Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng
cao. Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi
và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số
đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học
nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các
bài toán này rất phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi
giải toán trên máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng Việt và đề thi giải
toán bằng tiếng Anh qua mạng internet. Việc bồi dưỡng học sinh học Toán không
đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài
tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết phân chia theo từng kiểu loại
bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời rèn luyện cho
học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến
thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tôi
nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán có chứa dấu giá
trị tuyệt đối và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh
còn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ,
chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững quy tắc xét
dấu của nhị thức bậc nhất, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải
đối với từng dạng bài tập. Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạng bài
tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em có thể vận dụng linh
hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng
dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo. Từ đó rèn luyện cho
học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một vài kinh nghiệm
bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” với
mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồi dưỡng

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán có chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã
Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk.
Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017
- 2018
5. Phương pháp nghiên cứu
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu
trên mạng internet, các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp qua các năm.
- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho
từng thể loại bài tập.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk qua các
năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
c) Phương pháp thống kê toán học:
- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài.
- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

2


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương
pháp giải chung cho từng dạng. Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài
nghiên cứu “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng
vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa
học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
a) Mục tiêu của giải pháp
Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có
chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

3


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho
học sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng toán có
chứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra
phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy
linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán có tính
tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
b.1. Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị
tuyệt đối
* Phương pháp giải
Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét các
trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trường
hợp.

1

-1

O

1

x

-2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

4


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

y  2 x 1
+ Với x < 0 thì y = -2x - 1
+ Với x  0 thì y = 2x - 1
Đồ thị của hàm số là đường gấp
khúc mAn như trên hình vẽ

y

m

n

1

-1

-2

y

4

m
n
2

1
A
O

-1

x

1
-1

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số y  2  x  1
Giải
y  2  x 1

-2

-2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

5


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số y  2x  1  2x
Giải
y  2x  1  2x

y

1
thì y = 1
2
1
+ Với x  thì y = 4x - 1
2

+ Với x

0
1
x
0
+
+
1-x
+
+
0
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng
giá trị của biến cụ thể như sau:
y
y  x  1 x
+ Với x < 0 thì y = -x + (1 - x) hay
m
n
4
y = -2x + 1
+ Với 0  x  1 thì y = x + (1 - x)
hay y = 1
+ Với x > 1 thì y = x + (x - 1) hay
2
y = 2x - 1
1
Đồ thị của hàm số là đường gấp
B
A
khúc mABn như trên hình vẽ
O

+
x-3
0
+
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng
giá trị của biến cụ thể như sau:
y
y  x 2  x 3
6

+ Với x < 2 thì y = (2 – x) + (3 - x)
hay y = -2x + 5
+Với 2  x  3 thì y = (x – 2)+(3 - x)
hay y = 1
+ Với x > 3 thì y = (x – 2)+(x - 3)
hay y = 2x - 5
Đồ thị của hàm số là đường gấp
khúc mABn như trên hình vẽ

m

n
5

4

2

1



b
a

- Nắm vững định nghĩa và tính chất về giá trị tuyệt đối.
A khi A  0
| A | 
A khi A  0

|A| = |-A|
|A|  0|
- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

7


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Nhị thức bậc nhất ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái
dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ
bản của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời nắm vững phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập, cụ thể như sau:
Dạng 1. Phương trình dạng A(x)  k
Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k  R.
Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm.
Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt
đối rồi giải phương trình vừa tìm được.

học? Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9 - 2x |= 11
Giải

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

8


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

3|9 - 2x| - 17 = 16  3|9 - 2x| = 33  |9 - 2x| = 11
9  2x  11
2x  2  x  1



9  2x  11 2x  20
 x  10

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1;10
Ví dụ 4. Giải phương trình

x 1
-2=0
x

Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x  0.
x 1
x  1

 x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   ;1
1
 3 

Dạng 2. Phương trình dạng |A(x)| = B(x)
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thức
không xảy ra Nếu B(x) < 0. Do đó để đẳng thức luôn xảy ra cần phải đặt điều kiện:
B(x)  0
* Phương pháp giải
Cách 1: Đặt điều kiện: B(x)  0. Từ đó suy ra điều kiện của x
A(x)  B(x)

Ta có |A(x)| = B(x)  
A(x)  B(x)
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x), sau đó
đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) 0)
+ Xét A(x) < 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình |9 - 7x| = 5x -3
Giải


Ví dụ 2. Giải phương trình |x- 5| - x = 3
Giải
Cách 1: | x – 5| - x = 3  |x – 5| = 3 + x
Điều kiện: 3 + x  0  x  - 3
Ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3 + x)
+ Nếu x – 5 = 3 + x  0x = 8( loại)
+ Nếu x – 5 = -3 – x  2x = 2  x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Với x - 50 hay x 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3  0x = 8 (loại)
Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3  -2x = -2
 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giống
nhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợp đặc
biệt của dạng 2. Thông qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp
giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng A = B. Nếu
B  0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), còn B

2

1
B

-1

-5

O
-1

y = -x - 5

1

1

2

3

5

x

2

-2

Ví dụ 1, Giải phương trình x  3,5  4,5  x = 0
Giải
 x  3,5  0
4,5  x  0

x  3,5  4,5  x = 0  

 x  3,5
(Điều này không đồng thời xãy ra)

 x  4,5

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2  3x   x  1 x  3  0
Giải.
 2
x 2  3x   x  1 x  3  0   x  3x  0
( x 1)( x  3)  0
 x  0

 x  3

x( x  3)  0



 x3

x



Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
x  1


x  4
 x  1 x  4   0

 
 x 1


x  1
 x  1 x  3  0
  x  3


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
b) 2x 1  x  2  0
1

2x 1  0
x 


2 (Điều này không đồng thời xảy ra)
x  2  0
 x  2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.


