A. TRỌNG TÂM
Cực trị của hàm số.
1). Định lí 1. Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc

K \  x0  (h  0) .

a) f ( x )  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CĐ của f ( x ) .
b) f ( x )  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CT của f ( x ) .
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Qui tắc 1:Tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ( x )  0 hoặc f ( x ) không xác định.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.
2). Định lí 2. Giả sử y  f ( x) có đạo hàm cấp 2 trong ( x0  h; x0  h) h  0 .
a) Nếu f ( x0 )  0, f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f ( x0 )  0, f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại.
Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ( x ) . Giải phương trình f ( x )  0 và kí hiệu xi là nghiệm
 Tìm f ( x) và tính f ( xi ) .
 Dựa vào dấu của f ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi .
3). Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho trước.
Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Phương pháp:
 Tìm tập xác định D của hàm số


1
Bài 4. Cho hàm số y   x3  x 2  x  4 . Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
3
2 3
2
x  mx 2  2(3m 2 1) x  có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho
3
3
x1 x2  2( x1  x2 )  1 (ĐH KD-2012)

Bài 5. Tìm m để hàm số: y 

1
Bài 6. Tìm m để hàm số: y  x3  (2m 1) x 2  (1 4m) x  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho
3
3x1  x2  4
Bài 7. Tìm m để hàm số: y  2 x3  9mx 2  12m 2 x  1 có hai điểm cực đại cực tiểusao cho x 2CD  xCT
(Chuyên SP).
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Bài 8. Tìm m để hàm số: y  x 3  (1 2m) x 2  (2  m) x  m  2 có hai điểm cực đại, cực tiểusao cho
hoành độ cực tiểu bé hơn 1.( THPT Cẩm Bình)
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số: y  2 x3  3( m  3) x 2  11  3m có hai điểm cực trị A, B sao cho ba
điểm A, B, C(0;-1) thẳng hàng
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x 3  3mx 2  3(m 2 1) x  m3  m có hai điểm cực đại, cực tiểu
A, B sao cho hai điểm A, B cùng với điểm I(1;1) tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng



(THPT AMSTERDAM HÀ NỘI). Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
điểm cực trị?

Câu 2:

A. m

0

B. m

C. m   \ {0}

0

y  mx 4  m3 x 2  2016

có 3

D. Không tồn tại giá trị của m

y   x3  (2m  1) x 2   m 2  1 x  5. Với giá trị nào của tham số m thì

(THPT AMSTERDAM HÀ NỘI) Cho hàm số

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?
A. m
Câu 3:



y  f ( x)   m  1 x 4   3  2m  x 2  1 . Hàm số f ( x ) có đúng một

cực đại khi và chỉ khi:
A.

Câu 5:

m  1

B. 1  m 

3
2

C. m 

3
2

D. m 

3
.
2

(THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG) Hàm số y  x  3 x  mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi :
3

A.


Câu 7:

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y 
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
A. m  1
B. m  0

x  2 là:

1 3
x   m  1 x 2   m 2  2m  x  1 ( m là tham số). Giá trị của
3

C.

m2

D.

m3

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Câu 8:

(SỞ GD BÌNH ĐỊNH) Để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = (m+2)x3 +3x2 + mx - 5 có hoành độ dương
thì giá trị của m là :
A. 3  m  2 .


Cho hàm số

B. m  3

x 2  mx  1
đạt cực đại tại x  2. A. 1 B. 3
xm

Cho hàm số

B. m 

A. m  2

1
2

 C  song song với đường thẳng d ?
D. m 

C. m  1

(THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA) Số cực trị của hàm số y  x  x là
A. Hàm số không có cực trị
B. Có 3 cực trị
C. Có 1 cực trị
D.Có 2 cực trị

Câu 14:


(HẬU LỘC 1 – THANH HÓA) Tìm

m

để hàm số y 

B. m  2 .

1 3
x   m  1 x 2   m 2  3m  2  x  5 đạt cực đại tại x  0 .
3
C. m  1 .
D. m  1 hoặc m  2 .

(HẬU LỘC 1 – THANH HÓA) Đồ thị hàm số y   x  2 mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều khi
4

A. m  0 hoặc
Câu 18:

2

(THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA) Tìm tất cả các giá trị của

A. m  6 .
Câu 17:

A. m 


thẳng đi qua hai điểm cực trị là
A. m   , y  2 x  m B. m   , y  2 x  m C. m  1, y  2 x  m
Câu 12:

C. m  5

m  27 .

