Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn 0, kí hiệu
( )
n
lim u 0=
(hay
n
lim u 0=
), nếu với mọi số dơng nhỏ bao
nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó.
b. Tính chất:
( ) ( )
n
1 1
lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1
n n

= = > = <
c. Định lí: Cho hai dãy số
( )
n n
n n n
n
| u | v

n
= c, n :
n
lim u c=
limu
n
= L
n
3
3
n
lim | u | | L |
lim u L
=




=


Nếu
n n
lim u L, lim v M= =
thì:
( ) ( )
n
n n n n n
n
u

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1 q
S u u q u q ... u q u . ;
1 q


= + + + + =


n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1 q
S u u q u q ... u q ... limS lim u . ;
1 q 1 q


= + + + + + = = =

3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dãy số có giới hạn
+
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn + , kí hiệu limu
n

+ +

+
+
+
+

+



+

+


+


+
Quy tắc chia
n
lim u L 0=
có dấu
n n
lim v 0, v 0=
có dấu
n
n
u

, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
), nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong tập
( ) { }
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x=
, ta
đều có
( )
n
lim f x L=
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
1
b. Giới hạn vô cực
( )
0
x x
lim f x

n
x
trong khoảng
( )
a;+
mà
n
lim x = +
, ta đều có
( )
n
lim f x L=
3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử
( )
0
x x
lim f x L

=
và
( ) ( )
0
x x
lim g x M L, M

= Ă
. Khi đó:

( ) ( )

L
lim M 0
g x M

=
b. Định lí 2: Giả sử
( )
0
x x
lim f x L

=
. Khi đó:

( )
0
x x
lim | f x | | L |

=
;

( )
0
3
3
x x
lim f x L

=

( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =


4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
Giả sử hàm f xác định trên khoảng
( )
0 0
x ; b , x Ă
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:
( )

( )
0
x x
lim f x L


=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
0
a; x
mà
n 0
lim x x=
, ta đều có
( )
n
lim f x L=
.
Các định nghĩa
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
+ +



( )
0
x x
lim g x L 0

=
có dấu
( ) ( )
0
x x
lim f x .g x
( )
0
x x
lim f x L 0

=
có dấu
( )
0
x x
lim g x 0

=
g(x) có dấu
( )

6. Các dạng vô định
Khi tìm
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
g x



khi
0 0 0
x x ; x x ; x x ; x ; x
+
+
ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu
0
, , 0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô
cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm:

2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n= = =
+
+
Ví dụ 3: Tìm:
(
)
2
lim n 1 n 1 +
Giải:
(
)
2
2
2
2n 2


(1);
( )
n n n
n
n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L



=

= =


Ă
(2)
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=
Giải:
Ta có:
( )

Ví dụ: Chứng minh dãy số
( )
n
u
cho bởi
( )
n
1
u
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Ta có
( ) ( )
( )
n 1
n
n n 1
u
1 n
. 1, n.
u n 1 n 2 1 n 2
+
+
= = <
+ + +
Do đó dãy
( )

Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1 ... ....
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2
= = =


Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:

3
Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
nn n n

+ = < + =
ữ ữ

và
( )
*
3
3 1
0 n
n n
+ > Ơ
nên suy ra:
3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim
3 1
3n 1

n
n +
+
ữ

+

= =

++
+
ữ
Lại có
3
2 3 2 3
2
2 2
4 3 4 3
2 2
2 2n 4n 3
n n n n

( )
n
x
mà
n
x 0, n
và
n
lim x 0=
. Ta có:
( )
n n n
n
1
f x x sin | x |
x
=
Vì
( )
n n
lim | x | 0 lim f x 0.= =
Do đó
x 0
1
lim x.sin 0
x


=
ữ

+
+ + +
+ + = = = =
+ + + + + +
+ + +
Ví dụ 3: Tính:
(
)
2
x
lim x 3x 1 x

+ + +
Giải:
Ta có:
(
)
2
2 2
x x x x
2
1 1
3 3
3x 1 3
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
2
3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1

0
J \ x
. Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =


Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sin x
lim 0
1 x

.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
4
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3
2
x x 1
f x
2x 3 x 1

<

=




với
với
. Tìm
( )
x 1
lim f x

Giải:
Ta có:

( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi
khi

>


+
=



<

+
a. Tìm
( )
x 2
lim f x

b. Tìm
( )
x 1

x 1
lim f x

(Chú ý:
( )
0
x x
lim f x

tồn tại khi và chỉ khi
( ) ( )
0 0
x x x x
lim f x lim f x L
+

= =
thì
( )
0
x x
lim f x L

=
)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x

Phơng pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng
( )
( )
0
x x
P x
lim
Q x

, với
( ) ( )
0 0
x x x x
lim P x lim Q x 0

= =
:
Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
x x
Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14
lim
x 2

+

4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2

+ + +
+ +
= = = =
+ + + + + +
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+

Giải:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 3
3
3
3
x 1 x 1 x 1
2 2