Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Đỗ Thế Nhất THPT- Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải D ơng
Giới hạn của dãy số
1.Dãy số có giới hạn o
a)Đn:Dãy số (u
n
) có giới hạn 0,kí hiệu
lim 0
n
n
u
+
=
(Hay lim(u
n
)=0),nếu với mọi số dơng nhỏ tuỳ ý
cho trớc ,mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
số dơng đó .
b)Một số dãy số có giới hạn đặc biệt.
+Lim
1
0
n
=
;Lim
1
0
k
n
=
(nếu k

lim 0
lim 0
n n
n
n
n
n
u v n
u
v
+
+

=

=

Vd1:Tìm
( )
1
lim
n
n
n
+

Vd2:Tìm
sin 2
lim
n

n
n
+

+
2.Dãy số có giới hạn hữu hạn
a)Đn:Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu Lim(u
n
-L)=0
Khi đó ta viết lim(u
n
)=L hoặc Limu
n
=L hoặc u
n

L
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn
b)Một số định lí đợc thừa nhận
( )
( )
( )
( )
3
3
1. lim
lim
2. lim

n n
c c c const
u a
u a
u a
u n
a va u a
u a
Neu u a va v bthi
u v a b
u v a b
u v ab
ku k
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
= =
=

=

=

v b
u v w n
v a
u w a a R

+
+
+ +
=
=


=

= =

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
6.Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
7.Dãy (u
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn
Vd6:Tìm
( )
( )
2
2
1
) lim 2

c
n
d
n n
n
e
n
n n
f
n
g n n
+
+
+
+
+
+
+



ữ
ữ+
ữ




n
n
n
n n
n
n
n
a
n
n
b
n n
c
n
d
n n n
+
+
+
+



ữ
ữ ữ
+ +


2 1
) lim
3 2
4
) lim
2.3 4
27
) lim
2
2 1 cos
) lim
4 5
3 1 2
) lim
3 1
) lim 2 1
) lim
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n n

+
+
+
+
+ +
+ +
+


+
+
+

+

+ +
+ +

+
2 2
2
3 2 2n n n n+ +
3.Dãy số có giới hạn vô cực
a)Dãy số có giới hạn +

Đn:Ta nói dãy số U
n
có giới hạn là +

nếu với mỗi số dơng tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số

nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số kể
từ một số hạng nào đó trở đi ,đều nhỏ hơn số âm đó .
Khi đó ta viết Lim(u
n
)=-

hoặc Limu
n
=-

hoặc u
n

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Chú ý:Các dãy số có giới hạn +

và -

đợc gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần
đến vô cực.
c)Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
lim ( 0)
lim ( 1)
k
n
n
n
n voi k
q neu q

v
n
)
+

+

+

+

-

-

-

+

-

-

-

+

Vd1:Tìm Lim(
3
.2

- -

-

+ -

-

- +

Vd2:Tìm a)Lim
( )
3 2
2 3 1n n n +
b)Lim
( )
4 3
2n n +
Quy tắc 3: Nếu Limu
n
=L và Limv
n
=0 và v
n
>0 hoặc v
n
<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì
Lim
n
n

n n
n n n n
a b
n n n
c d
+ +
+ +
+ +

+ +

e)Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
Nếu Limu
n
=a và Limv
n
=

thì Lim
0
n
n
u
v
=
Vd4:Tìm
2
2 5 4
) lim ) lim
.3 3 2 4

3
4 2
2
3 1
n n
n n

+ +
(chia ts và ms cho n
4
)
a
3
=Lim
( ) ( )
2 3
5
2 3 1
2
n n
n
+
+
(chia ts và ms cho n
5
)
a
4
=Lim
2

n
+ +
+
(chia tsvà ms cho n
2
)
a
7
=Lim
2
2
2 1
n n
n n+
(chia ts và ms cho n
2
)
a
8
=Lim
2
6
2
2 1
n n
n n

+
(chia ts và ms cho n
3

=Lim
(
)
2 2
2 4n n n n+ +
(nhân liên hợp)
a
12
=Lim
(
)
2 2
1 3n n n +
(nhân liên hợp)
a
13
=Lim
2 2
1 4 2
4
n n n
n
+
+
(nhân liên hợp)
a
14
=Lim
2
33


+
ữ
a
18
=Lim
2 1
1
3 4.2 3
3.2 4
n n
n n
+
+

+
a
19
=Lim
1
!n
a
20
=Lim


a
22
=Lim
2
3
cos2
5
1
n n
n


ữ
+

a
23
=Lim
( )
3 2
2 5 7n n n +
a
24
=Lim
( )
4 2
3 3 2n n n +
a
25

2
1n n n+ + +
a
29
=Lim
1
3 2 2 1n n+ +
a
30
=Lim
1
3 2n n+ +
Đs:-1;0;9;0;
1
2
;
1
3
0;0;
2 2 3
;0;-1;-2;
3
2

;
3
;1
1
2


f x L

=
( )
( )
*
0
0
, ,
lim
lim
n n n
n
n
x x K x x n
f x L
x x



=

=


Vd:Cho hàm số
( )
2
1
1

K,x
n
*
1 n N
và limx
n
=1 ta có
( )
( ) ( )
2
1 1
1
1
1 1
n n
n
n n
n n
x x
x
f x x
x x
+

= = =
+ +
(vì x
n
+1
0

n
*
1 n N
và limx
n
=-1 ta có
( )
( ) ( )
2
1 1
1
1
1 1
n n
n
n n
n n
x x
x
f x x
x x
+

= = =
+ +
(vì x
n
+1
0


x x
C C C const


=
= =
( )
0
0
3) lim ( )
x x
f x f x

=
nếu
0
x K
là khoảng xác định của hàm số f(x)
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
VD:Tính các giới hạn sau:
( )
2
1
2
2
2
2
3
2
3


= +

=

=
=
= + +
3.Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số tại môt điểm.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1. 0 lim






=

=


= =
+ = +
=
==
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng