PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
x
1. Phương trình mũ cơ bản a  b  a  0, a �1



Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b  0



Phương trình vô nghiệm khi b �0

2. Biến đổi, quy về cùng cơ số
0  a �1
�
a f  x  a g  x  � a  1 hoặc �
�f  x   g  x 

3. Đặt ẩn Phụ
f�
a g x �
�
� 0

�
t  a g x  0
�
 0  a �1 � �
�f  t   0


t

f  x

�a �
 0 . Chia hai vế cho b 2 f  x  và đặt � �  t  0
�b �

4. logarit hóa



0  a �1, b  0
�
f  x
b� �
Phương trình a
�f  x   log a b



Phương trình a

f  x

 b g  x  � log a a f  x   log a b g  x  � f  x   g  x  .log a b
Hoặc log b a

f  x


6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o

Tính chất 1: Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm của
phương

trình

f  x  k

trên  a, b 

không

nhiều

hơn

một

và

f  u   f  v  � u  v, u , v � a, b 
o Tính chất 2: Nếu hàm số y  f  x  liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số

y  g  x  liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của
hương trình f  x   g  x  không nhiều hơn một.
o Tính chất 3: Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất
phương trình f  u   f  v  � u  v  hoac u  v  , u , v �D
7. Sử dụng đánh giá

chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
)
�f ( x)  g–( xWebsite
�
�

2


�
a f ( x ) �a g ( x )
�f (x)
a
 a g ( x)
Tương tự với bất phương trình dạng: �
�
a f ( x ) �a g ( x )
�

a M  a N � (a  1)( M  N )  0



Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:



Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số
+đặt ẩn phụ


 9 � 3x

2

 4 x 5

�x  1
 32 � x 2  4 x  5  2 � x 2  4 x  3  0 � �
x3
�

Suy ra 13  33  28 . chọn đáp án A.
Câu 2: Cho phương trình 3x

2

3 x 8

 92 x 1 . Khi đó tập nghiệm của phương trình là:

A. S   2;5

�5  61 5  61 �
;
B. S  �
�
2
� 2
�

x5
�
 34 x  2 � x 2  3 x  8  4 x  2 � x 2  7  10  0 � �
x2
�

Vậy S   2;5
x

�1 �
Câu 3: Phương trình 31 x  2  � � có bao nhiêu nghiệm âm?
�9 �
A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải
x

x

2x

3
�1 �
�1 �


�1 �
Với t  2 , ta được � � 2 � x  log 1 2   log 3 2  0
�3 �
2

x

Vậy phương trình có một nghiệm âm.
2 x 2

x
�1 �
2
9
 9. � �  4  0 là:
Câu 4: Số nghiệm của phương trình
�3�

A. 2

B. 4

C. 1

D. 0

Hướng dẫn giải
x 1


Với t=1, ta được 3x  1 � x  0
Với t=3, ta được 3x  3 � x  1
Vậy phương trình có nghiệm x  0, x  1 .
28

Câu 5: cho phương trình : 2 3 x  4  16 x2 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải

2

28
x4
3

 16

x 2 1

1 x 1
� x ‫�ڳ‬
�x  3
28
�
2
2
�


B. 7

C. -7

D. -5

Hướng dẫn giải

 2.5

8  x 2 109.1055 x

2

� 108 x  1025 x � 8  x 2  2  5 x � x  1; x  6

ta có: -1+6=5. Chọn đáp án A.
Câu 7: phương trình 9 x  5.3x  6  0 có nghiệm là:
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. x  1, x  log 3 2

B. x  1, x  log 3 2

C. x  1, x  log 2 3 D. x  1, x   log 3 2


2

Vậy x1.x2  1.2  2 . Chọn đáp án A.
Câu 9: cho phương trình 4 x  41 x  3 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. phương trình vô nghiệm
B. Phương trình có một nghiệm
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 42 x  3.4 x  4  0
Hướng dẫn giải
Đặt t  4 x (t  0) , khi đó phương trình đã cho tương đương với
�t4
t 2  3t  4  0 � �
� x 1
t  1( L)
�
Chọn đáp án A.
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 10.

