Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp bộ môn Toán THPT năm 2009
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009 là tài liệu chính thức của Bộ GD-ĐT
giúp giáo viên và học sinh chuẩn bị ôn luyện cho các kỳ thi sắp tới.
Môn Toán
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số,
cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu II (3 điểm):- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1 điểm):Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình
trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt
cầu và thể tích khối cầu.
II. Phần riêng (3 điểm):(Thí sinh học chương trình nào chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình
đó).
1. Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm):Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt
cầu.
Câu V.a (1 điểm): Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình
bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 1
Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009

VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Các vấn đề liên quan đến hàm số
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
hoặc biết hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o Cực trị hàm số
o Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
o Cách xác đònh tiệm cận :
o Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi
1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……..
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• Tính tốn,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…
• Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit
• Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
• Giải phương trình mũ và logarit :
• Giải bất phương trình mũ và logarit
• Giải hệ phương trình mũ và logarit (Khơng có ở ban cơ bản)

b b
b
a
a a
u.dv u.v v.du= −
∫ ∫

o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 3
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
o Tìm tích phân của các hàm số vơ tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

• Ứng dụng của tích phân
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
VấN Đề 4:Số PHứC
• Tìm số phức z;
;z
biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
• Thực hiện được các phép tốn về cộng trừ,nhân,chia các số phức.
• Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)
• Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
• Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Khơng có ở ban cơ bản)
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.

/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 4
Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim ... lim ...
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x
o
là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến

.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=






≠
−
=







x
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1
/
/
/
sin
1
cot.18
cos
1
tan.17






=
=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

sin
cot
cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.

/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu
uu
−
=
=

bcad
y
+
−
=
22
2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta coù

( )
2
22
2
2
22
11
22
11
2

/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
+∞→

+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞

-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT
x −
∞
+
∞
x −

2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?

±∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +

−
∞
y
CĐ CĐ
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
2

= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 7
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
CĐ
a < 0
a > 0
CT
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009

4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆

e
f
x
−→
= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]()([lim BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)
ε
∞→
x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞

∞
−
∞
CT

x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 8
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
a.e > 0

))
• TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x

1
• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k

Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/

//
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x

/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=

>

+ x
o
là điểm cực tiểu <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=

<

• Hàm số đạt cực trò bằng y

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 10
đổi dấu qua x
0
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
Và y
/
=
u v v u
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0

có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0
a
f x c
≠

⇔ = ⇔

∆ >

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
. 0
CD CT
y y⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CD CT
x x⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=

( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CD CT
y y⇔ =
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận:
max y
[a;b]
=
?

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 11
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
• Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung

• Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim 0
x
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có
tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
(x)
lim
x
ε
→±∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
f (x)
a
lim
x
x
=

V y y dx
π


= = <

= −
= −
∫
∫
C
1
2
1 2
1 2
d
c
2 2
( ) và ( )
( )
, (c )
S x
C
d
Oy C C
c
C C
H
y c y d d
x dy

) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )



<

0xf nếuxf-
0xf nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) 0)
Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có y =
( )
xf



=

xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy
=
đợc coi là hàm đa trị của y theo x)
Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=
( )
( )

Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
° PhÇn ®å thÞ cđa (C) øng víi f(x) < 0 qua trơc hoµnh.
e) D¹ng ®å thÞ (C
5
) cđa hµm sè: y =
( )
( )
xg
xf
• C¸c bíc lµm t¬ng tù nh phÇn d)
• Chó ý: g(x) ≠ 0.
f) D¹ng ®å thÞ (C
6
) cđa ®å thÞ hµm sè: y =
( ) ( )
xgxf
+
Ta cã: y =
( ) ( )
xgxf
+
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



<+
≥+
0xf u nÕxgxf-

xf
.
Tãm l¹i ta thùc hiƯn dÇn c¸c bíc nh sau:
y = f(x) ⇒ y = f(
x
) ⇒ y =
( )
xf
……………………
PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x

( )
x
y
y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1

a
B + log
a
C
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 14
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
Clog
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log

