Đ3: TP HP V CC PHẫP TON TRấN TP HP
A.TểM TT Lí THUYT
1. Tp hp
Tp hp l mt khỏi nim c bn ca toỏn hc, khụng nh ngha.
Cỏch xỏc nh tp hp:
+ Lit kờ cỏc phn t: vit cỏc phn t ca tp hp trong hai du múc { }.
+ Ch ra tớnh cht c trng cho cỏc phn t ca tp hp.
Tp rng: l tp hp khụng cha phn t no, kớ hiu .
2. Tp hp con Tp hp bng nhau
A è B ( " x ẻ A ị x ẻ B)
Cỏc tớnh cht:
+ A è A, "A
+ ặè A , " A
+
A è B, B è C ị A è C
A = B ( A è B v B è A ) ( " x, x ẻ A x ẻ B)
3. Mt s tp con ca tp hp s thc
Tờn gi, ký hiu
Tp hp

Tp s thc

(-

Ơ ;+Ơ

Hỡnh biu din
|

Ă


ởa ; b)

{x ẻ Ă | aÊ x < b}

/////(

/////[

)////

/////(

]////

http://dethithpt.com Website chuyờn ti liu, thi file word mi nht
1
)///////
////////[


Na khong ( a ; bự
ỷ
{x ẻ Ă | a< x Ê b}
Na khong (- Ơ ; a]
{x ẻ Ă | x Ê a}
Na khong [a ;+Ơ )
{x ẻ Ă | x a}

4. Cỏc phộp toỏn tp hp
Giao ca hai tp hp: A ầ B {x| x ẻ A v x ẻ B}

x2 + 2
Î Zïý
Ví dụ 2: Cho tập hợp A = í x Î Z|
ïîï
ïþ
x
ï
a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử
A. A = { - 2;;0;1;2}

B. A = { - 2;- 1;0;2}

C. A = { - 2;- 1;1;2}

D. A = { - 2;- 1;0;1;2}

b) có bao nhiêu tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3.
A.16

B.12

C.15

D.10

Lời giải:
a) Ta có

x2 + 2
2

C.6

D.5

b) A Ì X Ì B
A.7

c) A È X = B với X có đúng bốn phần tử
A.7

B.8

Lời giải:
ìï x £ 4
Û
Ta có ïí
ïï x Î Z
î

ïì - 4£ x £ 4
Û x Î { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
íï
ïïî x Î Z

Suy ra B= { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
3


a) Ta có B\ A = { - 3;0;1}

}

A = x Î R| ( x2 + 7x + 6) ( x2 - 4) = 0
B = { x Î N | 2x £ 8}
C = {2x + 1| x Î Z và - 2 £ x £ 4}

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử
A. A = { - 6;- 2;- 1;2}

B. B= { 0;1;2;3;4}

C. C = { - 3;- 1;1;3;5;7;9}

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Tìm A È B, A Ç B, B\ C , CA È B ( B\ C) .
A. A È B = { - 6;- 2;- 1;0;1;2;3;4} , A Ç B = { 2}
B. B\ C = { 0;2;4}
C. CA È B ( B\ C) = { - 6;- 2;- 1;1;3}
D. Cả A, B, C đều đúng

c) Tìm ( A È C)\ B.
A. ( A È C)\ B = { - 3;- 1;5;7;9}
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
4


B. ( A È C)\ B = { - 6;- 3;- 2;- 1;5}
C. (A È C)\ B = { - 6;- 3;- 2;- 1;5;7;9}
D. (A È C)\ B = { - 6;- 3;5;7;9}

í
ïîï x £ 4

Vậy B= { 0;1;2;3;4}
ìï x Î Z
· Ta có ïí
Û x Î { - 2,- 1,0,1,2,3,4} .
ïïî - 2£ x £ 4
Suy ra C = { - 3;- 1;1;3;5;7;9}
b) Ta có: A È B = { - 6;- 2;- 1;0;1;2;3;4} , A Ç B = { 2} , B\ C = { 0;2;4}
CA È B ( B\ C) = ( A È B) \ ( B\ C) = { - 6;- 2;- 1;1;3}
c) Ta có: A È C = { - 6;- 3;- 2;- 1;1;2;3;5;7;9}
Suy ra ( A È C)\ B = { - 6;- 3;- 2;- 1;5;7;9}
2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.27: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
A = { - 4;- 3;- 2;- 1;0 ; 1; 2; 3; 4} , B= { 1 ; 3; 5; 7; 9} , C = { 0;1;4;9;16;25}
A. A = { x Î N | x £ 4}

B. B = {x Î N | x là số lẻ nhỏ hơn 10},

C. C = {n2 | n là số tự nhiên nhỏ hơn 6}

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:
Bài 1.27: Ta có các tập hợp A , B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
5




XÌ

{ 1;2;3;4;5} .