Cho phương trình 9 x

2

 x 1

 10.3x

t 3
3x  x 1  3
�x  1
�
3t 2  10t  3  0 � �
1 � �x2  x1 1 � �
�
�x  0
t
3

�
�
�
3
�
� 3
x  1
�
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2.
Câu 11.

Nghiệm của phương trình 2 x  2 x 1  3x  3x 1 là:
A. x  log 3
2

3
4

B. x  1

x2
2x  8
�
22 x  3.22 x  2  32  0 � 22 x  12.2 x  32  0 � �x
�� �
x3
2 4
�
�
Câu 13:

Nghiệm của phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  0 là:
A. x � 1; 1

2 3�
B. x ��
�; �
�3 2

C. x � 1;0

D. x � 0;1

Hướng dẫn giải
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2x

Nghiệm của phương trình 12.3x  3.15 x  5 x1  20 là:
A. x  log 3 5  1

B. x  log 3 5

C. x  log 3 5  1

D. x  log 3 5  1

Hướng dẫn giải
12.3x  3.15x  5x 1  20 � 3.3x (5x  4)  5(5 x  4)  0 � (5x  4)(3x 1  5)  0
� 3x 1  5 � x  log 3 5  1
Câu 15:

Phương trình 9 x  5.3x  6  0 có tổng các nghiệm là:
A. log 3 6

B. log 3

2
3

C. log 3

3
2

D.  log 3 6

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


21 2 x  15.2 x  8  0

(2)

(2) � 2.22 x  15.2 x  8  0 � 2.(2 x ) 2  15.2 x  8  0 (2’)
� 1
t  (N )
Đặt t  2  0 . Khi đó: (2 ') � 2t  15t  8  0 � � 2
�
t  8( L)
�
2

x

Với t 
Câu 17:

1
1
1
 2 x  � x  log 2 � x  1
2
2
2

Hướng dẫn giải
5 x  251 x  6 (1)
(1) � 5 x  251 x  6  0 � 5 x 

25
25
 6  0 � 5x  x 2  6  0(6 ')
2 x
(5 )
(5 )

Đặt t  5 x  0 , khi đó:
�
� t  5( N )
�
25
1  21
2
2
(6 ') � t   6  0 � t  6t  25  0 � (t  5)(t  t  5)  0 � �
t
(N )
�
t
2
�
1  21
�
t
( L)

�
�
Câu 18:



Phương trình 7  4 3

   2  3
x

x

 6 có nghiệm là:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


A. x  log  2 3  2



B. x  log 2 3

C. x  log 2 2  3




D. x � 5; �

Hướng dẫn giải
x

5

x

�1 �
�1 � �1 �
� � 32 � � � � � � x  5
�2 �
�2 � �2 �
Câu 20:

Cho hàm số f ( x)  22 x.3sin

2

x

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. f ( x)  1 � x ln 4  sin 2 x ln 3  0

B. f ( x )  1 � 2 x  2sin x log 2 3  0

2
C. f ( x)  1 � x log 3 2  sin x  0

x 1

2 �+۳۳
2 

+
3
x

x

3

x 1

3.2

x

4 x
.3
3

x

�3 � 9
��
�2 � 4

x 2

pt � 32 x  3 x 1 � 2 x 

�

Câu 23:

2x
2x
�1
�
�
 2x  0 � 2x �
 1 � 0
x 1
x 1
�x  1 �

� x  2
� x  2
2 x( x  2)
0� �
. kết hợp với điều kiện => �
1  x  0
1  x  0
x 1
�
�

Tập nghiệm của bất phương trình 16 x  4 x  6 �0 là;
A. x �log 4 3


D. log 3 2  x  1

Hướng dẫn giải
�
3x  3
� x 1
3x
3x  3

3
�

0
�
��
�x
x
x
x  log 3 2
3 2
3 2
3 2
�
�

Câu 25:

Tập nghiệm của bất phương trình 11
A. 6 �x �3

�
�
�11x � x  6 �x � �
��
� x �0 � 6 �x  3
�
� x �0
�
�
2 �x �3
�
�
�
�
2
x

6
�
x
�
�

Tập nghiệm của bất phương trình
A. 1  x �1

1
1
� x1
là;