1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/

x ∈(0;+∞) −> (lnu)
/
=
u
u
′
(log
a
x)
/
=
1
x ln a
−> (log
a
u )
/
=
u
u. ln a
′
Bài tốn 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
Cách 1. S ử dụng định nghĩa
a a
log
x x x
a = b <=> x=log (a = b <=>a = a <=> x=log )
a
b
b b

−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)
b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b + γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =

Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
Cách 2 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số
a a
f (x) 0 (hay g(x) 0)
0 a 1
f (x) g(x)
log f(x) log g(x)
> >
= <=> < ≠
=





Cách 3 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4 . S ử dụng pp mũ hoá 2 vế :
Cách 5 . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6 . S ử dụng pp đồ thị
Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách
giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cô bản sau:
• Bất phương trình mũ dạng:
f (x) g(x)
u(x) u(x)≥
f (x) g(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

≥
u(x)
0 < u(x) 1
f(x) 0
g(x) 0
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0
x) log g(x)

≠

>

<=>

>


− ≥

≥
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng
hơn.
1.
f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.

a( 1)
α+
+
α
+ = +
∫
α +
(α ≠-1)
dx
ax b
∫
+
=
1
a
lnax+ b + C
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 16
Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
x
e .dx
∫
= e
x
+ C
x
a .dx
∫
=
x
a

dx
2
Cos x
∫
=
2
(tan x 1).dx+
∫
= tanx + C
dx
2
Sin x
∫
=
2
(Cot x 1).dx
+
∫
= −Cotx + C
Cos(ax b).dx+
∫
=
1
a
Sin(ax+ b) + C
Sin(ax b).dx+
∫ = −
1
a
Cos(ax+ b) + C

f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
CHÚ Ý:
1.
∫
)().(
/)(
dxxuef
xu
Đặt
)(xut
=

2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=
+
=
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t
=
5.
∫
−
).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin
=
6.
∫
+
).(

±+=
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 17
Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
= −
∫ ∫
Hay
udv uv vdu= −
∫ ∫
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
với f(x) là đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin

.
ln( )
( )
( )
= + =
⇒
+
=
=
∫

 
 



a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 3:
sin
.
∫
 

đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
∫
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính
f (x)
dx
g(x)
∫
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một
đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x) r(x)
( )dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
= +
∫ ∫ ∫
.Như vậy

; x
2
là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các
hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1
∫
+
).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt
+=
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o
∫
−
).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin
=
o

Đặt
22
axxt
±+=
PHầN 4: TÍCH PHÂN.
( ). ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −
∫
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dt u '(x)dx
⇒ =
• Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
• I =
b
/

thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo
hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b b
b
udv u.v vdu
a
a a
= −
∫ ∫
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 19
Tài liệu dùng cho ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
@ Dạng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
với f(x) là đa thức: Đặt
( ) '( )

f x ax b dx
β
α
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= +
=
⇒
+
=
=
∫

 
 



a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −

β
∫
α
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos ax.dx
β
α
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
β
∫
α
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.

ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 20
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
2 2
1 2
1 2 2
r(x) r(x) A B C
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x

o
∫
+
).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan
=
o
∫
−
).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=
o
∫
±
).
1
(
22
dx
ax

f (x)dx f (x)dx
a c
+
∫ ∫
*Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng cơng thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân.
PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a; x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
b
| f (x) |.dx
a
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
f (y)
a;y b
=


∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng
hoặc hiệu của nhiều hình.
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 21
a
b
x
y
a
b
x
y
y=f(x
)
y=g(
x)
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
• Hình phẳng giới hạn bởi :
f (y)
g(y)
y b
=


=


= =


g(y)
a; y b
=


= = =

hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y
quay quanh trục Oy và g(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
b
2
g(y) .dy
a
π
 