B.7

C.6

D.5

Lời giải:
Bài 1.28: a)

A Ì B, A Ì C , D Ì C .

b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5},
{1;2;3;4;5}.

ïì
ïü
14
Î Zïý
Bài 1.29: Cho tập hợp A = ïí x Î ¡ |
ïîï
ïïþ
3 x +6
a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử
ïì 1 64ïü
A. A = ïí ; ïý


x ³ 0 suy ra 0

Tìm số tập hợp X sao cho
a) X Ì B\ A
A.8

B.7

C.6

D.5

C.2

D.1

b) A \ B = X Ç A với X có đúng hai phần tử
A.4

B.3

Lời giải:
Bài 1.30:: Ta có A = { - 2;- 1;1;2} và B= { 0;1;2;3;4}
a) Ta có A \ B= { 0;3;4}
Suy ra X Ì A \ B thì các tập hợp X là
Æ, { 0} ,{ 3} , { 4} , { 0;3} , { 0;4} , { 3;4} , { 0;3;4}
b) Ta có A \ B= { - 2;- 1} với X có đúng hai phần tử khi đó X = { - 2;- 1} .
Bài 1.31: Cho tập A = { - 1;1;5;8} , B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"
a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử.

{

b) khẳng định nào sau đây là đúng nhất? CE A ; CE B ; CE (A È B)
A. CE A = E \ A = { 1;2;4;5}
B. CE B = E\ B = { 1;4;6}
C. CE ( A È B) = E\ ( A È B) = { 1;4}
D.Cả A, B, C đều đúng
c) Chứng minh rằng :

E\ (A Ç B) = ( E\ A ) È ( E\ B)
Lời giải:

Bài 1.32: a) Ta có E = { 1;2;3;4;5;6} A = { 3;6} và B= { 2;3;5}
Suy ra A Ì E và B Ì E
b) Ta có CE A = E\ A = { 1;2;4;5} ; CE B = E\ B = { 1;4;6}
A È B = { 2;3;5; 6} Þ CE ( A È B) = E\ ( A È B) = { 1; 4}
c) Ta có A Ç B = { 3} Þ CE (A Ç B) = E\ ( A Ç B) = { 1;2;4; 5;6}
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
8


E\ A = { 1;2;4;5} ; E\ B = { 1;4;6} Þ ( E\ A ) È ( E\ B) = { 1;2;4;5;6}
Suy ra E\ (A Ç B) = ( E\ A ) È ( E\ B) .
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN .
1. Phương pháp giải.
· Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp
· Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp
· Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương
trình) từ đó tìm được kết quả bài toán
Trong dạng toán này ta kí hiệu n( X ) là số phần tử của tập X .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có


C.25

D.30

Lời giải:
Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán;
x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán
y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
9


z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử
Ta có số em thích ít nhất một môn là 45- 6 = 39
Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình
ïìï a+ x + z + 5 = 25
(1)
ïï
(2)
ï b+ y + z + 5 = 18
í
ïï c+ x + y + 5 = 20
(3)
ïï
ïïî x + y + z + a+ b+ c+ 5= 39 (4)
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có
a+ b+ c+ 2( x + y + z) + 15= 63 (5)
Từ (4) và (5) ta có
a+ b+ c+ 2( 39- 5- a- b- c) + 15 = 63

n( T I L) = 9, n( L I H ) = 6, n( H I T ) = 8 và
a) Xét tổng n(T Ç L) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) thì mỗi phần tử của
tập hợp T Ç L Ç H được tính ba lần do đó ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
10