B. m  0 hoặc m 

2

3

C. m 

3.

3

3.

D. m  0 .

(THPT HÒA BÌNH – BÌNH ĐỊNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y   x  3mx  1 có
3

OAB tạo thành tam giác vuông tại O , O là gốc tọa độ.
1
B. m  0 .


1
4

D.

m

1
4

5

(THPT LỤC NGẠN – BẮC GIANG) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y   x  2 mx  1 có
4

điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ

O.

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

2

3


A. m 

1  5

A  0;1 , B , C thỏa mn BC  4 ? A. m  4 . B. m  2 .

Giá trị của m để
Câu 23:

m

(THPT LÝ TỰ TRỌNG – BÌNH ĐỊNH) Giá trị của tham số
điểm cực trị

Câu 22:

1  5
.
2

m

1  5
.
2

B. m  1 hoặc

x


3

A.Không tồn tại giá trị

D. m 

3, m  1.

2 3
x  ( m  1) x 2  ( m 2  4 m  3) x  m có cực trị là
3

x1 , x2 .Giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x1 x2  4( x1  x2 ) bằng:

A.0.

B.8.

C.9.

D.  .

Câu 25:

(THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y  x  3 x  m . (m là tham số). Với giá trị nào của m thì đồ
thị hàm số hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành ?
A. m  4 .
B. 0  m  4 .
C. m  4 .
D. m  0; m  4 .

Câu 26:

(THPT NGUYỄN DIỆU – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số

tham số m thì hàm số có hai cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị qua
A. m  1
Câu 28:

B. m  3

C. m  0

A. m  0

(THPT TRẦN QUANG DIỆU – BÌNH ĐỊNH) Hàm số
mãn

x12  x22  2 khi:



A. m   7; 1 .
Câu 30:

D.

m  3

(THPT TUY PHƯỚC – BÌNH ĐỊNH) Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân:

Câu 29:

M  0; 3

1  2 5 16
.
3

B.

2 5 16
.
3

D. m  1

C.

2 5 16  1
.
3

D.

2 3 16  1
.
3

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Câu 31:

(THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC) Cho hàm số y  mx   2m  1 x  1 . Tìm tất cả các giá trị của

1
2

D. m  

y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  a; b  và x0   a; b  . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

f   x0   0 và f   x0   0 .

A. Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm x0 thì
B. Nếu

f   x0   0 và f   x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì
D.Nếu
Câu 33:

f   x0   0 và f   x0   0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

(THPT NINH GIANG – HẢI DƯƠNG) Tìm các giá trị của tham số
có một cực đại và không có cực tiểu

m  0
A. 
1.
m 


4

m

O tạo thành một tứ giác nội tiếp được?
B. m  1 .
C. m  1 .

2

2

đồng thời ba điểm này cùng với gốc
A. m 
Câu 35:

3

3.

(THPT HÀ HUY TẬP – HÀ TĨNH) Tìm các giá trị của
A. 2  m  1 .

tiểu?

B. m  2 .

m

1

Câu 40:

y  x3  ax 2  bx  c và giả sử A , B
Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết AB đi qua gốc tọa độ O ?
A. 2b  9  3a.
B. c  0.
C. ab  9c.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG – HÀ NỘI) Cho hàm số

m

C. 0 .

a  1.

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
D. a  0.

y  2 x 3   2m  1 x 2   m 2  1 x  2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá
B. 5 .

để hàm số đã cho có hai điểm cực trị. A. 4 .

C. 3 .

D. 6 .

m

y  mx   m  2  x  2 có hai cực tiểu và một cực đại.


B. 

2  m  0. C. m  2.

D. 0  m 

2.

(THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN) Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2( m  1) x  2m  5 có ba điểm cực trị lập
thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120o?
4

A.

m  1.

B.

m  1

1
.
3

C.

m  1

1


m  2 .

B.

4 2?

m  1.

C.

 m  7
m  1 .


D.

m  7 .

1 4 1 2
x  x  1 có đồ thị  C  . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm cực đại
4
2
của  C  và có hệ số góc k . Tìm k để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của  C  đến d là nhỏ nhất.
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số y 

A. k  

1
.

4

đại, cực tiểu và
A.

m  0.

m

để hàm số y 

m  6 .

C.

m  6;0 .

D.

3

1 3 1
x   m  5  x 2  mx có cực
3
2

xCĐ  xCT  5.
B.

2