Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH HÓA
THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) b) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua điểm M(2;10)
Câu 2 (1,0 điểm)
2
a) Giải phương trình tan x +

1
−1 = 0
cos x

2
b) Giải bất phương trình log 3 ( x + 6 x + 8 ) + log 1 ( x + 2)

Câu 9 (1,0 điem). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x, y, z > 0 và ( x + y + z ) = 2( xy + 19 yz + zx)

 y3
z3 
9
x
+
+
−
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 17  2
khi x, y, z thay đổi.
2
2
2 ÷
2
2
x + y  ( x + y + z ) 4( y + z 2 )
x +z


ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
a) + Tập xác định: D = ℝ.
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
y ' = 3x 2 − 3
y'= 0
<=> x = ±1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞;–1) và (1;+∞), nghịch biến trên (1;1)
Giới hạn:

ab = 3
(a + b) − 3ab(a + b) − 3( a + b) = 16
t = 1
2
Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình: t − 4 x + 3 = 0 <=> 
t = 3
Vậy 2 điểm cần tìm là A(1;0) và B(3;20)


Câu 2
2
a) tan x +

1
− 1 = 0 (1)
cos x

Điều kiện : cos x ≠ 1 <=> x ≠

π
+ kπ . Với điều kiện đó ta có:
2

sin 2 x
1
+
−1 = 0
2
cos x cos x
sin 2 x + cos x − cos 2 x

2

x + 6x + 8 > 0
<=> x > −2.
Điều kiện: 
 x > −2
Với x> -2 ta có:
2

1
(1) <=> log 3 [( x + 2)( x + 4)] + log 3−1 ( x + 2) < log 1 7
2 32
1
<=> log 3 [( x + 2)( x + 4)] − log 3 ( x + 2) < .2.log 3 7
2
( x + 2)( x + 4)
<=> log 3
< log 3 7
x+2
<=> x + 4 < 7
<=> x < 3
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là –2 < x < 3.
Câu 3
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường:
2 x3 − x 2 = 7 x − 6
<=> 2 x 3 − x 2 − 7 x + 6 = 0
<=> ( x − 1)( x + 2)(2 x − 3) = 0

x =1



3
2

−2

1

= ∫ (2 x 3 − x 2 − 7 x + 6) dx + ∫ (−2 x 3 + x 2 + 7 x − 6)dx
3
 x 4 x3 7 x 2
1
 x 4 x3 7 x 2

= − −
+ 6x ÷ +  − + +
− 6x ÷ 2
2
2
 2 3
 −2  2 3
1
= 18 +

13 1741
=
(dvdt)
96
96


=
=
=
= 2−i
(1 + i ) 2
2i
i2
−1
Môđun của z là | z |= 22 + (−1) 2 = 5
b) Gọi x = abcd là số có bốn chữ số thỏa mãn đề bài.
x có đúng 2 chữ số chẵn nên cũng có đúng 2 chữ số lẻ.
Số cách chọn bộ 2 chữ số chẵn và bộ 2 chữ số lẻ sắp xếp thành 1 thứ tự từ tập X gồm 3 chữ số chẵn và 4 chữ
2
2
số lẻ lần lượt là A3 và A4
Có 3 cách chon vị trí của 2 chữ số chẵn trong x để chúng không đứng cạnh nhau, đó là các vị trí a và c; a và
d; b và d.
2
2
Theo quy tắc nhân, số các số x lập được là A3 . A4 .3 = 216 (số)
Câu 6


Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). Vì (SBD) ⊥ (ABCD) nên H ∈ BD.
Có HA = SA2 − SH 2 ; HD = SD 2 − SH 2 => HA = HD => ∆ AHD cân ở H.
Mà ADH=450 nên ∆ AHD vuông cân. Suy ra
AD
HA = HD =
=a
2

SK = SH 2 + HK 2 = a
Vậy cos α =
Câu 7

HK
2
=
SK
19

19
5


Không mất tổng quát giả sử M thuộc đoạn DC. Vì AEH=AFH=900 ⇒ AEHF là tứ giác nội tiếp
=>EFH=EAH=900-ACB
Chứng minh tương tự ta có DFH=900-ACB
=>DFE=DFH+EFH=1800-2ACB
Vì M là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông EBC nên ME = MC ⇒ ∆ EMC cân tại M.
Suy ra EMD=MEC+MCE=2MCE=2ACB=>EMD+EFD=1800
Suy ra EFDM là tứ giác nội tiếp ⇒ M thuộc đường tròn đi qua D, E, F.
Tọa độ M là nghiệm của hệ:
7 x + y + 15 = 0
 y = −15 − 7 x
<=>
 2
 2
2
2
 x + y − 3 x + y − 10 = 0

=
<=> x − 2 y − 5 = 0
2
1
Tọa độ D là nghiệm khác (5;0) của hệ:
x − 2 y − 5 = 0
x = 2 y + 5
<=>
 2

2
2
2
 x + y − 3 x + y − 10 = 0
(2 y + 5) + y − 3(2 y + 5) + y − 10 = 0
x = 2 y + 5
x = 2 y + 5

<=>  2
<=>   y = 0
=> D(−1; −3)
5 y + 15 y = 10
  y = −3

Câu 8
 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 + 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = 3 x + 3 y (1)
(I)
 2
2
3 9 xy + 43 x + 6(2)

(3) <=> 3( x + 3) 2 + ( x + 3) = 3(9 x 2 + 43x + 6) + 3 9 x 2 + 43 x + 6(4)
Xét f (t ) = 3t 2 + t trên R. có f '(t ) = 9t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R . Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên ℝ.


(4) <=> f ( x + 3) = f ( 3 9 x 2 + 43x + 6)
<=> x + 3 = 3 9 x 2 + 43x + 6
<=> x 3 − 16 x + 21 = 0
<=> ( x − 3)(x 2 + 3 x − 7) = 0
x = 3
<=> 
 x = −3 ± 37

2
Kết hợp với x = y ≥ 0 ta có hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (3;3), (

−3 + 37 −3 + 37
;
)
2
2

Câu 9
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số dương ta có:
3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( xy + 19 yz + zx) = 2 x( y + z ) + 38 yz
=> 3x 2 + 3( y + z ) 2 = 2 x ( y + z ) + 44 yz ≤ 2 x( y + z ) + 11( y + z ) 2
=> 3x 2 − 2 x( y + z ) − 8(y + z) 2 ≤ 0
=> x ≤ 2( y + z )
Suy ra:
y3
z3

( y + z )2
( x + z)4
( y + z)2
y2 + z2 ≥
=> ( y 2 + z 2 )2 ≥
; yz ≤
2
4
4
3
3
y
z
=> 17( 2
+ 2
)≥ y+z
2
x +z
x + y2
Vì x ≤ 2(y + z) nên
9
x
9
2( y + z )
1
1
−
≥
−
=

≥


Căn cứ bảng biến thiên có f (t) ≥ 1, ∀ t > 0. Suy ra P ≥ 1.
1 1
Dấu bằng xảy ra khi ( x; y; z ) = (2; ; )
2 2
Vậy GTNN của P là 1.