B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

TR

NT

H UH N

I V I BÀI TOÁN D M LIÊN T C CH U
T I TR

PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T
NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017



c, toán h c uyên bác c a G

và

cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr
m

u ki n thu n l

c u hoàn thành lu n

và ngoài

ng viên, t o

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên
.

Tác gi xin chân thành c

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H i phòng

tâm góp ý cho b n lu n

, quan

, giáo viên c a Khoa xây d ng,



và c

hân -

:

.

P

thông qua

theo ba mô hình g m: Mô hình chuy n v , xem
chuy n v

ng c n tìm và hàm n i suy bi u di n g

ng phân

b c a chuy n v trong ph n t ; Mô hình cân b ng, hàm n i suy bi u di n
g

ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t và mô hình

h n h p, c

ng chuy n v và ng su t là hai y u t

bi t. Các hàm n i suy bi u di n g


Tr

,t

phân,

c tiên trình bày các v

ch trình bày các khái ni

n

toán c c tr có ràng bu c
c n thi t

v phép tính bi n

as

iv

c.

ng v n
gi i thi

c

ck t


c a

do

c xác

(1.2)
N u cho hàm
c a nó

ng v i các bi n phân

thì gia s
là:

(1.3)


N
o hàm riêng liên t c b c 2 thì s gia c
nh theo (1.3) có th vi t
i d ng chu i Tay-

c xác

(1.4)
ng vô cùng bé b c cao v i
(1.5)
T

Phi m hàm I có c c ti
yi(x) n u

nt is

nh trên m t t p nào
c g i là phi m hàm].
i v i hàm y(x) ho c h hàm
s gia Z.

(1.7)
i v i t t c các bi n phân

ho c t t c h bi n phân
ki n

th

u


ho c

khi
C

.

a Z khi Z < 0.
tìm c c tr c a(1.6): Gi i tr c ti p trên phi m


phi

t

c c tr là:

(1.8)
cg

a phi m hàm
(1.6a).

Trong m t s tài li
sau:

c suy ra t b


B
nh

: Cho phi m hàm tuy n tính trong không gian D1 (G m các hàm xác
n [x1,x2] liên t c cùng v
o hàm c p 1 c a nó).
N u

V i m i hàm

sao cho


d
dx

F
yi '

d2
dx 2

F
yi ''

d3
dx3

F
yi '''

.... 0

(1.11)
H
c gi i v
u ki n biên c a yi và các
n b c (ri-1) c a nó (ri là b
o hàm c a yi).
Các công th c trên có th m r
ng h p hàm nhi u bi
c


(a)
u ki n ràng bu c
(V
(b)
n: S hàm c n tìm ; m: s ràng bu c
nh lý sau:

Phi

t c c tr trên h hàm c n tìm

bu c (b) thì h

v

u ki n ràng

n th a mãn h

(c)
V i
Các hàm
(m+n) hàm
ki n biên

c g i là phi m hàm Lagrange m r ng.
c g i là th a s Lagrange. N u bài toán có nghi m thì
nh t
u ki n c n ch


,

, ...,

.

ng g p khúc này, phi m
hàm

tr

thành

hàm

c

c

ng g

nh b

Ta s ch
t

nh

này.

a hàm F, ta s nh n
thu n ti
a, giá tr c a
ng g p khúc nêu trên, ch ng
nh t,
thay
tích
phân:

n

b ng t ng tích phân

.

V

i v i phi m hàm
I

ng h

x1
x0

ng g

F y, y ' , x dx




- Bài

-

ta

1.3. Các p

1.3


1.3

1.3

;
o

1.3.4


chu
1.3.5

NT H UH N

trình bày m t s khái ni
t h uh


c n tìm trên toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con

(ph n t ) thu c mi n

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý
và k thu

nh trên các mi n ph c t p g m

nhi u vùng nh

c tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

u ki n

i t tr c quan phân tích k t c u, r
phát bi u m t cách ch t ch và t

c

n phân hay
c x p x trên m i ph n t .

T

n t h u h n chia k t c u công trình thành m t

s h u h n các ph n t . Các ph n t
ng t


phân. S khác bi t c

u h n sau

c các chuy n v t i các nút c

m n m gi a

nh b ng n i suy tuy
h

h u

c chuy n v t i các nút c a ph n t

m bên

nh b ng hàm n i suy (hàm d ng).
V

c v t r n bi n d ng, tu

t lí c a hàm

n i suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v
suy bi u di n g

ng c n tìm và hàm n i



hình chuy n v .
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v
n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

chuy n v
d ng m

ng c n tìm. Chuy n v

c l y x p x trong

n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ).

Trình t phân tích bài toán theo ph
chuy n v có n

n t h u h n - mô hình

sau:

2.1.1.1. R i r c hoá mi n kh o sát
Mi n kh

ng nghiên c

c chia thành các mi n con hay


u này cho phép ta kh

thay th vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm
nghi m t i các nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t
vi c d a vào hàm x p x

c tìm b ng

n.

Gi thi t hàm x p x (hàm chuy n v
i tho

i v i vi c tính

u ki n h i t

ng ch

id

th c. Bi u di n hàm x p x theo t p h p giá tr các thành ph n chuy n v và
có th c

o hàm c a nó t i các nút c a ph n t . Hàm x p x

c ch

ng



x (v lý thuy

b cc

cx p

c b c vô cùng s cho nghi m chính xác). Tuy nhiên, khi

th

ng l

c x p x b c th p mà thôi.

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m

ng chuy n v

nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n
chuy n v nút. T

ng chuy n v s

nh m t tr ng thái bi n d ng,

tr ng thái ng su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành
ph n chuy n v nút c a ph n t .


h c.
- S tham s c

c x p x ph i b ng s b c t do c a ph n t ,

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t . Yêu c u này cho kh
c c a hàm x p x theo giá tr
giá tr các thành ph n chuy n v t
2.1.1.3. Xây d
tr

m nút c a ph n t .
ng trong t ng ph n t , thi t l p ma

c ng

i tr ng nút

thi t

(2.1)
Ta có:
(2.2)
[N] -

(2.3)
-

(2.4)


(2.8)

(2.9)


(2.10)
[K]etích ([B]T

e

(2.11)
{F}e n}e

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

q}e


Thay

e

(2.16)


e

e

vào


e

(2.19)
'

'

e

=
(2.20)
(ne x1)
e

[H]e
(ne x n) (n x 1)

trong

(2.21)

e