tiễn vào dạy học môn toán dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng
dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích, phê phán và giải quyết
những sự việc xảy ra trong cuộc sống.
17


3.2.Kiến nghị
Cần coi trọng và cần thiết phải tìm ra những biện pháp tích cực hơn, hiệu
quả hơn nữa ngay từ khi học sinh còn ngồi trên nghế nhà trường, cụ thể ở ngay
từ trong các bài mà học sinh được học cần lồng và tăng cường làm đậm nét hơn
nữa mạch ứng dụng toán học và toán học ứng dụng. Qua đó không những học
sinh được củng cố các kiến thức đã học mà quan trọng hơn là hình thành rèn
luyện cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng tư duy, suy
luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống tương lai của mỗi người và
góp phần cho đất nước thêm phồn vinh.
Qua nghiên cứu và áp “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải
một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường
THPT Tĩnh Gia 3’’ tôi thu được hiệu quả nhất định, để học tập môn toán của
các em có kết quả cao hơn và kiến thức vững hơn. Tôi kính mong đồng nghiệp
và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia 3 cũng như hội đồng khoa học
của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tôi
hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng
học sinh.
Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp
tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe,
hạnh phúc, thành đạt.



Vi Thanh Hoàng

20