n(T Ç L) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - 3n( T Ç L Ç H ) = n( B)
1
ù= 4Suy ra có 4 học sinh giỏi cả ba
Hay n( T Ç L Ç H ) = é
ên(T Ç L) + n(L Ç H ) + n(H Ç T )- n( B) û
ú
3ë
môn Toán, Lý, Hóa.
b) Xét n( T I L) + n( L I T ) thì mỗi phần tử của tập hợp T Ç L Ç H được tính hai lần do đó
số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là
n( T ) - é
n T I L) + n( H I T ) - n( T Ç L Ç H ) ù
= 16- ( 9+ 8- 4) = 3
ê
ú
ë(
û
Tương tự ta có
Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý
n( L) - é
n T I L) + n( L I H ) - n( T Ç L Ç H ) ù
= 15- ( 9+ 6- 4) = 4
ê


http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
11


Xét tổng n( A ) + n( B) + n( C) : trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao
A được tính làm hai lần nên trong tổng n( A ) + n( B) + n( C) ta phải trừ đi tổng
n( A Ç B) + n(B Ç C) + n(C Ç A ) .
Trong tổng n( A ) + n( B) + n( C) được tính n( A Ç B Ç C) 3 lần, trong
n( A Ç B) + n(B Ç C) + n(C Ç A )
cũng được tính n( A Ç B Ç C) 3 lần. Vì vậy
n( A È B È C) = n( A ) + n( B) + n( C) - n(A Ç B)- n(B Ç C)- n(C Ç A ) + n( A Ç B Ç C)
= 10+ 8+ 6- (5+ 4+ 3) + 1= 13
Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày.
Nhận xét: Với A , B,C là các tập bất kì khi đó ta luôn có
· n( A È B) = n( A ) + n( B) - n( A Ç B)
· n( A È B È C) = n( A ) + n( B) + n( C) - n(A Ç B)- n(B Ç C )- n(C Ç A ) + n( A Ç B Ç C)
2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ môn : Anh , Toán , Văn . Có 8 em giỏi Văn ,
10 em giỏi Anh , 12 em giỏi Toán , 3 em giỏi Văn và Toán , 4 em giỏi Toán và Anh , 5
em giỏi Văn và Anh , 2 em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ?
A.20

B.25

C.10

D.15

Lời giải:

Þ n( V Ç A Ç T ) = n(V È A È T ) - n( V ) - n( A ) - n( T ) + n(V Ç A ) + n( A Ç T ) + n(T Ç V )
40- 22- 25- 20+ 8+ 7 + 6 = 14 .
Vậy có 14 em học giỏi cả ba môn
Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt
danh hiệu xuất sắc như sau: Về môn Toán: 48 thí sinh; Về môn Vật lý: 37 thí sinh; Về
môn Văn: 42 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh; Về môn Toán hoặc
môn Văn: 76 thí sinh; Về môn Vật lý hoặc môn Văn: 66 thí sinh; Về cả 3 môn: 4 thí
sinh. Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:
a) Một môn?
A.65

B.56

C.20

D.21

B.45

C.21

D.20

b) Hai môn?
A.25

c) ít nhất một môn?
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
13


ỡù a = 28
ùù
ùù b = 18
ùù
ùù c = 19
ớ
ùù x = 6
ùù
ùù y = 9
ùù
ùợ z = 10

S: a) 65 thớ sinh t danh hiu xut sc 1 mụn
b) 25 thớ sinh t danh hiu xut sc 2 mụn
c) 94 thớ sinh t danh hiu xut sc ớt nht 1 mụn.
DNG TON 3: CHNG MINH TP HP BNG NHAU, TP HP CON.
1. Phng phỏp gii.
ã chng minh A è B
Ly " x, x ẻ A ta i chng minh x ẻ B
ã chng minh A = B ta i chng minh
+ A è B v B è A hoc " x, x ẻ A x ẻ B
2.Cỏc vớ d minh ha.
ùỡ p
ùỹ
ùỡ 2p
ùỹ
+ kp, k ẻ Zùý v
Vớ d 1: Cho cỏc tp hp A = ùớ + kp, k ẻ Zùý , B = ùớ ùợù 3
ùùỵ
ùợù 3

2p
+ k0p suy ra
3

2p
p
+ p +( k0 - 1) p = +( k0 - 1) p .
3
3

Vỡ k0 ẻ Z ị k0 - 1ẻ Z do ú x ẻ A suy ra B è A (2).
T (1) v (2) suy ra A = B .
b) Ta cú " x ẻ A ị $k0 ẻ Z : x =

p
+ k0p suy ra
3

2( k0 +1) p
p
2p 2( k0 + 1) p
.
x= - p+
=+
3
2
3
2
Vỡ k0 ẻ Z ị 2( k0 + 1) ẻ Z do ú x ẻ C
Suy ra A è C .