2 x 1

�5 �
��
�7 �

, tập nghiệm của bất phương trình có dạng

s   a, b  . giá trị của biểu thức A  b  a nhận giá trị nào sau đây?
A.1

B. -1

C. 2

D. -2

Hướng dẫn giải
x 2  x 1

�5 �
��
�7 �

2 x 1

�5 �
 � � � x 2  x  1  2 x  1 � x 2  3x  2  0 � 1  x  2
�7 �


Câu 29:

Tập nghiệm của bất phương trình 32.2 x1 �72 là:
A. x �[2; �)

B. x �(2; �)

C. x �(�; 2)

D. x �(�; 2)

Hướng dẫn giải
32.2 x 1 �۳۳
72
Câu 30:

2.6 x

72

x

2
x

tập nghiệm của bất phương trình 3x 1  22 x1  12 2  0
A. x � 0; �

B. x � 1; �


2
�4 �
� � � 1 � x  0
�3 �

Câu 31:

2.3x  2 x  2
Tập nghiệm của bất phương trình
�1 là
3x  2 x
�
�
0;log 3 3�
A. x ��
�
2 �

C. x � 1;3

B. x � 1;3

�
�
0;log 3 3�
D. x ��
�
2 �


2�
ۣ
 �
�
��
� 0
x
�3 �
� � 1
�2 �

x

�3 �
1 �� 3
�2 �

0

x log 3 3
2

1

Câu 32:

3

x
2 �

Hướng dẫn giải
2
1
1  3x
 1 nên bất phương trình tương đương với �۳�
3 �
5
x
x

Vì

0

0

x

1
3

� 1�
0;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là �
� 3�
�
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  4.5x  4  10 x là:

Câu 33:


�
��
��
��
� x � �;0  � 2; �
x
x
x0
�
�
1

5

0
5

1
�
�
�
�x
�x
�
�
2

4

0

 21

(1) � 2

x

x

(1). Điều kiện: x �0

1



2
2

x

� t �1
�
��

x 1

 6 x 5

 42 x

VẬN DỤNG
Câu 35:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 x
A. x � 5; 1;1; 2

B. x � 5; 1;1;3

2

3 x  2

 4x

2

2

3 x  7

C. x � 5; 1;1; 2

1


x  6 x 5

2

3 x  7

 1 � 4x

   1 4

2

x  6 x 5

2

3 x  2

 4x

2

 6 x 5

 0�4

2

 4x


� �2
��
x  6 x  5  0 � x  1 �x  2
�
1  4 x  6 x 5  0
�
�
2

Câu 36:

Phương trình



A. 1

3 2

 
x

3 2

 
x

10

B. 2


x

x

�3 2� �3 2�
��
�
� 10 �
� �
�
� 1
�
� � 10 �

x

x

�3 2� �3 2�
Xét hàm số f ( x )  �
�
� 10 �
� �
�
�
�
� � 10 �
Ta có: f (2)  1
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên � do các cơ số


15


Câu 38:

Phương trình 2 x 3  3x

2

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1  x2 , hãy chọn phát biểu

5 x  6

đúng
A. 3 x1  2 x2  log 3 8

B. 2 x1  3 x2  log3 8

C. 2 x1  3 x2  log 3 54

D. 3 x1  2 x2  log3 54
Hướng dẫn giải

Logarit

hóa

(3) � log 2 2 x 3  log 2 3x


x3
x3
�
�
�  x  3 �
1   x  2  log 2 3�
��
��
1
�
� 0 � �
x2 
1   x  2  log 2 3
x  2  log 2 3  1 �

�
�
log 2 3
�
�
�
�
� x3
x3
�
� x3
��
��
��
x  log 3 2  2






x

x



6

2
(8) � �2  3 � 2  3
�
�
�
�



Đặt t  2  3



x

(8)


Với t  2 � 2  3
t  3( L)
�





x

 2 � x  log 2 3 2
 

Chọn đáp án A.
16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 40:

Phương trình 333 x  333 x  34  x  34  x  103 có tổng các nghiệm là
A.0

B. 2

C. 3

D. 4


1 Cosi
1
�2 3x. x  2
x
3
3
3

1
1
1
1
�x 1 � 3 x
 t  �
3  x � 3  3.32 x. x  3.3x. 2 x  3 x � 33 x  3 x  t 3  3t
3
3
3
3
� 3 �
3

Khi đó: (7 ') � 27(t 3  3t )  81t  103 � t 3 

Với t 

103
10
� t   2( N )
27

2

Phương trình 9sin x  9cos x  6 có họ nghiệm là?
A. x 

 k

, ( k ��)
4 2

B. x 

 k

, ( k ��)
2 2

C. x 

 k

, ( k ��)
6 2

D. x 

 k

, ( k ��)
3 2


9
 t  6  0 � t 2  6t  9  0 � t  3
t

Với
2

2

t  3 � 9cos x  3 � 32 cos x  31 � 2cos 2 x  1  0 � cos 2 x  0 � x 

Câu 42:



Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2  3
A. m  2

Câu 43:

 k

, (k ��)
4 2

B. m  2

   2  3
x








Nhận xét: 2  3 2  3  1 � 2  3



Đặt t  2  3



x



 2  3



x

  2  3
x

x


Câu 8 chọn dáp án A
+nếu m  2 thì phương trình (1’) có đúng một nghiệm t  1  pt (1) có đúng một



nghiệm t  2  3



x

1� x  0

+nếu m  2 thì phương trình  1'  có hai nghiệm phân biệt =>pt (1) có hai nghiệm phân
biệt.
Câu 9 chọn đáp án A.
Câu 44:

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x2  4  22( x2 1)  22 x

2

2



 2x

2


2 x2  2

  2x

2

3

 1 � 8.3x

2

1

 22( x

2

1)

 4.22( x

2

1)

 4.2 x

2


Với giá trị nào tham số m thì phương trình  m  1 16  2  2m  3 4  6m  5  0 có

hai nghiệm trái dấu?
B.không tồn tại m C. 1  m 

A. 4  m  1

3
2

D. 1  m  

5
6

Hướng dẫn giải
Đặt 4 x  t  0 . Phương trình đã cho trở thành

1m4 14 t42 424 24m4234 t 4 64m4 45 40(*)
43
f  t

yêu cầu bài toán � (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0  t1  1  t2
�
m  1 �0
�
m  1 �0
�
�
� �  m  1 f  1  0 � �

1
�۳ x
x 1
5 1 5  5

6  1  5x 

 5.5

x

 1  5  5 x 

0(1)
20

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


6(1  t )
(5t  1)(5  t )

Đặt t  5 x ,BPT  1 ۳

Lập bảng xét dấu f  t  

0 .Đặt f  t  

6(1  t )
(5t  1)(5  t )


2

 2 x 1

�34.15 x

2

có tập nghiệm là:

2x

A. S  ( �;1  3] � 0; 2 �[1  3; �)

B. S   0; �

C. S   2; �

D. s  1  3;0





Hướng dẫn giải

25 x

Câu 48:

 x
34 �5 �

.� �
15 �3 �

2



 2 x 1

�0 �x �2
�
x 1 3
�
�
x �1  3
�

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm

x1 , x2 x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3 ?
A. m  4

B. m  2

C. m  1

D. m  3

A. m �4

B. m �4

C. m �1

2

x

có nghiệm?

D. m �1

Hướng dẫn giải
Chia hai vế bất phương trình cho 3sin
sin 2 x

2

x

 0 , ta được:

sin 2 x

�2 �
�1 �
� �  3. � �
�3 �


C. m  3  2 2

D. m �3  2 2

Hướng dẫn giải
Đặt t  3x
Vì x  1  t  3 bất phương trình đã cho thành: t 2  (m  1)t  m  0 nghiệm đúng
t �3
�

t2  t
  m nghiệm đúng t  3
t 1

2
Xét hàm số g  t   t  2  t  1 , t  3, g '(t )  1 
trên [3; �) và g (3) 

3
3
m
.yêu cầu bài toán tương đương �۳
2
2

3

 t  1
m