+
+

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến. Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A (x) = 0
mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2  x
0

3
+
+
+

0

+
+
-

Với x < -1 thì ta có phương trình: -x - 1 + 2 – x + x - 3 = 2010
 x = -2012 (thỏa mãn)
Với 1  x  2 thì ta có phương trình: x + 1 + 2 – x + x - 3 = 2010
 x = 2010 (loại)
Với 2  x  3 thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 + x - 3 = 2010
 x =

2014
(loại)
3

Với x  3 thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 - x + 3 = 2010
 x = 2008 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2012; 2008
Dạng 5. Phương trình dạng A(x)  B(x)  C  x 

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

Dạng 6. Phương trình dạng A(x)  B(x) hay A(x)  B(x)  0
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai
vế đều không âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối
bằng nhau” để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) = -B(x)
* Phương pháp giải
A(x)  B(x)

Ta có |A(x)| = |B(x)|  
A(x)  B(x)
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x) rồi kết
luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 2x  3  x  3
Giải
2x  3  x  3
2x  x  3  3 x  6
2x  3  x  3  


2x  3  x  3 2x  x  3  3
x  0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  6;0
Ví dụ 2. Giải phương trình 17x  5  17x  5  0
Giải

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

15


4 x  3x  4  18
x  2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2; 22
Cách 2:
Vì 2 > 0 nên: 2 2 x  9  3x  4  2(2 x  9)  3x  4
2(2 x  9)  3x  4
4 x  14  3x  4


2(2 x  9)  (3x  4)
4 x  18  3x  4
4 x  3x  4  18
 x  22


4 x  3x  4  18
x  2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2; 22
b.3. Loại bài tập giải phương trình vô tỉ đưa được về phương trình có
chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Phương pháp giải
Khi gặp phương trình vô tỉ mà biểu thức lấy căn có thể viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A 2  A để làm mất
dấu căn đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải




2





x  2 3



2

 11 

x  2  2  x  2  3  11

Đặt x  2  y  y  0  phương trình trở thành y  2  y  3  11
y
2
3
y-2
0
+
+
y–3
0
+
Với 0  y  2 thì ta có phương trình: 2 - y + 3 - y = 11  -2y = 6

2x  5  3



2

 14 

2x  5  1  2x  5  3  14

 2x  5  1  2x  5  3  14  2 2x  5  10  2x  5  5  2x  5  25

 2x  30  x  15 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  15
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

17


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 4. Giải phương trình: x  2 x  1  x  2 x  1  2
Giải
Điều kiện: x  1
x  2 x 1  x  2 x 1  2  x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1  2






 1  x  2 thì ta có phương trình:
x  1
x  1

Nếu x 1 1  0 tức là 
x 1  1  1  x 1  2

 0x  0 (phương trình nghiệm đúng với mọi x  R /1  x  2 )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  x  R /1  x  2
* Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau:
a) 2x  2  2 2x  3  2x  13  8 2x  2  7

(Đáp số: x = 2)

b) x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1

(Đáp số: 5  x  10 )

c) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2  1
c) x  2x  1  x  2x  1  2
b.4. Loại bài tập giải hệ phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối
* Phương pháp giải
Khi giải hệ phương trình có chưa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng
phương pháp thế, đưa hệ phương trình về hệ phương trình mà trong đó có phương
trình một ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt
đối.

9
Thay x   vào phương trình (2’) ta được y  1  2     y 
5
5
 5
1
Với 0  x  thì ta có phương trình: 1 – 3x + 2x = 3  -x = 2
3
 x  2 (loại)
1
Với x  thì ta có phương trình: 3x – 1 + 2x = 3  5x = 4
3
4
 x  (thỏa mãn)
5
4
3
4
Thay x  vào phương trình (2’) ta được y  1  2.  y  
5
5
5
2 9
4 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:   ;  và  ;  
 5 5
 5 5
 x  2  y3  8
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 




Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  4;1 ,  8;1
y  2 x  3  0
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
 y  x  3  0

Giải
Với x  0, y  0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3  0 2x  y  3 3x  6
x  2
(thỏa mãn)




y  x  3  0
x  y  3
x  y  3  y  1
Với x  0, y  0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3  0
2x  y  3 x  0
x  0
(thỏa mãn)





(thỏa mãn)




y  x  3  0
x  y  3
x  y  3  y  9
Với x  0, y  0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3  0
2x  y  3 3x  0
x  0
(loại)





y

x

3

0
x

y

3


Từ phương trình (1) ta có 20  y 2  0  y 2  20  y  2 5 (3)
Vì 5  x 2  0 với mọi x  R nên từ (2) suy ra xy > 0  xy  x . y
Do đó (2)  5  x 2  x . y (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5  x 2  x .2 5  x 2  2 x 5  5  0   x  5   0
 x  5 0 x  5 x 5

*x  5  y  2 5
*x   5  y  2 5

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:





5; 2 5 ,  5;  2 5



b.5. Loại bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

20


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.