a) A Ç ( B È C) = ( A Ç B) È ( A Ç C)
b) A È ( B Ç C) = ( A È B) Ç ( A È C)
c) A Ç ( B\ C) = ( A Ç B) \ C
Lời giải:
ïì x Î A
Û
a) Ta có x Î A Ç ( B È C) Û ïí
ïîï x Î B È C
éìï x Î
êïí
êï x Î
ïî
Û ê
êì
êïï x Î
êí
ï
ê
ëïî x Î

ìï x Î A
ï
ïíï éx Î B
ïï ê
ïïî ê
ëx Î C

A
B



A
B

ìï x Î A È B
Û ïí
Û x Î ( A È B) Ç ( A È C)
A ïïî x Î A È C
C

Suy ra A È ( B Ç C) = ( A È B) Ç ( A È C)
ïì x Î A
Û
c) Ta có x Î A Ç ( B\ C) Û ïí
ïîï x Î B\ C

ïìï x Î A
ïíï x Î B
ïï
ïïî x Ï C

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
16


ùỡ x ẻ A ầ B
ùớ
x ẻ ( A ầ B) \ C
ùùợ x ẽ C
Suy ra A ầ ( B\ C) = ( A ầ B) \ C


Bi 1.39: Cho cỏc tp hp A , B v C . Chng minh rng
a) ( A \ B) ẩ ( B\ A ) = ( A ẩ B) \ ( A ầ B)
b) A \ ( B ầ C) = ( A \ B) ẩ ( A \ C)
c) A \ ( B ẩ C) = ( A \ B) ầ ( A \ C)
Li gii:
ộx ẻ A
ộxM4
ờ xM
12 x ẻ C
Bi 1.36 ã " x ẻ A ẩ B ờ
ờx ẻ B ờxM6
ở
ở
Suy ra A ẩ B = C do ú A è C v B è C .
ã Ta cú x = 4M4 ị x ẻ A nhng 4M6 ị x = 4ẽ B do ú A ậ B

http://dethithpt.com Website chuyờn ti liu, thi file word mi nht
17

c) CB A ẩ A = B


Bi 1.37: a) ã Ta cú " x ẻ A ị $k0 ẻ Z : x =x =-

p
+ k0 2p suy ra
6

p

p p p
p ( 4k0 - 1) p
.
+ - + k0 2p = +
6 2 2
3
2

Vỡ k0 ẻ Z ị 4k0 - 1ẻ Z do ú x ẻ C
Suy ra A è C .
ộx ẻ A
Bi 1.38: a) Ta cú " x, x ẻ A ẩ C ờ
ờx ẻ C
ở
Vi x ẻ A vỡ A è B ị x ẻ B ị x ẻ B ẩ D
Suy ra A ẩ C è B ẩ D .
ùỡ x ẻ A
ị xẻ A
b) Ta cú " x, x ẻ A ầ C ùớ
ùùợ x ẻ C
Vỡ A è B ị x ẻ B
Suy ra A ầ C è B .
ộx ẻ CB A

c) " x, x ẻ CB A ẩ A ờ
ờ xẻ A
ở

ộùỡ x ẻ B
ờùớ


- Tô đậm các tập A , B trên trục số
- Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp A , B
· Để tìm A \ B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A , B lên trục số
- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc
tập B trên trục số
- Phần không bị gạch bỏ chính là A \ B .
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các tập hợp:
A = { x Î R| x < 3}

B = { x Î R|1< x £ 5}

C = { x Î R| - 2 £ x £ 4}

a) Hãy viết lại các tập hợp A , B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
A. A = ( - ¥ ;3ù
û

B = ( 1;5ù
û

ù
C=é
ë- 2;4û

B. A = ( - ¥ ;3)

B= é


C. ( 3;5)

ù
D. é
ë1;5û

c) Tìm ( B È C) \ ( A Ç C)
ù
A. é
ë3;5û

ù
B. é
ë3;4û

Lời giải:
a) Ta có:

A = ( - ¥ ;3)