∫
 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f(x);y g(x)
x a; x b
= =


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Ox thì V =
b
2 2

3) số phức liên hợp của z = a+bi là
z
= a − bi.
* z+
z
= 2a; z.
z
=
2
2 2
z a b= +
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
7)
c di 1
z [(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2
a bi
a b
+
= =
+
+
(để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp
của số phức ở mẫu)
Bài tốn 2:Căn bậc 2 của số phức:
Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w <=> z
2
=w

Cho phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0. vi = b
2
4ac.
Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghip kộp
b
x x
1 2
2a
= =
Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim:
b
x
2a

=
Nu < 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim:
b i
x
2a

=
Bi toỏn 4:Cỏch tỡm dng lng giỏc ca 1 s phc: z=a+bi ; a,b l s thc
Cỏch 1: 1.Tỡm r:
2 2
r>0r z a b= = +
2. Tỡm 1 Acgumen
sin
sao cho

CNG C :Dng lng giỏc ca s phc v ng dng (Khụng cú ban c bn )
Cho số phức z=ax+b; a,b R.c biu din bi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phc
Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lợng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
Nếu là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng +k2, kZ
Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| =
2 2
a b+
, r > 0.
a=rcos , b=rsin.
Từ đó suy ra dạng lợng giác của số phức z = r(cos+isin)
Dạng lợng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cos+isin)
hay z = r[cos(+)+íin(+)].
Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lợng giác là :
z =a bi = r(cos - isin)
hay z = r[cos(-) + isin(-)]
*Các phép tính với số phức ở dạng lợng giác:
Kí hiệu z
1
=r
1
(cos
1
+isin
1
) ; z
2
=r
2
(cos

2
)+isin(
1
-
2
)]
Từ đó suy ra dạng lợng giác của số phức z
-1
(nghịch đảo của z) là: z
-1
=
)]sin(.)[cos(
11

+=
i
rz

[ ]
)sin.(cos)sin.(cos

ninrir
n
n
+=+

[ ]
)sin.(cos)sin.(cos

nini

ộ ự
ờ ỳ
+ + +
ờ ỳ
ở ỷ
, với r > 0.
*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau z
k
:
z
k
=
2 2
sin
n
k k
r cos i
n n n n
j p j p
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
+ + +
ỗ ỗ
ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ

3
4
r
3

Khi tr:
o Tớnh din tớch xung quanh hỡnh tr S
xq
= 2rl;
o din tớch ton phn hỡnh tr S
tp
= 2r(r + l).
o th tớch khi tr V = r
2
h
Khi nún:
o Tớnh din tớch xung quanh hỡnh nún S
xq
= rl;
o din tớch ton phn hỡnh nún S
tp
= r(r + l).
o th tớch khi khi nún V =
2
1
r h
3

Chỳ ý:
o Cỏc dng toỏn:song song,vuụng gúc lp 11(c bit l cỏc bi toỏn giao tuyn v thit din)

. .

. .
S AMD
S ABD
V
SA SM SD
V SA SB SD
=
Gv:inh Chớ Vinh THPT Lờ Th Pha Bo Lc Trang 24
Tài liệu dùng cho ơn luyện thi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng-Đại học Bảo Lộc,tháng 04/2009
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
a
→
= (x;y;z) ⇔
a
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

Tính chất : Cho
a
→

; a
3
± b
3
)
• k.
a
→
= (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
a . b
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3

= 0
a
→
cùng phương
b
→
;
a
→
≠
0
→
⇔
b
→
= k.
a
→
⇔ [
a
→
,
b
→
] =
0
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) ⇔
OM

M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
MA
→
= k
MB
→
) Thì M có toạ độ là :
M
M
A B
A B
M
A B
x k.x
x
1 k
y k.y
y
1 k
z k.z
z
1 k
−


=
−


2
+


=


+

=


 +

=


•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
G A B C
G A B C
G A B C
1
x (x x x )
3
1
y (y y y )
3
1
z (z z z )

] =
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 ÷
 ÷
 
* [
a
→
,
b
→
] ⊥
a
→
; [
a
→
,
b
→
] ⊥
b
→
Gv:Đinh Chí Vinh THPT Lê Thị Pha – Bảo Lộc Trang 25