Vậy AMin = 3 khi 2  x  5
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  x  1  x  1
Giải
Với mọi x  R, ta có: B  x  1  x  1  x  1  1  x  x  1  1  x  2
Do đó B  2
Dấu “=” xảy ra  (x + 1) (1 – x)  0
Lập bảng xét dấu:
-1
1
x
0
+
+
x 1
+
+
0
1 x
 x  11  x 
0
+
0
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x)  0  -1  x  1
Vậy BMin = 2 khi -1  x  1
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C  3x  5  3x  7
Giải
Với mọi x  R, ta có:
C  3x  5  3x  7   3x  5   3x  7   3x  5  3x  7  12
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk


+
0
0

+
+

5

x   3
Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7)  0  
x  7

3
5
7
Vậy CMax = 12 khi x   hoặc x 
3
3
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D  x  1  2x  5  3x  18

Giải
Với mọi x  R, ta có: D  x  1  2x  5  18  3x  x  1  2x  5  18  3x  24
Do đó D  24.
Dấu “=” xảy ra  x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu
Lập bảng xét dấu:
x




trình vô tỉ đưa được về phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, giải hệ
phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, … Để thực hiện có hiệu quả
các giải pháp, biện pháp như đã nêu trong đề tài này, trước hết học sinh phải nắm
thật chắc một số vấn đề lý thuyết có liên quan đến từng loại bài tập, đồng thời phải
biết phân biệt từng kiểu loại bài tập trong các tình huống cụ thể. Đề tài “Kinh
nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối”
là những kinh nghiệm được tích lũy qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi khối
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

22


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

lớp 9. Khi áp dụng các giải pháp, biện pháp trong đề tài nên thực hiện theo thứ tự
như đã trình bày trong đề tài để đảm bảo tính thống nhất và logic của các dạng
toán. Đề tài này không chỉ áp dụng cho học sinh khối lớp 9 mà còn có thể áp dụng
cho học sinh khối lớp 8. Chẳng hạn như loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối có thể áp dụng để bồi dưỡng cho học sinh lớp 8. Hơn
nữa, nếu ta thay việc giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối bằng
những bài toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối thì đề tài này sẽ áp dụng được cho
học sinh lớp 7. Nói tóm lại, các biện pháp và giải pháp trên đều có mối quan hệ
thống nhất với nhau, do vậy cần được phối kết hợp sử dụng thì mới nâng cao được
chất lượng hiệu quả công tác giảng dạy cho học sinh.
d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu, phạm
vi và hiệu quả ứng dụng
Trong những năm qua, tôi đã vận dụng đề tài này vào việc bồi dưỡng học
sinh giỏi tại trường THCS Lê Đình Chinh với kết quả đạt được như sau:
* Năm học 2014 – 2015:
- Học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán 9: Đạt 1 giải khuyến khích (Em

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một
số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất
có hiệu quả, học sinh có sự hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, học sinh
nắm chắc kiến thức cũ hơn, biết sử dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức; các kĩ
năng giải toán đã học vào từng dạng bài tập cụ thể. Đề tài này là một trong những
chuyên đề không thể thiếu trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp môn
Toán khối 9. Tuy nhiên, với những loại bài tập đưa ra trong đề tài này chưa phải là
đầy đủ. Tôi hy vọng rằng trong những đề tài lần sau tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu
hơn về vấn đề này.
2. Kiến nghị
* Đối với giáo viên
Tận tâm hơn nữa với nghề dạy học, tìm tòi các phương pháp để truyền thụ
kiến thức đến học sinh đạt hiệu quả hơn, thường xuyên quan tâm đến chất lượng
học tập của học sinh, trân trọng những thành quả đạt được của học sinh dù là nhỏ
nhất.
Luôn tìm tòi, sáng tạo trong dạy học, tận dụng mọi cơ hội tiếp xúc với học
sinh, lắng nghe học sinh nói để tìm ra những phương pháp dạy mới phù hợp với
đối tượng học sinh từ đó nâng cao chất lượng.
* Đối với nhà trường
Tổ chức triển khai các sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo
viên có thể áp dụng các đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy.
* Đối với phòng giáo dục
Thường xuyên tổ chức triển khai các chuyên đề về nâng cao chất lượng đại
trà và chất lượng mũi nhọn để giáo viên có điều kiện được nghiên cứu, trao đổi học
hỏi lẫn nhau, cùng đồng nghiệp tìm ra các giải pháp, biện pháp hay trong hoạt
động dạy và học.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng tôi chắc chắn rằng việc trình bày đề tài này sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây

25