B = ( 1;5ù
û

b) · Biểu diễn trên trục số

(

ù
C =é

ự
Suy ra ta cú ( B ẩ C) \ ( A ầ C) = ộ
ở3;5ỷ
Nhn xột: Vic biu din trờn trc s tỡm cỏc phộp toỏn tp hp ta lm trờn giy
nhỏp v trỡnh by kt qu vo.
Vớ d 2: Xỏc nh cỏc tp s sau?
ộ
a) ( - 4;2ự
ỷầ ở0;4)
ự
A. ộ
ở0;2ỷ

B. ( - 4;4)

C. ộ
ở2;4)

D. ộ
ở- 4;4)

B. ( 0;4)

ự
C. ộ
ở3;4ỷ

D. ộ
ở0;1)


ỷẩ ở3;+Ơ

C. ( 1;3)

)
ự
D. ộ
ở1;3ỷ

Li gii:
/ / / / /[

]/ / / / / /

http://dethithpt.com Website chuyờn ti liu, thi file word mi nht
21


é
é ù
a) Ta có ( - 4;2ù
ûÇ ë0;4) = ë0;2û
Biểu diễn tập đó trên trục số là
b) Ta có

( 0;3) È éë1;4ùû= ( 0;4ùû

////(

]/ / / / / /

1
2

B. m
-

3
2

B. m£ -

3
2

C. m³ -

d) C¡ A Ç B ¹ Æ
A. m>-

3
2

B. m£ -

3
2

C. m³ -

3
2

D. m
1
2

1
là giá trị cần tìm.
2

d) Ta có C¡ A = é
ëm;+¥
Vậy m³ -

)

suy ra C¡ A Ç B ¹ ÆÛ m£ 3m+ 3 Û m³ -

3
2

3
là giá trị cần tìm.
2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.40: Xác định các tập hợp A È B, A \ C , A Ç B Ç C và biểu diễn trên trục số các
tập hợp tìm được biết:
a) A = { x Î R - 1£ x £ 3} , B = { x Î R x ³ 1} , C = ( - ¥ ;1)
A. A È B = é
ë- 1;+¥

)

)

é ù
A È B= é
ë- 1;+¥ ) , A \ C = ë1;3û, A Ç B Ç C = f
ù
é
b) Có A = é
ë- 2;2û và B = ë3;+¥

)

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
23


ù é
é ù
A È B= é
ë- 2;2ûÈ ë3;+¥ ) , A \ C = ë0;2û, A Ç B Ç C = f
Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4].
a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử
A. A = [- 1; 2) = {x - 1£ x < 2}
B. B = (- 3; 1) = {x - 3< x < 1}
C. C = (1; 4] = {x 1< x £ 4}
D.Cả A, B, C đều đúng
b) Xác định các phép toán A Ç B, B È C , A \ B .
A. A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 2; 4)\ {1}, A \ B = [1; 2)
B. A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 3; 4)\ {1}, A \ B = [1; 3)
C. A Ç B = [ - 2;1), B È C = (- 3; 4)\ {1}, A \ B = [1; 2)


Tìm A Ç B, A È C , B\ C ?
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word mới nhất
24


A. A ầ B = ộ
ở- 1;2) ẩ ( 2;5)

AẩC =ộ
ở- 1;+Ơ

)

B\ C = ( - 2;0) ẩ ( 1;2)

B. A ầ B = ộ
ở- 1;0) ẩ ( 1;5)

AẩC =ộ
ở- 2;+Ơ

)

B\ C = ( - 3;0) ẩ ( 1;2)

C. A ầ B = ộ
ở- 1;2) ẩ ( 1;5)

AẩC =ộ

2

D. m>

- 3
2

Li gii:
Bi 1.43: a) A ầ B = ộ
ở- 1;0) ẩ ( 1;5)
b) A ẩ B = R 2m+ 1
ùùợ x < 0
ỡù x Ê 3
ùù
Cú ùớ x + 1 0
ùù
ùùợ x < 0

ỡù x Ê 3
ùù
ùớ x - 1
ùù
ùợù x < 0

ỡù x ẻ (- Ơ ; 3]
ùù
ùớ x ẻ [ - 1; +Ơ ) (biu din trờn trc s)
ùù
ùợù x ẻ (- Ơ ; 0)

http://dethithpt.com Website chuyờn ti liu, thi file word mi nht
25